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Variables Aléatoires à Densité : Concepts Clés

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Question
Définir la fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X.
Answer
Pour une variable aléatoire X, sa fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) est définie pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} par :
FX(x)=P(X⩽x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x)=\mathbb{P}(\mathrm{X} \leqslant x)
Question
Si X est une variable aléatoire à densité, quelle est la valeur de P(X=a)\mathbb{P}(\mathrm{X}=a) pour tout réel aa?
Answer
Pour une variable aléatoire à densité X, la probabilité que X prenne une valeur spécifique a est toujours nulle : P(X=a)=0\mathbb{P}(\mathrm{X}=a) = 0.
Question
Énoncer la formule de König-Huygens pour la variance V(X)\mathbb{V}(\mathrm{X}).
Answer
La formule de König-Huygens pour la variance V(X)\mathbb{V}(\mathrm{X}) est :
V(X)=E(X2)−E(X)2\mathbb{V}(\mathrm{X})=\mathbb{E}(\mathrm{X}^{2})-\mathbb{E}(\mathrm{X})^{2}
Question
Quelles sont les trois conditions pour qu'une fonction ff soit une densité de probabilité?
Answer
Pour qu'une fonction ff soit une densité de probabilité, elle doit remplir les trois conditions suivantes :
1. Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f(x)≥0f(x) \ge 0.
2. ff est continue par morceaux avec un nombre fini de points de discontinuité.
3. L'intégrale ∫−∞+∞f(t)dt\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t converge et est égale à 1.
Question
Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire X∼U([a;b])\mathrm{X} \sim \mathscr{U}([a ; b])?
Answer
L'espérance d'une variable aléatoire X∼U([a;b])\mathrm{X} \sim \mathscr{U}([a ; b]) est :
E(X)=a+b2\mathbb{E}(\mathrm{X})=\frac{a+b}{2}
Question
Quelle est la relation entre Φ(−x)\Phi(-x) et Φ(x)\Phi(x) pour la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite?
Answer
Pour la fonction de répartition Φ\Phi de la loi normale centrée réduite, la relation est : Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)
Question
Comment calculer P(a⩽X⩽b)\mathbb{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) en utilisant la fonction de répartition FX\mathrm{F}_{\mathrm{X}}?
Answer
P(a⩽X⩽b)=FX(b)−FX(a)\mathbb{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) = \mathrm{F}_{\mathrm{X}}(b) - \mathrm{F}_{\mathrm{X}}(a)
Question
Définir l'espérance E(X)\mathbb{E}(\mathrm{X}) d'une variable aléatoire à densité.
Answer
Sous réserve de convergence de l'intégrale, l'espérance d'une variable aléatoire à densité X, notée E(X)\mathbb{E}(\mathrm{X}), est définie par :

E(X)=∫−∞+∞tf(t)dt\mathbb{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \mathrm{d} t

où f(t)f(t) est la densité de probabilité de X.
Question
Donner la densité f(t)f(t) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi uniforme sur [a;b][a; b].
Answer
f(t)={1b−a si t∈[a;b]0 si t∉[a;b]f(t)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{1}{b-a} & \text { si } & t \in[a ; b] \\0 & \text { si } & t \notin[a ; b]\end{array}\right.
Question
Quelle est la variance d'une variable aléatoire X∼E(λ)\mathrm{X} \sim \mathscr{E}(\lambda)?
Answer
La variance d'une variable aléatoire X∼E(λ)\mathrm{X} \sim \mathscr{E}(\lambda) est V(X)=1λ2\mathbb{V}(\mathrm{X}) = \frac{1}{\lambda^2}.
Question
Comment standardiser une variable aléatoire X∼N(m,σ2)\mathrm{X} \sim \mathscr{N}(m, \sigma^2) pour obtenir une variable suivant la loi N(0,1)\mathscr{N}(0,1)?
Answer
Pour standardiser une variable aléatoire X∼N(m,σ2)\mathrm{X} \sim \mathscr{N}(m, \sigma^2) et obtenir une variable suivant la loi N(0,1)\mathscr{N}(0,1), on utilise la formule :
Z=X−mσ\mathrm{Z} = \frac{\mathrm{X}-m}{\sigma}
Question
Donner la fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.
Answer

La fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda est donnée par :

FX(x)={1−e−λx si x⩾00 si x<0\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x)=\left\{\begin{array}{cll}1-e^{-\lambda x} & \text { si } & x \geqslant 0 \\0 & \text { si } & x<0\end{array}\right.

Définition d'une Variable Aléatoire à Densité

Une variable aléatoire X est dite à densité (ou continue) si sa fonction de répartition, notée FX(x) = P(X ≤ x), est continue sur ℝ et dérivable sauf en un nombre fini de points. Elle est caractérisée par une densité de probabilité f(x).

Propriétés d'une densité de probabilité f

  • Positivité : Pour tout réel x, f(x) ≥ 0.

  • Continuité : f est continue sur ℝ, sauf éventuellement en un nombre fini de points.

  • Normalisation : L'intégrale de la fonction sur ℝ est égale à 1 : ∫-∞+∞ f(t) dt = 1.

Le lien fondamental entre ces deux fonctions est que la densité est la dérivée de la fonction de répartition : f(x) = F'X(x) là où FX est dérivable.

Calculs de Probabilités

Pour une variable aléatoire à densité X, la probabilité que X prenne une valeur précise est nulle : P(X = a) = 0. Cela implique que P(a < X < b), P(a ≤ X < b), P(a < X ≤ b) et P(a ≤ X ≤ b) sont toutes égales.

  • Probabilité cumulative : P(X ≤ a) = FX(a) = ∫-∞a f(t) dt

  • Probabilité de dépassement : P(X > a) = 1 - FX(a) = ∫a+∞ f(t) dt

  • Probabilité sur un intervalle : P(a ≤ X ≤ b) = FX(b) - FX(a) = ∫ab f(t) dt

Espérance et Variance

L'espérance et la variance sont des indicateurs clés qui décrivent la tendance centrale et la dispersion d'une variable aléatoire.

Espérance E(X)

L'espérance, ou moyenne, d'une variable X de densité f est définie par :
E(X) = ∫-∞+∞ t f(t) dt, sous réserve de convergence de l'intégrale.

Variance V(X)

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Pour la calculer, on utilise souvent la formule de König-Huygens, qui nécessite le calcul du moment d'ordre 2, E(X2).

  • Moment d'ordre 2 : E(X2) = ∫-∞+∞ t2 f(t) dt

Formule de König-Huygens : V(X) = E(X2) - [E(X)]2

L'écart-type, noté σX, est simplement la racine carrée de la variance : σX = √V(X).

Tableau des Lois Usuelles à Densité

Loi

Notation

Espérance E(X)

Variance V(X)

Uniforme sur [a, b]

X ~ U([a, b])

(a + b) / 2

(b - a)2 / 12

Exponentielle

X ~ E(λ)

1 / λ

1 / λ2

Normale (ou de Laplace-Gauss)

X ~ N(m, σ2)

m

σ2

Normale Centrée Réduite

X ~ N(0, 1)

0

1

Points Clés à Retenir

  • La probabilité est représentée par l'aire sous la courbe de la fonction de densité.

  • Pour une variable continue, la probabilité en un point unique est toujours nulle.

  • La loi uniforme modélise une situation où toutes les valeurs sur un intervalle sont équiprobables.

  • La loi exponentielle est souvent utilisée pour modéliser des durées de vie ou des temps d'attente.

  • La loi normale est fondamentale en probabilités et statistiques, notamment grâce au théorème central limite.

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