Grandeurs physiques et dimensions

Grandeurs Physiques et Dimensions

Une grandeur physique est une propriété d'un phénomène, d'un corps ou d'une substance, que l'on peut exprimer quantitativement sous forme d'un nombre et d'une unité de mesure. Une loi physique est une relation entre les grandeurs physiques caractérisant un système.

Exemples de Grandeurs Physiques

• Grandeurs géométriques: longueur (ex: rayon d'un atome d'hydrogène ), surface (ex: océans ), volume (ex: Jupiter ).

• Grandeurs cinématiques: position, vitesse (ex: lumière ), accélération.

• Grandeurs thermodynamiques: pression (ex: atmosphérique ), température (ex: ébullition eau ), puissance, énergie.

• Grandeurs liées à la quantité de matière: masse (ex: bactérie ), mol (ex: entités), débit (ex: Seine ).

Dimensions des Grandeurs Physiques

La dimension d'une grandeur informe sur sa nature physique.

Grandeurs Fondamentales l

Il existe 7 grandeurs fondamentales, qui forment la base de toutes les autres grandeurs physiques. Leurs dimensions sont représentées par des symboles spécifiques :

Grandeurs Dérivées

Toutes les autres grandeurs mesurables sont dérivées de ces grandeurs fondamentales. La dimension du produit de deux grandeurs est le produit de leurs dimensions.

• Vitesse:

• Accélération:

• Force:

• Pression:

Propriétés des Dimensions

• Deux grandeurs de même nature ont même dimension (ex: énergie et travail ).

• La réciproque n'est pas vraie: des grandeurs ayant la même dimension ne sont pas nécessairement de même nature. Par exemple, l'énergie et le moment d'une force ont la même dimension () mais sont des grandeurs différentes, distinguées par leurs unités (joule et newton mètre).

• Pour les dérivées et intégrales: et .

Constantes

• Les constantes numériques (ex: , ) sont sans dimension, donc leur dimension est $1$.

• Il faut distinguer les constantes numériques des constantes physiques qui, elles, peuvent avoir une dimension (ex: vitesse de la lumière , constante d'Avogadro , constante de Boltzmann ).

Analyse Dimensionnelle et Homogénéité

Pour comparer, ajouter ou soustraire deux grandeurs physiques, elles doivent avoir la même dimension. Les deux membres d'une égalité doivent également avoir la même dimension. Il faut donc s'assurer de l'homogénéité des relations utilisées.

• Exemple du Théorème de Pascal: et . Les dimensions sont identiques.

• Les arguments d'une fonction mathématique (ex: exponentielle, trigonométrique) sont sans dimension. Par exemple, dans la charge d'un condensateur , l'argument est sans dimension, impliquant que (homogène à un temps).

Système International d'Unités (SI)

Il est généralement recommandé d'utiliser les unités du Système International (SI).

Unités SI Dérivées

Autres Unités Pratiques

Certains domaines utilisent des unités non-SI plus adaptées aux valeurs typiques:

• Longueur/Distance:

  • Ångström (, ) en cristallographie.

  • Unité astronomique (, ), année-lumière (, ), parsec (, ) en astrophysique.

• Énergie:

  • Électron-volt (, ).

• Masse:

  • Tonne (, ).

  • GeV en physique des particules.

  • Dalton (, ) en chimie.

Multiples et Sous-Multiples du SI

Il est souvent judicieux d'utiliser les préfixes du SI pour que les valeurs numériques soient proches de 1.

Utilisation de l'Analyse Dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle, en plus de vérifier l'homogénéité, permet de prédire ou retrouver des lois physiques.

Toute grandeur physique G peut s'écrire sous la forme d'une équation aux dimensions:

où les exposants sont généralement des nombres rationnels.

Exemple 1: Période d'Oscillation d'un Pendule Simple

La période d'oscillation d'un pendule simple dépend de sa longueur , sa masse et l'accélération de la pesanteur . On cherche la forme de la relation .

• Dimensions: , , , .

• .

• Par identification avec la dimension de :

  • (la période ne dépend pas de la masse).

  • .

  • .

• Ainsi, . (En réalité, ).

• Conclusion: Pour doubler la période d'un pendule, il faut multiplier sa longueur par 4.

Exemple 2: Dimension d'une Capacité

On sait que et .

• Alors, .

Exemple 3: Énergie Stockée dans un Condensateur

Relation entre l'énergie stockée, la capacité et la tension : .

• Dimensions: , , .

• .

• Par identification:

• En résolvant, on obtient et .

• Donc, . (En réalité, ).

Angles et Dimensions

Un angle est défini comme le rapport entre la longueur de l'arc () et le rayon () qui le sous-tend (). À ce titre, un angle est sans dimension ().

L'unité d'angle est le radian, ce qui permet de définir d'autres unités comme la vitesse angulaire en rad s⁻¹.

• .

• .

• Par défaut, considérer que les angles sont exprimés en radian.

Conseils pour les Calculs Physiques

Méthode Générale

1. Mener les calculs analytiques jusqu'au bout.

2. Convertir toutes les valeurs numériques dans le Système International (SI).

3. Remplacer les symboles par les valeurs numériques sans indiquer les unités.

4. Effectuer le calcul numérique. Donner le résultat final avec son unité et le nombre adéquat de chiffres significatifs.

5. Effectuer une analyse critique des résultats obtenus.

Détail des Calculs Analytiques

• Établir des égalités: Utiliser des égalités scalaires ou vectorielles de manière cohérente (, et non ou ).

• Conserver les termes analytiques: Ne pas remplacer prématurément les symboles par des valeurs numériques afin de préserver la dimensionnalité et faciliter l'analyse critique.

Conversion des Unités vers le SI

• Température: Par défaut en Kelvin (K), obligatoire pour la loi des gaz parfaits ().

  • .

  • Pour une différence de température, la conversion n'est pas nécessaire, car les échelles Kelvin et Celsius sont décalées de .

Présentation des Résultats

• Remplacer les symboles par les valeurs numériques (sans unité) pour le calcul final.

• Le résultat final doit impérativement avoir son unité et un nombre ajusté de chiffres significatifs.

• Analyse critique: Avoir en tête les ordres de grandeur pour vérifier la plausibilité des résultats.

Exemple de Calcul Pratique

Calculer la pression finale de de dioxygène (supposé parfait) occupant à et , puis chauffé à . On donne .

1. Assigner symboles et convertir:

   • .

   • .

   • , . (Convertir en K pour calculs impliquant : , ).

   • .

2. Grandeurs manquantes:

   • Masse molaire .

   • Nombre de moles . (Vérification dimensionnelle: ).

3. Calcul analytique et numérique (simplifié pour l'exemple donné):

   Si la relation finale est (supposant un processus isochore avec apport de chaleur), et en utilisant en Celsius car c'est une différence :

   (ici, une erreur de calcul dans la source originale car est à tort ) En utilisant la valeur correcte des sources .

4. Analyse critique: Comparer le résultat aux ordres de grandeur attendus.

Résumé des Bonnes Pratiques

• Faire les calculs analytiques d'abord.

• Convertir en SI avant l'application numérique.

• Vérifier l'homogénéité dimensionnelle.

• Utiliser un nombre approprié de chiffres significatifs.

• Toujours inclure les unités dans le résultat final.