Logarithme népérien et exponentielle

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Cours complet de Terminale sur les fonctions ln et exp : définitions, propriétés algébriques, dérivées, limites, représentations graphiques, résolutions d'équations et applications en optimisation et modélisation.

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Question

Comment la fonction exponentielle est-elle définie?

Answer

Unique fonction dérivable égale à sa dérivée, valant 1 en 0. Dénote exp ou x → e^x.

Question

Quelles sont les limites importantes de la fonction ln(x) à connaître?

Answer

• lim

Question

Quelle est la primitive usuelle de e^x?

Answer

e^x + C

Question

Quelles sont les propriétés algébriques de e^a et e^b?

Answer

e^a+b = e^ae^b; e^a-b = e^a/e^b; e^na = (e^a)ⁿ

Question

Quelle est la primitive usuelle de 1/x?

Answer

La primitive de 1/x est ln |x| + C.

Question

Quelle est la loi de décroissance radioactive?

Answer

La quantité de matière radioactive décroît selon la loi : N(t) = N₀e^-λt.

Question

Quel est le lien fondamental entre les fonctions ln et exp?

Answer

Elles sont réciproques :

Question

Comment résout-on une équation impliquant des exponentielles?

Answer

Utiliser l'injectivité de exp : e^a = e^b ⇔ a = b, ou passer au logarithme : e^a = k ⇔ a = ln(k).

Question

Comment peut-on modéliser la croissance d'une population dans des conditions idéales?

Answer

P(t) = P₀e^rt, où P₀ est la population initiale, r le taux de croissance, et t le temps.

Question

Quelle est la formule de la dérivée de ln(u) lorsque u est une fonction dérivable et strictement positive?

Answer

[ln(u)]' = u'/u

Question

Quelle est la dérivée de la fonction ln(x) et comment cela affecte-t-il ses variations?

Answer

La dérivée de ln(x) est 1/x. Comme 1/x > 0 pour x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[.

Question

Comment calculer l'intégrale définie de 1/x entre 1 et e?

Answer

= 1

Question

Comment se compare la croissance logarithmique à la croissance linéaire?

Answer

Logarithmique croît moins vite que toute fonction linéaire.

Question

Comment résoudre l'inéquation ln(x) < 3?

Answer

Appliquer la fonction exponentielle :

x < e^3

. Le domaine est

x > 0

. Donc

0 < x < e^3

Question

Comment résout-on une équation impliquant des logarithmes népériens?

Answer

Domaine, propriétés algébriques, injectivité (ln a = ln b ⇔ a = b) ou croissance (ln a < ln b ⇔ a < b).

Question

Comment se compare la croissance exponentielle à la croissance polynomiale?

Answer

L'exponentielle croît plus vite que toute fonction puissance.

Question

Quelle est la dérivée de la fonction e^x et quelle est sa conséquence sur les variations?

Answer

La dérivée de e^x est e^x. Elle est toujours positive, donc la fonction est strictement croissante.

Question

Quelle est la définition de la fonction logarithme népérien?

Answer

Primitive de 1/x sur ]0,+∞[ telle que ln(1) = 0.

Question

Quelles sont les propriétés algébriques de ln(a) et ln(b) pour les réels a et b strictement positifs?

Answer

ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
ln(aⁿ) = n ln(a)

Question

Quelle est la formule de la dérivée de e^u lorsque u est une fonction dérivable?

Answer

[e^u]' = u'×e^u

Les Fonctions Logarithme Népérien et Exponentielle

Les fonctions logarithme népérien (ln) et exponentielle (exp) sont des outils fondamentaux de l'analyse mathématique. Elles sont couramment utilisées en sciences, ingénierie, économie, et bien d'autres domaines pour modéliser des phénomènes de croissance, de décroissance, et pour résoudre des problèmes complexes. Ce document explore leurs définitions, propriétés, études de variations, résolutions d'équations et inéquations, leurs dérivées et intégrales, ainsi que leurs applications pratiques.

1. La Fonction Logarithme Népérien (ln)

La fonction logarithme népérien est une fonction essentielle en analyse, souvent notée ou simplement ln. Elle est étroitement liée à la fonction exponentielle et joue un rôle crucial dans de nombreux calculs.

1.1 Définition et Propriétés Fondamentales

1.1.1 Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur l'intervalle . Elle est l'unique primitive de la fonction qui s'annule en 1. Plus précisément :

Pour tout :

Il est crucial de se souvenir que le logarithme népérien n'est défini que pour les nombres strictement positifs. La valeur est une référence clé. Le nombre , appelé constante de Néper (environ 2,71828), est la base du logarithme népérien et vérifie .

1.1.2 Propriétés Algébriques

Les propriétés algébriques du logarithme népérien sont fondamentales pour simplifier les expressions et résoudre les équations. Pour tous réels et strictement positifs, et pour tout entier :

Produit :
Quotient :
Puissance :
Inverse :
Racine carrée :

Exemples d'application :

Erreurs fréquentes à éviter :

1.2 Étude de la fonction ln

1.2.1 Dérivée et Variations

La fonction ln est dérivable sur . Sa dérivée est . Puisque pour tout , , la fonction ln est strictement croissante sur son domaine de définition.

Tableau de variations de :


	—

1.2.2 Limites

Les limites de la fonction ln aux bornes de son domaine sont :

(La droite est une asymptote verticale)

Il existe aussi des limites de référence importantes pour comparer les croissances :

(Le logarithme croît moins vite que n'importe quelle puissance de )

Plus généralement, pour tout , .

1.2.3 Représentation Graphique

La courbe représentative de passe par le point et est toujours croissante. Elle est concave et possède l'axe des ordonnées () comme asymptote verticale. Graphique de la fonction logarithme népérien y = ln(x)

1.3 Équations et Inéquations

1.3.1 Résolution d'Équations

Pour résoudre des équations impliquant des logarithmes, la méthode suit plusieurs étapes rigoureuses :

Déterminer le domaine de définition : tous les arguments des fonctions ln doivent être strictement positifs.
Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier l'équation jusqu'à obtenir la forme ou .
Utiliser l'injectivité de la fonction ln : . Si l'équation est de la forme , alors .
Vérifier que les solutions trouvées appartiennent au domaine de définition initial.

Exemple : Résoudre dans l'équation .

Domaine de définition : Il faut que et . Cela implique et . Le domaine est donc .
Résolution : Par injectivité de ln, on a .
, donc .
Vérification : La solution appartient bien à .
L'ensemble des solutions est .

1.3.2 Résolution d'Inéquations

La résolution d'inéquations utilise la stricte croissance de la fonction ln :

Pour tous : (et de même pour , , ).

Exemple : Résoudre dans l'inéquation .

Domaine de définition : Il faut que et . Cela implique et . Le domaine est donc .
Résolution : Par stricte croissance de ln, on a .
, donc , soit .
Intersection avec le domaine : La solution doit satisfaire et .
L'ensemble des solutions est .

2. La Fonction Exponentielle (exp)

La fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithme népérien. Elle est fondamentale dans l'étude des croissances rapides et des phénomènes de déclin.

2.1 Définition et Propriétés Fondamentales

2.1.1 Définition

La fonction exponentielle, notée exp ou , est définie sur . C'est l'unique fonction dérivable sur qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0 :

Pour tout :

Caractéristiques importantes :

La fonction exponentielle est définie sur l'ensemble de tous les nombres réels.
Elle est toujours strictement positive : pour tout .
Le nombre est la base de cette fonction.

2.1.2 Lien avec le Logarithme Népérien

Les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. Cette relation est cruciale pour la résolution d'équations et la simplification d'expressions :

Pour tout :
Pour tout :

Applications immédiates :

2.1.3 Propriétés Algébriques

Les propriétés algébriques de l'exponentielle sont analogues à celles des puissances et sont essentielles pour manipuler ces fonctions. Pour tous réels et , et pour tout entier :

Produit :
Quotient :
Puissance :
Inverse :
Racine carrée :

Exemples d'application :

2.2 Étude de la fonction exp

2.2.1 Dérivée et Variations

La fonction exp est dérivable sur , et sa dérivée est elle-même : . Puisque est toujours strictement positive, la fonction exp est strictement croissante sur .

Tableau de variations de :


	—

2.2.2 Limites

Les limites de la fonction exp aux bornes de son domaine sont :

(L'axe des abscisses est une asymptote horizontale)

Pour la comparaison des croissances, les limites importantes sont :

(L'exponentielle croît plus vite que n'importe quelle puissance de )

Plus généralement, pour tout , .

2.2.3 Représentation Graphique

La courbe représentative de passe par le point et est toujours croissante. Elle est convexe et possède l'axe des abscisses () comme asymptote horizontale à l'infini négatif. Graphique de la fonction exponentielle y = e^x

2.3 Équations et Inéquations

2.3.1 Résolution d'Équations

Pour résoudre des équations impliquant des exponentielles :

Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier l'équation jusqu'à obtenir la forme ou .
Utiliser l'injectivité de la fonction exp : .
Si l'équation est de la forme , passer au logarithme népérien : , à condition que (car est toujours positif). Si , l'équation n'a pas de solution.

Exemple 1 : Résoudre dans l'équation .

Par injectivité de exp, on a .
, donc .
La solution est . L'ensemble des solutions est .

Exemple 2 : Résoudre dans l'équation .

Puisque , on peut passer au logarithme : .
L'ensemble des solutions est .

2.3.2 Résolution d'Inéquations

La résolution d'inéquations utilise la stricte croissance de la fonction exp :

Pour tous : (et de même pour , , ).

Exemple : Résoudre dans l'inéquation .

Par stricte croissance de exp, on a .
, donc .
L'ensemble des solutions est .

3. Dérivées de Fonctions Composées

Lorsqu'une fonction logarithmique ou exponentielle est composée avec une autre fonction, des règles spécifiques de dérivation s'appliquent.

3.1 Dérivée de

Si est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle , alors la fonction est dérivable sur , et sa dérivée est :

Exemples :

Soit définie sur .
Ici, , donc . Alors .
Soit définie sur (car a un discriminant négatif et son coefficient dominant est positif, donc le trinôme est toujours positif).
Ici, , donc . Alors .
Soit définie sur (où ).
Ici, , donc . Alors .

3.2 Dérivée de

Si est une fonction dérivable sur un intervalle , alors la fonction est dérivable sur , et sa dérivée est :

Exemples :

Soit .
Ici, , donc . Alors .
Soit .
Ici, , donc . Alors .
Soit .
Ici, , donc . Alors .

3.3 Dérivée de (puissance)

Pour une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle , et pour tout réel , la dérivée de est :

Cette règle peut être démontrée en utilisant la fonction exponentielle et logarithme népérien : . En dérivant cette expression en utilisant la règle de dérivation de avec : . Ainsi, .

4. Applications et Problèmes

Les fonctions logarithme et exponentielle trouvent de nombreuses applications dans la modélisation de phénomènes réels et la résolution de problèmes pratiques.

4.1 Croissances Comparées

Comprendre la vitesse de croissance des fonctions logarithmiques, polynomiales et exponentielles est crucial pour l'étude asymptotique des fonctions.

4.1.1 Croissance Logarithmique vs Croissance Linéaire (et polynomiale)

La fonction logarithme népérien croît très lentement. Elle est "écrasée" par toute fonction puissance :

Pour tout :

Cela signifie que est négligeable devant lorsque tend vers l'infini. Par exemple, croît beaucoup moins vite que , , ou même .

4.1.2 Croissance Exponentielle vs Croissance Polynomiale

À l'inverse du logarithme, la fonction exponentielle croît extrêmement rapidement, dominant toute fonction polynomiale :

Pour tout :
Ce qui implique également

Ceci signifie que est prépondérante devant à l'infini. Par exemple, croît beaucoup plus vite que .

4.2 Résolution de Problèmes d'Optimisation

Les dérivées des fonctions ln et exp sont utilisées pour trouver les extremums (maximums ou minimums) de fonctions modélisant des situations concrètes.

Exemple : On considère la fonction définie sur . Trouver son maximum.

Étude des variations de :

Calculons la dérivée en utilisant la règle du produit avec et . et . .

Le signe de dépend du signe de car est toujours positif. . si . si .

Tableau de variations :

On calcule les limites : . par croissance comparée.

Maximum de sur :

Le tableau de variations montre que la fonction atteint un maximum local en . La valeur de ce maximum est .

4.3 Modélisation de Phénomènes

Les fonctions exponentielles sont particulièrement adaptées pour modéliser des évolutions qui varient proportionnellement à leur valeur actuelle.

4.3.1 Décroissance Radioactive

La quantité de matière radioactive décroît selon une loi exponentielle. La formule est :

: quantité de matière radioactive au temps
: quantité initiale de matière radioactive ()
: constante de désintégration (positive)
: temps

Le signe négatif dans l'exposant indique une décroissance.

4.3.2 Croissance d'une Population

Dans des conditions idéales (ressources illimitées, pas de prédateurs), une population peut croître de manière exponentielle :

: population au temps
: population initiale ()
: taux de croissance (positif)
: temps

Le signe positif dans l'exposant indique une croissance. Ces modèles sont des simplifications, mais ils fournissent une base pour comprendre des dynamiques complexes.

Exemple (Problème 7) : La température d'un objet chaud placé dans une pièce à 20°C suit la loi : , où est le temps en minutes et la température en °C.

Température initiale :
À , .
Temps pour atteindre 30°C :
On cherche tel que . On passe au logarithme népérien : minutes.
Température limite :
On calcule . Comme , . L'objet tend vers la température ambiante.

Exemple (Problème 8) : Une population de bactéries double toutes les 3 heures. est le nombre de bactéries au bout de heures, avec .

Expression de :
Le modèle est de la forme . On sait . La population double toutes les 3 heures, donc . . Donc . On peut aussi écrire .
Nombre de bactéries après 12 heures :
bactéries.
Temps pour atteindre 100 000 bactéries :
On cherche tel que . ou heures.

5. Primitives et Intégrales

L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. Les primitives des fonctions logarithme et exponentielle sont des éléments clés du calcul intégral.

5.1 Primitives Usuelles

Voici les primitives importantes liées aux fonctions ln et exp :

Primitive de : (pour )
Primitive de :
Primitive de : (pour )
Primitive de :

Exemples de calcul de primitives :

Calculer .
On reconnaît la forme . Soit . Alors . La primitive est . (Notez que est toujours positif, donc pas besoin de valeur absolue).
Calculer .
On reconnaît la forme . Soit . Alors . La primitive est .

5.2 Calcul d'Intégrales

Les intégrales définies permettent de calculer des aires, des volumes, des moyennes, etc., en utilisant les primitives.

Exemple 1 : Calculer .

Une primitive de est (car sur ). .

Exemple 2 : Calculer .

Pour trouver une primitive de , on peut reconnaître , qui est de la forme avec et . Une primitive est donc . .

6. Exercices

Pour renforcer la compréhension, voici quelques exercices types couvrant les différentes facettes des fonctions ln et exp.

6.1 Calculs avec ln et exp

Simplifications :
Équations :
1. . Domaine . . . .
2. . . .
3. . Domaine . . . .
4. . . . .

6.2 Dérivées

. .
. .
. (Produit ) .
. (Quotient ) .

6.3 Études de Fonctions

Exemple (Problème 4) : Soit définie sur .

Calculer et étudier son signe :
. Pour , le signe de est celui de . si (f est décroissante). si . si (f est croissante).

Dresser le tableau de variations de :

Minimum local en : .

Calculer les limites :
.

. Comme et , .

6.4 Inéquations

. Domaine . . .
. . .
. Domaine . . Intersection : .
. . .

7. Formulaire Récapitulatif

Ce formulaire rassemble les informations clés pour un accès rapide.

Propriétés algébriques du logarithme :

Propriétés algébriques de l'exponentielle :

Dérivées :

(pour )
(pour )

Limites usuelles :

(pour )
(pour )

Primitives :

Relations fondamentales :

(pour )
(pour )

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