Spinta su paraspigolo cilindrico

Calcolo della Spinta Idrostatica su un Paraspigoli Cilindrico

Una paraspigolo di forma cilindrica, parzialmente immerso in due fluidi (acqua e olio), è soggetto a spinte idrostatiche. Questo documento illustra il calcolo di tali spinte.

1. Dati Iniziali e Costanti

Per il calcolo, ci basiamo sui seguenti valori:

• Lunghezza del cilindro (L): $4.0 \text{ m}$
• Raggio del cilindro (R): Variabile in base a un parametro $C$. Utilizzeremo un valore di esempio per $C$ (ad esempio, $C=0$) per la risoluzione, così $R=1.5 \text{ m}$.
• Affondamento dell'asse del cilindro (a): $3.00 \text{ m}$
• Peso specifico dell'acqua ($\gamma_{acqua}$): $9800 \text{ N/m}^3$
• Peso specifico dell'olio ($\gamma_{olio}$): $8000 \text{ N/m}^3$

Nota Bene: Il valore di R è stato assunto come 1.5 m per la risoluzione. Se "C" fosse fornito, andrebbe sostituito nella formula per R.

2. Geometria del Paraspigoli e Angoli di Immersione

Per calcolare la spinta idrostatica, dobbiamo determinare le aree bagnate e le loro proiezioni. Il cilindro ha raggio R e il suo asse è affondato di a. Poiché il paraspigoli è perfettamente adeso alla parete, la porzione immersa è una sezione circolare.

L'angolo di immersione $\theta$ è un parametro chiave che possiamo trovare dalla relazione geometrica tra R e a.

La distanza verticale dalla superficie libera (di un fluido) all'asse del cilindro è a. Consideriamo un punto generico sulla superficie del cilindro immerso. Se la superficie libera del fluido è superiore all'asse del cilindro (cioè $a > R$), come nel nostro caso, una parte del cilindro è completamente immersa e un'altra parte è parzialmente immersa.

Nel nostro problema, l'asse del cilindro è affondato di $a = 3.00 \text{ m}$. Assumiamo che la superficie dell'acqua sia a $z=0$. L'asse del cilindro si trova a $-a = -3.00 \text{ m}$.

L'angolo $\alpha$ che definisce la parte non bagnata (o più precisamente, l'angolo che identifica la porzione del cilindro che sporge sopra la superficie libera se $R > a$) o che il punto di tangenza con la superficie libera crea rispetto alla verticale passante per l'asse, è dato da:

$\cos \alpha = \frac{a - (\text{profondità dell'asse rispetto alla superficie libera})}{R}$

Tuttavia, avendo un paraspigolo (un cilindro che aderisce a una parete), l'approccio più semplice è considerare l'angolo $\theta$ che descrive la porzione bagnata. L'angolo dal centro del cilindro a un punto sulla superficie del cilindro, misurato dalla verticale, è dato da $\cos \theta = \frac{a}{R}$.

Questo approccio funziona se l'asse è sopra la superficie libera. Nel nostro caso, l'asse è sott'acqua.

Consideriamo la geometria specifica: il cilindro è adeso a una parete verticale. La relazione tra a, R e l'angolo di immersione $\theta_1$ per l'acqua e $\theta_2$ per l'olio sono cruciali.

L'altezza della superficie libera dell'olio rispetto all'asse del cilindro è $a_O = a - h_{olio}$, dove $h_{olio}$ è l'altezza dello strato di olio sopra il cilindro. L'altezza della superficie libera dell'acqua rispetto all'asse del cilindro è $a_W = a$.

La formulazione classica della spinta idrostatica orizzontale su una superficie curva è $F_x = \gamma \cdot A_y \cdot \bar{y}$, dove $A_y$ è la proiezione verticale della superficie curva e $\bar{y}$ è la profondità del baricentro di $A_y$. La spinta idrostatica verticale e $F_y = \gamma \cdot V_{immerso}$, dove $V_{immerso}$ è il volume del fluido spostato.

3. Calcolo della Spinta sulla Porzione in Acqua

La porzione in acqua del paraspigolo inizia dall'interfaccia acqua-olio fino al fondo.

Procediamo con il calcolo delle componenti orizzontali e verticali della spinta idrostatica.

3.1 Spinta Orizzontale ($F_{x,acqua}$)

La spinta orizzontale in acqua agisce sulla proiezione verticale della superficie bagnata del cilindro. La profondità dell'asse è $a = 3.0 \text{ m}$. Il raggio è $R = 1.5 \text{ m}$. La proiezione verticale della superficie immersa in acqua (considerando che l'acqua sia dal fondo fino all'interfaccia con l'olio) è $A_p = 2R \cdot L$. Il baricentro di questa proiezione si trova a una profondità $\bar{y} = a$.

Tuttavia, il problema menziona un paraspigolo "perfettamente adeso alla parete in corrispondenza del profilo AOB". Questo suggerisce che stiamo considerando la spinta sulla parte esposta del cilindro, che è la metà inferiore del cilindro.

Se il cilindro è adeso alla parete, la spinta orizzontale sulla parte a contatto con la parete è bilanciata. Consideriamo la spinta idrostatica sulla porzione bagnata "libera".

Nel caso più comune di un cilindro di raggio R, la componente orizzontale della spinta sulla superficie del cilindro, che proietta su una superficie verticale larga $2R$ e profonda quanto l'immersione, è data dalla pressione media per l'area proiettata.

Se l'interfaccia olio-acqua è all'altezza dell'asse del cilindro (cioè l'olio copre la metà superiore e l'acqua la metà inferiore), e l'asse $z=0$ è all'interfaccia acqua-olio:

L'asse del cilindro è a una profondità $a$.

Consideriamo la pressione sulla proiezione verticale della superficie in acqua. La superficie in acqua va da $y = -(a+R)$ a $y = -a+H_{olio}$. (Suppongo un sistema di coordinate dove y è la profondità)

Assumiamo che la superficie libera dell'olio sia a $z=0$. L'interfaccia olio-acqua è a $z = -H_{olio}$. L'asse del cilindro è a $z = -a$.

La porzione del paraspigolo in acqua va dall'interfaccia olio-acqua fino al fondo del cilindro.

Considerando la porzione del cilindro che occupa l'acqua: va dalla profondità $-a$ (l'asse del cilindro) fino alla profondità $-a-R$ (il punto più basso del cilindro).

Il centroide dell'area proiettata in acqua è la profondità dell'asse del cilindro, $a$. La larghezza orizzontale del cilindro è $2R$.

$F_{x,acqua} = \gamma_{acqua} \cdot (2R \cdot L) \cdot a$

Questo è valido se la superficie bagnata è un rettangolo di altezza $2R$ fino all'asse.

Tuttavia, la spinta orizzontale su una superficie curva è il prodotto del peso specifico del fluido per la profondità del baricentro dell'area proiettata verticalmente.

Per la porzione in acqua, l'altezza della colonna di acqua che preme sul cilindro va dalla superficie libera dell'olio fino al fondo del cilindro.

Se il paraspigolo è "perfettamente adeso alla parete in corrispondenza del profilo AOB", significa che solo la parte esposta al fluido (lato opposto alla parete) subisce la spinta.

La spinta orizzontale in acqua è calcolata tramite la proiezione della superficie immersa sull'asse verticale. L'area bagnata da considerare per la spinta orizzontale è la proiezione della porzione cilindrica sull'asse verticale.

Assumiamo che la superficie libera dell'olio sia a $h_{LOIL}$ rispetto all'asse del cilindro. Allora $h_{LOIL}$ è la profondità della superficie libera dell'olio e $H_{acqua}$ è la profondità dell'acqua.

Calcolo della spinta orizzontale sull'acqua: $F_{H,ACQUA} = \gamma_{ACQUA} \cdot L \cdot \int_{z_{ACQUA}}^{z_{ACQUA} + R} (R - \sqrt{R^2 - y^2}) dy$ (Non è questo il modo più semplice)

La spinta orizzontale sulla porzione di cilindro immersa in un fluido è data da $F_x = \gamma \cdot \bar{h} \cdot A_v$, dove $A_v$ è l'area della proiezione verticale della superficie curva e $\bar{h}$ è la profondità del baricentro di $A_v$. Per la porzione in acqua:
L'interfaccia olio-acqua è a $z_{int}$. La profondità massima raggiunta dal cilindro è $z_{max} = a + R$. La profondità minima raggiunta dal cilindro è $z_{min} = a - R$.

Consideriamo la porzione immersa in acqua come la parte inferiore. L'asse del cilindro è a $a=3$m.

La parte bagnata dall'acqua è la metà inferiore del cilindro (da $z=a$ a $z=a+R$) più una parte della metà superiore (da $z=a$ a $z_{interfaccia}$).

Se l'asse del cilindro è a 3m dall'interfaccia olio-aria, allora l'interfaccia acqua-olio è a 3m sotto l'interfaccia olio-aria. L'asse del cilindro si trova all'interfaccia olio-acqua. Questo non è specificato.

Interpretiamo: l'asse del cilindro è a $a=3.00 \text{ m}$ sotto la superficie libera dell'olio. Pertanto, la superficie libera dell'olio è a $z=0$. L'asse del cilindro è a $z = -a = -3.00 \text{ m}$.

Con questa interpretazione:

• La superficie inferiore del cilindro è a $z = -(a+R) = -(3+1.5) = -4.5 \text{ m}$
• La superficie superiore del cilindro è a $z = -(a-R) = -(3-1.5) = -1.5 \text{ m}$

L'acqua è sotto l'olio. Si assume che l'interfaccia olio-acqua sia all'altezza dell'asse del cilindro, o è necessario determinare l'altezza dell'olio sopra l'asse. Se "l'asse del cilindro è affondato di a", e c'è olio e acqua, si deve capire il livello di interfaccia. Assumiamo che la superficie dell'olio sia a $z=0$, e l'asse del cilindro a $-a$. L'acqua inizia sotto l'olio. La profondità dell'interfaccia acqua-olio non è data. Facciamo l'assunzione standard per questo tipo di problemi: L'acqua è presente fin dalla profondità dell'asse $a = 3.00 \text{m}$ (assumendo che $z=0$ sia la superficie dell'acqua), fino a $a+R$. E l'olio è presente dalla superficie ($z=0$) fino alla profondità dell'asse $a=3.00 \text{m}$. Ciò significa che l'asse del cilindro ($z=-3 \text{m}$) coincide con l'interfaccia acqua-olio. Questo è fondamentale per la risoluzione.

Su questa base, la porzione in acqua è la metà inferiore del cilindro.

La spinta orizzontale in acqua: L'area proiettata verticalmente sulla quale agisce l'acqua è un rettangolo di altezza $R$ e larghezza $L$. Questa proiezione va dalla profondità dell'asse $a$ fino alla profondità $a+R$. Il baricentro di questa proiezione si trova a $\bar{h}_{acqua} = a + R/2$.

$F_{x,acqua} = \gamma_{acqua} \cdot (R \cdot L) \cdot (a + R/2)$

Sostituendo i valori: $F_{x,acqua} = 9800 \text{ N/m}^3 \cdot (1.5 \text{ m} \cdot 4.0 \text{ m}) \cdot (3.0 \text{ m} + 1.5 \text{ m}/2)$ $F_{x,acqua} = 9800 \cdot (6.0) \cdot (3.0 + 0.75)$ $F_{x,acqua} = 9800 \cdot 6.0 \cdot 3.75 = 220500 \text{ N}$

3.2 Spinta Verticale ($F_{y,acqua}$)

La spinta verticale in acqua è il peso del volume di acqua spostato dalla porzione inferiore del cilindro. Il volume di acqua spostato è la metà inferiore del cilindro. $V_{acqua} = \frac{1}{2} \pi R^2 L$

$F_{y,acqua} = \gamma_{acqua} \cdot V_{acqua} = \gamma_{acqua} \cdot \frac{1}{2} \pi R^2 L$

Sostituendo i valori: $F_{y,acqua} = 9800 \text{ N/m}^3 \cdot \frac{1}{2} \pi (1.5 \text{ m})^2 (4.0 \text{ m})$ $F_{y,acqua} = 9800 \cdot \frac{1}{2} \pi \cdot 2.25 \cdot 4.0 = 9800 \cdot \pi \cdot 4.5 = 138474 \text{ N}$

La spinta totale sulla porzione in acqua è la risultante di queste due componenti: $F_{acqua} = \sqrt{F_{x,acqua}^2 + F_{y,acqua}^2}$ $F_{acqua} = \sqrt{(220500)^2 + (138474)^2} = \sqrt{4.862 \cdot 10^{10} + 1.917 \cdot 10^{10}} = \sqrt{6.779 \cdot 10^{10}}$ $F_{acqua} \approx 260360 \text{ N}$

4. Calcolo della Spinta sulla Porzione in Olio

4.1 Spinta Orizzontale ($F_{x,olio}$)

La porzione in olio è la metà superiore del cilindro, con la superficie libera dell'olio a $z=0$ e l'asse a $z = -a$.

L'area proiettata verticalmente sulla quale agisce l'olio è un rettangolo di altezza $R$ e larghezza $L$. Questa proiezione va dalla profondità dell'asse $a$ fino alla profondità $a-R$. Il baricentro di questa proiezione si trova a $\bar{h}_{olio} = a - R/2$.

$F_{x,olio} = \gamma_{olio} \cdot (R \cdot L) \cdot (a - R/2)$

Sostituendo i valori: $F_{x,olio} = 8000 \text{ N/m}^3 \cdot (1.5 \text{ m} \cdot 4.0 \text{ m}) \cdot (3.0 \text{ m} - 1.5 \text{ m}/2)$ $F_{x,olio} = 8000 \cdot (6.0) \cdot (3.0 - 0.75)$ $F_{x,olio} = 8000 \cdot 6.0 \cdot 2.25 = 108000 \text{ N}$

4.2 Spinta Verticale ($F_{y,olio}$)

La spinta verticale in olio è il peso del volume di olio spostato dalla porzione superiore del cilindro. Il volume di olio spostato è la metà superiore del cilindro. $V_{olio} = \frac{1}{2} \pi R^2 L$

$F_{y,olio} = \gamma_{olio} \cdot V_{olio} = \gamma_{olio} \cdot \frac{1}{2} \pi R^2 L$

Sostituendo i valori: $F_{y,olio} = 8000 \text{ N/m}^3 \cdot \frac{1}{2} \pi (1.5 \text{ m})^2 (4.0 \text{ m})$ $F_{y,olio} = 8000 \cdot \frac{1}{2} \pi \cdot 2.25 \cdot 4.0 = 8000 \cdot \pi \cdot 4.5 = 113097 \text{ N}$

La spinta totale sulla porzione in olio è la risultante di queste due componenti: $F_{olio} = \sqrt{F_{x,olio}^2 + F_{y,olio}^2}$ $F_{olio} = \sqrt{(108000)^2 + (113097)^2} = \sqrt{1.1664 \cdot 10^{10} + 1.2791 \cdot 10^{10}} = \sqrt{2.4455 \cdot 10^{10}}$ $F_{olio} \approx 156380 \text{ N}$

5. Calcolo della Spinta Totale, Verso e Retta d'Azione

5.1 Spinta Totale Orizzontale ($F_x^{TOT}$)

La spinta orizzontale agisce sulla parete verticale del cilindro, in direzione opposta alla parete adesa. Entrambe le spinte orizzontali ($F_{x,acqua}$ e $F_{x,olio}$) agiscono nella stessa direzione (ad esempio, verso sinistra se la parete è a destra).

$F_x^{TOT} = F_{x,acqua} + F_{x,olio}$ $F_x^{TOT} = 220500 \text{ N} + 108000 \text{ N} = 328500 \text{ N}$

5.2 Spinta Totale Verticale ($F_y^{TOT}$)

La spinta verticale ($F_{y,acqua}$ e $F_{y,olio}$) agisce verso l'alto (spinta di Archimede).

$F_y^{TOT} = F_{y,acqua} + F_{y,olio}$ $F_y^{TOT} = 138474 \text{ N} + 113097 \text{ N} = 251571 \text{ N}$

5.3 Spinta Totale Risultante ($F_{TOT}$)

La spinta totale è la risultante delle componenti orizzontale e verticale.

$F_{TOT} = \sqrt{(F_x^{TOT})^2 + (F_y^{TOT})^2}$ $F_{TOT} = \sqrt{(328500)^2 + (251571)^2} = \sqrt{1.0791 \cdot 10^{11} + 6.3288 \cdot 10^{10}} = \sqrt{1.71198 \cdot 10^{11}}$ $F_{TOT} \approx 413760 \text{ N}$

5.4 Verso della Spinta Totale

La componente orizzontale ($F_x^{TOT}$) è diretta allontanandosi dalla parete (ad esempio, orizzontalmente verso sinistra). La componente verticale ($F_y^{TOT}$) è diretta verso l'alto. Il verso della spinta totale è quindi verso l'alto e perpendicolarmente alla parete, allontanandosi da essa.

L'angolo $\phi$ che la risultante forma con l'orizzontale è: $\tan \phi = \frac{F_y^{TOT}}{F_x^{TOT}} = \frac{251571}{328500} \approx 0.7658$ $\phi = \arctan(0.7658) \approx 37.45^\circ$

5.5 Retta d'Azione

La retta d'azione della spinta totale si trova applicando il teorema di Varignon o calcolando i punti di applicazione delle singole forze.

Per la spinta orizzontale, il punto di applicazione è al centro di pressione della proiezione verticale. Per una superficie rettangolare di altezza $H$ e larghezza $W$ con baricentro a $\bar{h}$ sotto la superficie, il centro di pressione si trova a $y_p = \bar{h} + \frac{I_{xx}}{\bar{h}A}$, dove $I_{xx}$ è il momento d'inerzia.

Per la porzione in acqua (rettangolo di altezza $R$, larghezza $L$, baricentro a $a+R/2$): $I_{xx} = \frac{L R^3}{12}$ (momento d'inerzia di un rettangolo di altezza $R$ e larghezza $L$ rispetto al suo asse baricentrico orizzontale). Questo però è per una superficie rettangolare uniforme, non per una proiezione di una curva. Per convenzione, per una superficie piana sommersa verticalmente, il centro di pressione è dato da $y_P = \bar{y} + \frac{I_{xx}}{\bar{y}A}$.

La spinta orizzontale su una superficie cilindrica può essere considerata come la forza che agisce sulla proiezione verticale della superficie bagnata. Per la porzione in acqua, l'area proiettata è un rettangolo di dimensioni $L \cdot R$. La sua superficie superiore è alla profondità $a$, e la sua superficie inferiore è alla profondità $a+R$. Il baricentro di questa proiezione è a $(a + R/2)$. Il centro di pressione (profondità di applicazione) è $h_{px,acqua} = (a + R/2) + \frac{L \cdot R^3/12}{(a+R/2) \cdot L \cdot R} = (a + R/2) + \frac{R^2}{12(a+R/2)}$. $h_{px,acqua} = (3 + 1.5/2) + \frac{1.5^2}{12(3 + 1.5/2)} = 3.75 + \frac{2.25}{12 \cdot 3.75} = 3.75 + \frac{2.25}{45} = 3.75 + 0.05 = 3.80 \text{ m}$

Per la porzione in olio, l'area proiettata è un rettangolo di dimensioni $L \cdot R$. La sua superficie superiore è alla profondità $a-R$, e la sua superficie inferiore è alla profondità $a$. Il baricentro di questa proiezione è a $(a - R/2)$. Il centro di pressione (profondità di applicazione) è $h_{px,olio} = (a - R/2) + \frac{L \cdot R^3/12}{(a-R/2) \cdot L \cdot R} = (a - R/2) + \frac{R^2}{12(a-R/2)}$. $h_{px,olio} = (3 - 1.5/2) + \frac{1.5^2}{12(3 - 1.5/2)} = 2.25 + \frac{2.25}{12 \cdot 2.25} = 2.25 + \frac{2.25}{27} = 2.25 + 0.0833 = 2.3333 \text{ m}$

La retta d'azione verticale $Y_{px}^{TOT}$ per la componente orizzontale risultante ($F_x^{TOT}$): $Y_{px}^{TOT} = \frac{F_{x,acqua} \cdot h_{px,acqua} + F_{x,olio} \cdot h_{px,olio}}{F_x^{TOT}}$ $Y_{px}^{TOT} = \frac{(220500 \text{ N} \cdot 3.80 \text{ m}) + (108000 \text{ N} \cdot 2.3333 \text{ m})}{328500 \text{ N}}$ $Y_{px}^{TOT} = \frac{837900 + 252000}{328500} = \frac{1089900}{328500} \approx 3.317 \text{ m}$ (questa è la profondità di applicazione della forza orizzontale totale)

Per la spinta verticale, essa agisce nel centro geometrico del volume spostato, che per una semicilindro è a $4R/(3\pi)$ dal diametro, in direzione verticale.
Per la porzione in acqua (semicircolo di raggio $R$), il centro di massa è a $x_c = 0$ (perché la spinta di Archimede agisce lungo l'asse) e $y_c = \frac{4R}{3\pi}$ dal diametro (profondo $a$). Quindi, la retta d'azione orizzontale è $X_{py,acqua} = \frac{4R}{3\pi}$ dalla parete. $X_{py,acqua} = \frac{4 \cdot 1.5}{3\pi} = \frac{6}{3\pi} = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366 \text{ m}$ dalla parete, misurato orizzontalmente.

Per la porzione in olio (semicircolo di raggio $R$), il centro di massa è a $X_{py,olio} = \frac{4R}{3\pi}$ dalla parete. $X_{py,olio} \approx 0.6366 \text{ m}$ dalla parete.

Poiché le forze verticali agiscono sulla stessa linea d'azione orizzontale, la retta d'azione orizzontale per $F_y^{TOT}$ è $X_{py}^{TOT} = \frac{4R}{3\pi} \approx 0.6366 \text{ m}$ dalla parete.

La retta d'azione della spinta totale $F_{TOT}$ passerà attraverso il punto di coordinate $(X_{py}^{TOT}, Y_{px}^{TOT})$ relative al centro dello spigolo, o più precisamente, $X_{py}^{TOT}$ è la distanza orizzontale dalla parete ($0.6366 \text{ m}$) e $Y_{px}^{TOT}$ è la profondità dalla superficie dell'olio ($3.317 \text{ m}$).

Riepilogo dei Risultati Chiave

• Spinta sulla porzione del paraspigolo in acqua ($F_{acqua}$): $260360 \text{ N}$ (risultante)
• Spinta sulla porzione del paraspigolo in olio ($F_{olio}$): $156380 \text{ N}$ (risultante)
• Spinta Totale ($F_{TOT}$): $413760 \text{ N}$
• Verso della Spinta Totale: Verso l'alto e allontanandosi dalla parete, con un angolo di circa $37.45^\circ$ rispetto all'orizzontale.
• Retta d'Azione:
  • Profondità di applicazione della componente orizzontale: $3.317 \text{ m}$ dalla superficie dell'olio.
  • Distanza orizzontale dalla parete della componente verticale: $0.6366 \text{ m}$ dalla parete.