Principes actuariels et valorisation des actifs financiers

Chapitre 1 : Principes de l'analyse actuarielle

Ce chapitre introduit les principes fondamentaux de l'approche actuarielle pour la valorisation des actifs financiers, en se concentrant sur le concept de non-arbitrage et la loi du prix unique.

1. Point de départ : la question du choix financier

Les décisions financières, qu'elles soient pour une entreprise (investir, racheter) ou pour des particuliers (placements), visent à augmenter la valeur (de l'entreprise ou du patrimoine). Ces choix reposent sur trois éléments clés :

• Le coût initial de la décision.
• Les revenus attendus de l'investissement ou du titre.
• Le prix de revente de l'investissement ou du titre.

Ces éléments déterminent la rentabilité attendue. Pour les placements, il est crucial de comprendre comment se fixe le prix des actifs financiers.

Le prix, quel prix ?

Il est essentiel de distinguer deux notions de prix :

• Prix de marché : Résulte de la confrontation de l'offre et de la demande. Il reflète l'opinion moyenne (anticipée) du marché.
• Valeur fondamentale (ou intrinsèque) : Représente la "vraie" valeur d'un titre, généralement liée aux flux de revenus futurs attendus de sa détention.

La question est de savoir si le prix de marché reflète toujours la valeur fondamentale et si une différence peut perdurer.

La question de la valeur fondamentale

La méthode actuarielle permet de calculer la valeur fondamentale des titres financiers en utilisant :

• La durée de vie du titre.
• Son niveau de risque.
• Les revenus attendus.
• Les taux d'intérêt de l'économie (qui mesurent la rentabilité exigée).

2. Les bases de l'approche actuarielle : le cas mono périodique

Un placement financier implique un coût initial (décaissement immédiat) et un revenu (certain ou espéré) à son échéance. Pour comparer ces flux de liquidités (cash-flows) à des moments différents, un taux d'intérêt est nécessaire.

Un taux ou des taux d’intérêt ?

Le taux d'intérêt est le prix auquel on échange une somme d'argent présente contre une somme future (taux de change intertemporel). Il existe plusieurs types de taux d'intérêt :

• Selon l'échéance (court, moyen, long terme).
• Selon les modalités de fixation (taux directeurs vs. taux de marché).
• Selon le niveau de risque (taux sans risque vs. taux risqués).
• Selon la prise en compte de l'inflation (taux nominal vs. taux réel).
• Taux simple ou composé.

Quel taux d’intérêt allons-nous utiliser ?

Dans ce chapitre, nous utiliserons un taux d'intérêt nominal annuel sans risque (noté r), supposé constant et sans risque, pour comparer des sommes monétaires à différents moments.

• Capitalisation : Calculer la valeur future d'une somme présente.

  S₁ = S₀ * (1 + r)

• Actualisation : Calculer la valeur présente d'une somme future.

  S₀ = S₁ / (1 + r)

Application à la valorisation d'un titre simple

Pour valoriser un titre simple rapportant un paiement certain dans un an, on compare deux options : acheter le titre ou placer/emprunter au taux sans risque. Le principe de non-arbitrage et la loi du prix unique sont essentiels pour déterminer la valeur fondamentale.

3. Principe de non-arbitrage et Loi du Prix Unique appliqués aux actifs financiers

L'arbitrage est l'achat et la vente simultanée de biens équivalents sur différents marchés pour réaliser un profit sans risque et sans mise de fonds initiale. L'existence d'opportunités d'arbitrage conduit à leur disparition et à la convergence des prix.

La loi du prix unique stipule que sur un marché concurrentiel, des biens identiques ne peuvent pas diverger de prix à long terme. Le prix de non-arbitrage est le prix où toutes les opportunités d'arbitrage ont disparu.

Pour les actifs financiers, des actifs équivalents (durée, risque, revenus) échangés sur des marchés concurrentiels doivent avoir le même prix. Cela implique que le coût initial de deux stratégies produisant le même revenu sans risque doit être identique.

La valeur fondamentale d'un titre est sa valeur présente actualisée des revenus attendus. Le prix de marché devrait converger vers cette valeur fondamentale par le biais de l'arbitrage.

La notion de marchés efficients

Ces principes reposent sur des hypothèses fortes :

• Efficience informationnelle des marchés : Les prix de marché reflètent toute l'information disponible (absence de coûts de transaction, information gratuite et accessible, agents capables de traiter l'information).
• Rationalité individuelle des agents : Les choix des agents sont cohérents.

Si ces hypothèses sont respectées :

1. La valeur fondamentale d'un actif financier est égale à la valeur présente actualisée des revenus.
2. Le prix de marché doit converger vers cette valeur fondamentale, assurant l'absence d'arbitrage.

4. Valorisation d'un actif financier avec cash-flows multi périodiques

4.1 Principes théoriques

Pour les titres générant des flux de revenus sur plusieurs périodes, la valeur fondamentale est la somme actualisée de tous les flux de revenus futurs.

1. Cas simple d'un seul flux de revenu placé pendant n années (Capitalisation)

Une somme S₀ capitalisée au taux r pendant n périodes aura une valeur de :

Sₙ = S₀ * (1 + r)ⁿ

2. Cas simple d'un seul flux de revenu à percevoir dans n années (Actualisation)

La valeur présente S₀ d'une somme Sₙ à recevoir dans n périodes est :

S₀ = Sₙ / (1 + r)ⁿ

3. Généralisation : le cas de plusieurs flux de revenus à percevoir pendant t périodes

La valeur fondamentale V₀ d'un titre à la date initiale est la somme actualisée de tous les flux de revenus Sₜ :

V₀ = Σ [Sₜ / (1 + r)ᵗ] (pour t allant de 1 à n)

Si les flux de revenus S sont constants, la formule se simplifie :

V₀ = S * [1 - (1 + r)⁻ⁿ] / r

Il est également possible de déterminer le flux de revenus constants S associé à une valeur présente V₀ :

S = V₀ * r / [1 - (1 + r)⁻ⁿ]

Ces formules sont utilisées pour calculer les annuités (ou mensualités) des prêts bancaires et la valeur des pensions de retraite.

La valeur future Vₙ d'un placement de cash-flows identiques à un taux d'intérêt constant pendant n périodes est :

Vₙ = S * [(1 + r)ⁿ - 1] / r

4.2 Applications dans le cas de paiements annuels à date fixe

(Exemples pratiques de calculs d'annuités, de valeur présente de flux futurs, et de valeur future d'une série de placements.)

4.3. Généralisation à des paiements à dates variables

Ajustement lors de versements hors période pleine

Lorsque le calcul ne se fait pas à une date anniversaire du versement des cash-flows, la formule d'actualisation doit être ajustée :

V₀ = Σ [Sₜ / (1 + r)ᵗ⁻¹⁺(j/365)] où j est le nombre de jours avant le paiement du prochain cash-flow.

Augmentation de la valeur des cash-flows

Si les cash-flows S augmentent chaque année d'un taux constant g, la valeur présente V₀ est donnée par :

V₀ = S₁ / (r - g) * [1 - ((1 + g) / (1 + r))ⁿ] (pour r ≠ g)

Ajustement des taux d'intérêt selon le terme du paiement

Le Taux Annuel Effectif (TAE) peut être converti en taux équivalents pour des périodes plus courtes (mensuel, trimestriel) :

(1 + r) = (1 + r_m)ᵐ où r_m est le taux périodique et m le nombre de périodes par an.

5. Le cas des emprunts indivis

Principales définitions

Un emprunt indivis est un emprunt avec un seul prêteur (ex: banque), contrairement aux emprunts obligataires. Il existe différents modes de remboursement (amortissement) :

1. Remboursement par annuités (mensualités) constantes (amortissement progressif) : Somme fixe intégrant intérêts et capital. La part des intérêts diminue, celle du capital augmente.
2. Amortissement constant (annuités variables) : Le capital remboursé est constant. Les intérêts diminuent, rendant l'annuité dégressive.
3. Remboursement in fine : Le capital est remboursé en une seule fois à la fin, les intérêts étant payés périodiquement.

Pour un emprunt indivis à annuités constantes, le montant de l'annuité S est calculé avec la formule de la valeur présente d'une suite de flux constants :

S = K₀ * r / [1 - (1 + r)⁻ⁿ] où K₀ est le capital emprunté.

Le tableau d’amortissement

Un tableau d'amortissement détaille pour chaque période : l'annuité, les intérêts, le capital remboursé et le capital restant dû.

Conclusion : la relation entre prix d’un titre et taux d’intérêt de marché

À l'équilibre, le prix de marché d'un titre est identique à sa valeur fondamentale. Il est possible d'inverser la causalité : les prix de marché des titres déterminent les taux d'intérêt (qui mesurent la rentabilité attendue).

Du prix des titres au taux d'intérêt d'équilibre

Si le prix de marché d'un titre (ex: obligation) est connu, le taux d'intérêt sans risque correspondant peut être calculé en utilisant le principe de non-arbitrage. Par exemple, si une obligation promet 1000€ dans un an et coûte 960€ aujourd'hui, le taux d'intérêt r est tel que :

960 = 1000 / (1 + r) => r = (1000 / 960) - 1 = 4,16%

Ce principe est fondamental pour construire la courbe des taux d'intérêt.