Suites numériques: Définitions et Génération

Fiche S1.1: La notion de suite numérique

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$). L'image d'un entier naturel $n$ est notée $u_n$ et est appelée le terme de rang $n$.

On peut visualiser une suite comme une liste ordonnée de nombres réels indexés : $(u_n) = (u_0; u_1; u_2; \dots; u_n; \dots)$.

1. Modes de génération d'une suite

Une suite numérique peut être définie de deux manières principales :

a) Définition par une formule explicite

Une suite est définie par une formule explicite lorsque chaque terme $u_n$ est donné directement en fonction de son rang $n$. On écrit $u_n = f(n)$.

• Avantage : Permet de calculer n'importe quel terme directement sans connaître les précédents.

Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 + 2n - 5$.

• Pour calculer $u_0$: $u_0 = 0^2 + 2 \times 0 - 5 = -5$
• Pour calculer $u_1$: $u_1 = 1^2 + 2 \times 1 - 5 = -2$
• Pour calculer $u_2$: $u_2 = 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 3$

b) Définition par une relation de récurrence

Une suite est définie par une relation de récurrence lorsque :

1. Le premier terme (ou les premiers termes) est donné (ex: $u_0$).
2. Une relation permet de calculer chaque terme à partir du ou des termes précédents (ex: $u_{n+1} = f(u_n)$).

• Inconvénient : Pour calculer un terme de rang élevé, il faut calculer tous les termes précédents.

Exemple : Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = 2v_n + 1$.

• Pour calculer $v_1$: $v_1 = 2 \times v_0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3$
• Pour calculer $v_2$: $v_2 = 2 \times v_1 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$
• Pour calculer $v_3$: $v_3 = 2 \times v_2 + 1 = 2 \times 7 + 1 = 15$

2. Terminologie et notation

• L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\}$.
• Le terme $u_n$ est le terme de rang $n$.
• $u_0$ est le premier terme si la suite commence à $n=0$.
• $u_{n-1}$ est le terme précédent $u_n$.
• $u_{n+1}$ est le terme suivant $u_n$.

Exemple : Pour la suite des décimales de $\pi$, $(d_n) = (3; 1; 4; 1; 5; 9; 2; \dots)$.

• $d_0 = 3$
• $d_1 = 1$
• $d_2 = 4$

3. Application pratique : Modélisation d'une situation

Les suites numériques sont utilisées pour modéliser des phénomènes évolutifs.

Problème : Un journal a 10 000 abonnés. Chaque année, 80% des abonnés se réabonnent et 2 500 nouveaux abonnés arrivent.

• Soit $a_n$ le nombre d'abonnés après $n$ années.
• $a_0 = 10 000$ (nombre initial d'abonnés).

a) Calcul des premiers termes (relation de récurrence)

• $a_1$ (après 1 an) : $a_1 = 0.80 \times a_0 + 2500 = 0.80 \times 10000 + 2500 = 8000 + 2500 = 10500$.
• $a_2$ (après 2 ans) : $a_2 = 0.80 \times a_1 + 2500 = 0.80 \times 10500 + 2500 = 8400 + 2500 = 10900$.

La relation de récurrence est $a_{n+1} = 0.80 \times a_n + 2500$.

b) Utilisation d'une formule explicite

Dans cet exemple, la formule explicite est donnée par $a_n = 12500 - 2500 \times 0.8^n$.

• $a_0$ : $a_0 = 12500 - 2500 \times 0.8^0 = 12500 - 2500 \times 1 = 10000$.
• $a_1$ : $a_1 = 12500 - 2500 \times 0.8^1 = 12500 - 2000 = 10500$.
• $a_2$ : $a_2 = 12500 - 2500 \times 0.8^2 = 12500 - 2500 \times 0.64 = 12500 - 1600 = 10900$.

Pour calculer $a_{10}$, la formule explicite est préférable car elle permet un calcul direct sans passer par les 9 termes précédents.

• $a_{10}$ : $a_{10} = 12500 - 2500 \times 0.8^{10} \approx 12500 - 2500 \times 0.107374 \approx 12500 - 268.435 \approx 12231.565$.
• Arrondi à l'unité, le nombre d'abonnés après 10 ans est d'environ 12232.

4. Exercices d'application

a) Suites dans les tests psychotechniques

Compléter logiquement les listes de nombres suivantes :

1. 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25 (On ajoute 3 à chaque terme)
2. 3; 4; 6; 9; 13; 18; 24 (On ajoute $n$ au $n$-ième terme: +1, +2, +3, +4, +5, +6)
3. 5; 17/3; 19/3; 7; 23/3; 25/3 (On ajoute 2/3 à chaque terme. $5 = 15/3$, $7 = 21/3$)
4. 1; 3; 9; 27; 81 (On multiplie par 3 à chaque terme)
5. 2; 3; 5; 9; 17; 33 (On multiplie par 2 et on soustrait 1, ou on ajoute $2^{n-1}$)
6. 16; 8; 4; 2; 1; 0.5 (On divise par 2 à chaque terme)

b) Suites et fonctions

Soit la fonction $u(n) = 2n + 5$ pour tout entier naturel $n$.

• Le premier terme est $u(0) = 5$.
• Le 3e terme est $u(2) = 9$.
• Le 6e terme est $u(5) = 15$.
• $u_0 = 5$, $u_1 = 7$, $u_2 = 9$.
• Le 10e terme sera noté $u_9$ et sa valeur sera $u_9 = 2 \times 9 + 5 = 23$.

c) Suites dans le monde réel

Un site internet voit son nombre de visiteurs hebdomadaire augmenter de 50% chaque semaine.

• $u_1 = 80$.
• $u_2 = 80 \times 1.5 = 120$.
• $u_3 = 120 \times 1.5 = 180$.
• $u_4 = 180 \times 1.5 = 270$.
• $u_5 = 270 \times 1.5 = 405$.

• Le 1er terme de cette suite est $u_1 = 80$.
• Le 5e terme de cette suite est $u_5 = 405$.
• Le 10e terme de cette suite sera noté $u_{10}$.

Points clés à retenir

• Une suite numérique est une fonction dont la variable est un entier naturel.
• Elle peut être définie par une formule explicite ($u_n = f(n)$) ou une relation de récurrence ($u_0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$).
• La notation $u_n$ représente le terme de rang $n$.
• Le choix de la méthode de définition dépend du contexte et du terme à calculer. La formule explicite est plus efficace pour les rangs élevés.