Fundamentals of Statics: Forces, Moments, and Equilibrium

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This note provides a comprehensive overview of the fundamental principles of statics, covering forces, moments, equilibrium conditions, and systems of forces. It delves into graphical statics, centroids, moments of inertia, and the resolution of static problems in both 2D and 3D. The document also includes numerous examples and applications to solidify understanding.

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Review

Question

Qu'est-ce que la statique ?

Answer

La statique étudie les lois de composition des forces et les conditions d'équilibre des corps matériels soumis à l'action des forces.

Question

Quelle est l'unité de force dans le système SI ?

Answer

Le newton [N], qui est la force qui communique à une masse de 1 kg une accélération de 1 m/s².

Question

Différence entre masse et poids ?

Answer

La masse est la quantité de matière (kg), tandis que le poids est la force d'attraction de la Terre sur cette masse (N).

Question

Comment définit-on le moment d'une force

\vec{f}

par rapport à un point P ?

Answer

C'est le produit vectoriel

\vec{m}_P(f) = \vec{PA} \times \vec{f}

, où A est un point sur la ligne d'action de la force.

Question

Qu'est-ce qu'un couple de forces ?

Answer

Un système de deux forces parallèles de même module, de sens contraires, dont l'action se réduit à un effet de rotation pur.

Question

Comment est défini le vecteur "Résultante" d'un système de forces ?

Answer

C'est la somme vectorielle de toutes les forces du système:

\vec{F} = \sum \vec{f}_i

Question

Comment est défini le "Moment résultant"

\vec{M}_P

d'un système de forces ?

Answer

C'est la somme vectorielle des moments de chaque force par rapport au même point P:

\vec{M}_P = \sum \vec{m}_P(f_i)

Question

Quelles sont les deux conditions vectorielles d'équilibre d'un solide ?

Answer

La résultante des forces doit être nulle (

\vec{F} = \vec{0}

) et le moment résultant par rapport à un point doit être nul (

\vec{M}_P = \vec{0}

Question

Qu'énonce le théorème de Varignon pour des forces concourantes ?

Answer

Le moment de la résultante des forces est égal à la somme des moments des forces composantes par rapport au même point.

Question

Qu'est-ce que l'axe central d'un système de forces ?

Answer

C'est le lieu géométrique des points où le moment résultant

\vec{M}_P

est minimum et colinéaire à la résultante

\vec{F}

Question

Qu'est-ce qu'un point matériel ?

Answer

Un corps idéalisé sans dimension mais avec une masse non nulle, dont la position est repérée par un point.

Question

Comment définit-on le centre de masse (G) d'un système de points ?

Answer

Par la relation vectorielle

m \vec{OG} = \sum m_i \vec{OA_i}

, où m est la masse totale.

Question

Quand le centre de masse et le centre de gravité sont-ils confondus ?

Answer

Lorsque le système est placé dans un champ gravifique uniforme, où

\vec{g}

est constant.

Question

Qu'énonce le premier théorème de Guldin ?

Answer

La surface engendrée par une ligne tournant autour d'un axe est égale à la longueur de la ligne multipliée par la circonférence décrite par son centre de masse.

Question

Qu'énonce le second théorème de Guldin ?

Answer

Le volume engendré par une surface tournant autour d'un axe est égal à l'aire de la surface multipliée par la circonférence décrite par son centre de masse.

Question

Qu'est-ce que le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe ?

Answer

La somme des produits des masses élémentaires par le carré de leur distance à cet axe de référence (

J_r = \int_S d^2 dm

Question

Qu'énonce le théorème de König-Huyghens ?

Answer

Le moment d'inertie par rapport à un axe est égal à celui par rapport à un axe parallèle passant par G, plus

m d^2

. (

J_a = J_{aG} + m d^2

)

Question

Qu'est-ce qu'un appui mobile dans le plan ?

Answer

Un appui dont la réaction est une force unique, perpendiculaire à la surface d'appui, empêchant une seule translation. Il autorise la rotation.

Question

Qu'est-ce qu'un encastrement dans le plan ?

Answer

Une liaison qui empêche toute translation et toute rotation. Elle génère deux composantes de force et un moment de réaction.

Question

Qu'est-ce qu'un système isostatique ?

Answer

Un système où le nombre d'inconnues de liaison correspond exactement au nombre d'équations d'équilibre disponibles.

Question

Qu'est-ce qu'un système hyperstatique ?

Answer

Un système où le nombre d'inconnues de liaison est supérieur au nombre d'équations d'équilibre, nécessitant l'étude des déformations.

Question

Quelle est la condition pour qu'un corps glisse sur un plan ?

Answer

La composante tangentielle de la force appliquée doit être supérieure à la force de frottement statique maximale,

\|\vec{r}_{\max}\| = \mu_s \|\vec{n}\|

Question

Qu'est-ce que le travail élémentaire d'une force ?

Answer

C'est le produit scalaire de la force par le déplacement infinitésimal:

dW_f = \vec{f} \cdot d\vec{l}

Question

Qu'énonce le principe des travaux virtuels ?

Answer

Pour un système en équilibre, la somme des travaux des forces extérieures actives pour un déplacement virtuel compatible avec les liaisons est nulle.

Question

Qu'est-ce qu'un système triangulé (treillis) ?

Answer

Un assemblage de barres droites formant des triangles juxtaposés, conçu pour être géométriquement indéformable.

Question

Quelle est l'hypothèse sur les efforts dans une barre bi-articulée d'un treillis ?

Answer

Les efforts sont uniquement de traction ou de compression, dirigés selon l'axe de la barre.

Question

Qu'est-ce que la graphostatique ?

Answer

L'ensemble des méthodes graphiques utilisées pour résoudre les problèmes de statique, principalement pour les systèmes de forces coplanaires.

Question

Quelles sont les deux conditions d'équilibre en graphostatique ?

Answer

Le polygone des forces (

\vec{F} = \vec{0}

) et le polygone funiculaire (

\vec{M}_P = \vec{0}

) doivent tous deux être fermés.

Question

Comment définit-on un solide homogène ?

Answer

C'est un système où la masse unitaire (par unité de longueur, de surface ou de volume) est constante pour tout élément.

Question

Où se situe le centre de masse d'un demi-cercle de rayon R ?

Answer

Sur l'axe de symétrie, à une distance

y_G = \frac{4R}{3\pi}

de la base.

Question

Où se situe le centre de masse d'une demi-circonférence de rayon R ?

Answer

Sur l'axe de symétrie, à une distance

y_G = \frac{2R}{\pi}

du diamètre.

Question

Quel est le moment d'inertie propre d'une section rectangulaire (

b \times h

) par rapport à son axe central parallèle à

b

Answer

I_{xG} = \frac{bh^3}{12}

Question

Quel est le moment d'inertie d'une section circulaire pleine (diamètre D) par rapport à un diamètre ?

Answer

I_x = \frac{\pi D^4}{64}

Question

Comment déplace-t-on une force en dehors de sa ligne d'action ?

Answer

En la transportant au nouveau point et en ajoutant un couple de transport, égal au moment de la force initiale par rapport à ce nouveau point.

Question

Qu'est-ce que le rayon de giration

i_{g,r}

Answer

La distance où concentrer toute la masse

m

pour obtenir le même moment d'inertie

J_r

. Il est défini par

i_{g,r} = \sqrt{J_r/m}

Question

Que signifie un produit d'inertie (

I_{xy}

) nul ?

Answer

Cela indique qu'au moins un des axes (Ox ou Oy) est un axe de symétrie pour la figure.

Question

Quelle est la condition pour qu'un solide soit en équilibre sous l'action de deux forces ?

Answer

Les deux forces doivent être réciproques : opposées, de même module et sur la même ligne d'action.

Question

Quelle est la condition pour qu'un solide soit en équilibre sous l'action de trois forces ?

Answer

Les trois forces doivent être coplanaires, concourantes et leur somme vectorielle doit être nulle (triangle des forces fermé).

Question

Quelle est la particularité des forces intérieures dans l'étude de l'équilibre d'un système ?

Answer

Elles s'annulent deux à deux (action-réaction) et n'interviennent donc pas dans les équations d'équilibre de l'ensemble du système.

Question

Combien d'équations d'équilibre a-t-on pour un solide dans l'espace ?

Answer

Six équations: trois pour la somme des forces (

∑ F_x, ∑ F_y, ∑ F_z = 0

) et trois pour la somme des moments (

∑ M_x, ∑ M_y, ∑ M_z = 0

Question

Combien d'inconnues de réaction un appui fixe (rotule) introduit-il dans le plan ?

Answer

Deux inconnues: les deux composantes de la force de réaction (

f_{Ax}

f_{Ay}

). La rotation est permise.

Question

Comment est traité une charge répartie uniforme pour le calcul d'équilibre ?

Answer

Elle est remplacée par sa résultante (force ponctuelle), appliquée au centre de gravité de la zone de répartition.

Question

Qu'est-ce que l'angle d'adhérence

\phi_0

Answer

C'est l'angle maximum que la réaction d'appui peut faire avec la normale avant qu'il y ait glissement. On a

\tan \phi_0 = \mu_s

Question

Quelle est la position du centre de gravité d'un cône de révolution homogène ?

Answer

Sur son axe de symétrie, à une distance de

h/4

de sa base, où

h

est la hauteur du cône.

Question

Quel est le moment d'inertie d'un cylindre plein par rapport à son axe de révolution ?

Answer

J_z = \frac{1}{2} m r_0^2

, où

m

est la masse et

r_0

le rayon.

Question

Qu'est-ce que le moment d'inertie polaire

I_O

pour une surface plane ?

Answer

C'est le moment d'inertie par rapport à un pôle O perpendiculaire au plan.

I_O = I_x + I_y

Question

Que permet la méthode de Crémona ?

Answer

C'est une méthode graphique pour déterminer les efforts de traction et de compression dans les barres d'un système triangulé (treillis).

Question

À quoi sert la droite de Culmann en graphostatique ?

Answer

Elle permet de résoudre graphiquement l'équilibre d'un corps soumis à quatre forces coplanaires non concourantes.

Question

Peut-on faire glisser une force le long de sa ligne d'action sans changer l'équilibre ?

Answer

Oui, pour un solide indéformable, l'effet externe de la force reste identique. C'est le principe du vecteur glissant.

Question

Qu'est-ce qu'un déplacement virtuel ?

Answer

Un déplacement infinitésimal et imaginaire, compatible avec les liaisons, appliqué à un système en équilibre pour analyser ses conditions.

Notes de cours : Statique des Corps Indéformables

La statique est une branche de la mécanique qui étudie les lois de composition des forces et les conditions d'équilibre des corps matériels soumis à l'action de ces forces. Elle est essentielle pour comprendre la stabilité des structures et des systèmes mécaniques. Ce cours, bien que théorique, met l'accent sur les applications pratiques dans le domaine de l'ingénierie.

Chapitre 0. Introduction

La mécanique rationnelle étudie les lois générales du mouvement et de l'équilibre des corps matériels sous l'action de forces. Elle se divise en trois parties :

Statique : Étude de l'équilibre des corps sous l'action de forces.
Cinématique : Étude des propriétés géométriques du mouvement des corps, sans considérer les forces.
Dynamique : Étude des lois du mouvement des corps matériels sous l'action de forces extérieures.

Selon la nature de l'objet étudié, la mécanique se subdivise en :

Mécanique duLa mécanique rationnelle est une branche de la physique qui étudie les lois générales du mouvement et de l'équilibre des corps matériels soumis à des forces. Elle est traditionnellement divisée en trois parties principales : la statique, la cinématique et la dynamique.
Objet du cours
La statique est la partie de la mécanique rationnelle qui se concentre sur l'étude de la composition des forces et les conditions d'équilibre des corps matériels. Elle considère les corps comme parfaitement rigides ou indéformables, où la distance entre deux points ne varie pas. Bien que les déformations soient négligeables pour l'équilibre, elles sont cruciales pour l'étude de la rupture et de l'hyperstaticité.
Rappels sur les forces et les moments de forces
Le concept de force est intuitif et provient de l'expérience quotidienne. C'est une grandeur vectorielle caractérisée par une direction, un sens, une intensité (module) et un point d'application. Les forces peuvent être classées selon leur sens (motrice ou résistante) et leur action (de contact – concentrées ou réparties – ou à distance).
Unités de forces
Dans le Système International (SI), l'unité de force est le newton [N].
Définition : Le newton est la force qui communique à une masse de un kilogramme une accélération de .
L'ancien système (MKpS) utilisait le kilogramme-force [kgf] ou kilogramme-poids [kgp].
Définition : Le kilogramme-force est la force qui communique à une masse de un kilogramme une accélération de .
La relation est : .
Il est crucial de ne pas confondre la masse (quantité de matière, en [kg]) et le poids (force d'attraction gravitationnelle, en [N]). Le poids d'une masse de _1 kg_ est d'environ _9.81 N_ en Belgique.
Moments de forces
Le moment d'une force est une grandeur physique qui mesure la capacité d'une force à produire une rotation autour d'un point ou d'un axe.
Définition et introduction
L'efficacité d'une force à produire une rotation dépend non seulement de son intensité mais aussi de son "bras de levier". Le moment d'une force par rapport à un point P est noté .
Moment d'une force par rapport à un point
Le moment d'une force par rapport à un point P est un vecteur défini par le produit vectoriel : $ où :
- P est le point par rapport auquel le moment est calculé.
- A est un point quelconque sur la ligne d'action de la force .

Les propriétés du moment vectoriel sont :

Il est lié au point P.
Il est perpendiculaire au plan formé par et P.
Son sens est donné par la règle de la main droite (formant un trièdre direct avec et ).
Son module est : d$ est le bras de levier, la distance perpendiculaire entre P et la ligne d'action de .
L'unité de moment est le newton mètre (Nm).

Remarques importantes :

est indépendant du point A choisi sur la ligne d'action de , car est un _vecteur glissant_.
Le moment d'une force est toujours défini _par rapport à un point donné_. Changer le point de référence modifie généralement le moment.
si P est sur la ligne d'action de ou si .
Le moment d'une force est à la _rotation_ ce que la force est à la _translation_.

Expression analytique

Pour une force appliquée en A et un point P , le moment est donné par le déterminant : (0, 0, 0) $Changement de centre de momentLe moment d'une force connaissant au point P peut être calculé pour un autre point P' par la formule : $Moment d'une force par rapport à un axeLe moment par rapport à un axe est la composante du moment d'une force qui est utile à la rotation autour de cet axe.<ol class="tight" data-tight="true"><li>Première définition : Le moment de par rapport à un axe a est la projection sur cet axe a du moment de la force par rapport à un point quelconque P de l'axe. \vec{1}_aa $</li><li>Deuxième définition : Le moment de par rapport à un axe a est le moment de la projection de sur un plan perpendiculaire à l'axe a, par rapport au point P de percée de cet axe dans le plan . \vec{m}_a(f)a $.</li></ol> Propriétés :<ul class="tight" data-tight="true"><li> est un _vecteur glissant_ sur l'axe .</li><li> si la ligne d'action de rencontre l'axe (c'est-à-dire si est perpendiculaire à l'axe ) ou si la ligne d'action de est parallèle à l'axe .</li><li>Le moment d'une force par rapport à un axe est indépendant du point choisi</li></ul>sur l'axe.Expression analytique du moment par rapport aux axes de coordonnéesSi une force est appliquée en A , et si l'on prend l'origine O comme point P, les moments par rapport aux axes sont :<ul class="tight" data-tight="true"><li></li><li></li><li></li></ul>Le moment résultant par rapport à l'origine est la somme vectorielle de ses composantes axiales : $<h2>Systèmes de forces</h2>Un système de forces est l'ensemble des forces agissant simultanément sur un corps. Ce système est représenté par un ensemble de _vecteurs glissants_ (parfois liés).<h3>Vecteurs caractéristiques d'un système de forces</h3>Les effets d'un système de forces (translation et rotation) peuvent être représentés par deux vecteurs "équivalents" au système : le _vecteur résultante des forces_ et le _vecteur moment résultant_.DéfinitionLe système de forces (où ) est l'ensemble des forces agissant sur un solide. Il peut être réduit à un vecteur résultante et un vecteur moment résultant en un point P, qui reproduisent les mêmes effets de translation et de rotation.Vecteur "Résultante" des forcesLa résultante est la somme vectorielle de toutes les forces du système : \vec{F}\vec{F}$ est un _vecteur libre_ dont le point d'application n'est pas encore défini.

Vecteur "Moment résultant"

Le moment résultant est la somme vectorielle des moments de chaque force par rapport au point P : $' in math mode at position 67: \dotsan data-latex="$ ̲ Les composante…" style="color:#cc0000">undefined \vec{M}_{P

'}(f) = \vec{M}_P(f) - \vec{P P'} \times \vec{f} $' in math mode at position 49: \dotsan data-latex="$ ̲ \vec{M}_P(f) =…" style="color:#cc0000">En particulier : $2.2.3. Moment d'une force par rapport à un axeA) DéfinitionsLe moment par rapport à un axe est la composante du moment qui est utile pour la rotation d'un solide autour de cet axe.<ol class="tight" data-tight="true"><li>Le moment de par rapport à un axe est la projection sur cet axe du moment de la force par rapport à un point quelconque P de l'axe.</li><li>Alternativement, le moment de par rapport à un axe est le moment de la projection de sur un plan perpendiculaire à l'axe , par rapport au point P d'intersection de l'axe et du plan .</li></ol>Ce moment est un vecteur aligné avec l'axe .B) Expression vectorielleEn utilisant la première définition : $où est le vecteur unitaire de l'axe .Le modulede la projection est : $Donc, l'expression vectorielle s'écrit : $Propriétés :<ol class="tight" data-tight="true"><li> est un vecteur glissant sur l'axe .</li><li> si la ligne d'action de rencontre l'axe ou si la ligne d'action de est parallèle à l'axe .</li><li>Le moment d'une force par rapport à un axe est indépendant du point P choisi sur la droite. Si P et P' sont deux points sur l'axe : \overrightarrow{P'P}\vec{1}_a(\overrightarrow{P'P} \times \vec{f}) \bullet \vec{1}_a = 0 $.</li></ol>C) Expression analytiquePour des axes de coordonnées (Ox, Oy, Oz), le moment par rapport à l'axe Ox est la composante du moment total .SiP est l'origine O, et une force est appliquée en A : $Le moment total par rapport à l'origine O est la somme de ces moments axiaux : $<h2>Chapitre 3. Systèmes de Forces</h2>Ce chapitre aborde la notion de systèmes de forces, c'est-à-dire l'ensemble des forces agissant simultanément sur un corps. L'objectif est de réduire ces systèmes complexes à des éléments plus simples (résultante et moment résultant) qui décrivent les mêmes effets de translation et de rotation.<h3>3.1. Vecteurs caractéristiques d'un système de forces</h3>3.1.1. DéfinitionUn système de forces est l'ensemble des forces (où ) qui agissent simultanément sur un point matériel ou un solide. Ces forces sont représentées par des vecteurs, généralement glissants ouparfois liés.Les effets de translation et de rotation du solide, dus à chaque force et chaque moment, s'additionnent vectoriellement. Si un autre système de forces produit le même mouvement, il est dit équivalent. Tout système de forces peut être remplacé par deux vecteurs "équivalents" :<ul class="tight" data-tight="true"><li>Le vecteur "résultante" des forces .</li><li>Le vecteur "moment résultant" par rapport à un point P.</li></ul>Ces deux vecteurs sont appelés vecteurs caractéristiques du système de forces.3.1.2. Vecteur "Résultante" des forces<blockquote>Définition : La résultante est la somme vectorielle de toutes les forces qui composent le système. $</blockquote>Dans une base orthonormée Oxyz, les composantes de sont : $La résultante est un vecteur libre ; elle n'a pas de point d'application déterminé sur le solide.3.1.3. Vecteur "Moment résultant"<blockquote>Définition : Le moment résultant est la somme vectorielle des moments de chacune des forces par rapport au point P.</blockquote>\boxed{\vec{M}_P = \vec{m}_P(f_1) + \vec{m}_P(f_2) + \vec{m}_P(f_3) + \dots = \sum_{i=1}^{n} \vec{m}_P(f_i)} Si le moment résultant est calculé par rapport à l'origine O (), ses composantes sont : $Où est le moment résultant par rapport à l'axe x (y, z).Formule de changement de centre des moments résultants :<blockquote> $</blockquote>Cette relation découle directement de la formule de changement de centre pour une seule force, appliquée à la somme de toutes les forces.3.1.4. Invariants d'un système de forces et leur réductionLorsqu'on réduit un système de forces, on cherche à le remplacer par des éléments équivalents pour simplifier l'analyse de ses effets.A) est un invariant vectorielLa résultante est un invariant vectoriel. Elle est indépendante du choix du point par rapport auquel les moments sont calculés et du système d'axesutilisé.B) n'est pas un invariant vectorielLe moment résultant n'est pas un invariant vectoriel. Il dépend du point P par rapport auquel il est calculé. Il est crucial de spécifier ce point de référence.C) est un invariant scalaireLe produit scalaire est un invariant scalaire. \vec{M}_P\vec{F}$ est constante, quel que soit le point P.Remarques :<ol class="tight" data-tight="true"><li>Pour un système de forces coplanaires dans Oxy, , car est perpendiculaire au plan des forces (suivant ).</li><li>Si , alors devient un invariant vectoriel : . Le moment résultant est le même pour tout point de l'espace.</li></ol><h3>3.2. Réduction d'un système de forces</h3>3.2.1. PrincipeRéduire un système de forces en un point O consiste à le remplacer par ses deux vecteurs caractéristiques : la résultante et le moment résultant .Cas particuliers de réduction :<ol class="tight" data-tight="true"><li> et : Le système de forces est équivalent à en tous points de l'espace. Le corps est en équilibre.</li><li> et : Le systeme se réduit au seul vecteur en tout point de l'espace. Le seul mouvement possible est une rotation (cas des couples de forces).</li><li> et : Le seul mouvement possible est une translation.</li><li> et : Le système est réduit à une force et un moment . Il existe des points où est nul ou minimal.</li></ol>3.2.2. Forces concourantes (Théorème de Varignon)Si toutes les forces sont concourantes en un point A :<blockquote>Théorème de Varignon : Dans un système de forces concourantes en A, le moment résultant (par rapport à un point quelconque O) est égal au moment de la résultante (par rapport au même point O), si est localisée sur une ligne d'action passant par A. $</blockquote>Pour tout point P sur la ligne d'action de passant par A (appelée axe central dans ce cas), le moment résultant . La réduction du système se résume à la seule résultante .3.2.3. Axe Central d'un système de force<blockquote>Définition : L'axe central (AC) d'un système de forces est le lieu géométrique des points par rapport auxquels le moment résultant est minimum.</blockquote>Conséquence : Les vecteurs résultante et moment résultant (avec ) sont colinéaires. Le moment résultant est minimal et aligné avec la résultante des forces.3.2.4. Forces quelconques dans l'espacePour un systeme de forces quelconque dans l'espace, la réduction en un point Q donne une résultante et un moment résultant qui ne sont pas nécessairement alignés. L'invariant scalaire reste constant.L'axe central est défini comme le lieu des points P pour lesquels et sont alignés. Cela implique que est minimum.L'équation vectorielle de l'axe central est donnée par : $où est le vecteur position d'un point P sur l'axe central. Le premier terme représente le point P' (point de percée de l'axe central dans le plan perpendiculaire à passant par O) : $La valeur minimale du moment résultant est : $Les équations cartésiennes de l'axe central sont déterminées à partir des équations paramétriques : $où sont les composantes de .3.2.5. Forces coplanaires quelconquesDans un plan Oxy, un système de forces se réduit en O à une résultante et un moment perpendiculaire au plan. L'équation de l'axe central pour des forces coplanaires est : $Ceci représente une droite dans le plan. Pour tout point P appartenant à cet axe central, , ce qui est bien le moment résultant minimum. La réduction du système en un point de l'axe central donne la seule résultante .3.2.6. Forces parallèlesPour un système de forces parallèles, l'axe central est particulier.A) CoplanairesSi des forces parallèles et coplanaires sont, par exemple, parallèles à l'axe Oy à des abscisses :L'équation de l'axe central est : $Une autre forme, issue du théorème de Varignon étendu, est : $La réduction consiste alors en la seule force appliquée au point .B) Forces parallèles dans l'espaceSi les forces parallèles sont dans l'espace (ex: parallèles à Oz) :<ul class="tight" data-tight="true"><li>On peut utiliser la formule générale de l'axe central : .</li><li>Ou, avec le théorème de Varignon étendu, les équations de l'axe central sont : $ La position de l'axe central est indépendante du choix du système d'axes.</li></ul>C) Cas particulier : le couple de forcesUn couple de forces est un système de deux forces opposées (même module, sens contraires, parallèles mais non colinéaires). Sa résultante .L'action d'un couple se réduit à un effet de rotation, caractérisé par le moment du couple , qui est indépendant du point par rapport auquel il est calculé.\vec{f}_2 = -\vec{f}_1\vec{M}_P = \vec{M}_O - \vec{OP} \times \vec{F} = \vec{M}_O\vec{F} = \vec{0} $).Le module du moment du couple est , où est la distance perpendiculaire entre les deux forces (bras de levier).Deux couples sont équivalents s'ils ont le même moment. Cela signifie qu'ils doivent être dans des plans parallèles et que le produit force-distance reste constant.<h3>3.3. Modifications à l'intérieur d'un système de forces</h3>3.3.1. Changement du point d'application d'une forceUne force appliquée en A peut être déplacée vers un point B (non situé sur la ligne d'action de ) si l'on ajoute un couple de transport dont le moment est .Ce nouveau système (force en B + couple ) est équivalent au système initial (force en A).3.3.2. Décomposition d'une forceUne force peut être décomposée en plusieurs forces.<ul><li>Décomposition en forces concourantes : Si la ligne d'action de passe par un point A, peut être remplacée par dont les lignes d'action passent aussi par A.</li><li>Décomposition en forces parallèles : peut être remplacée par dont les lignes d'action sont parallèles à , à condition que leur somme algébrique soit et que leur moment résultant par rapport à un point P sur la ligne d'action de soit nul.Pour deux forces parallèles et : $</li></ul>3.3.3. Remplacement du vecteur momentUn moment appliqué en O peut être remplacé par un couple de forces et dans un plan perpendiculaire à , espacées d'une distance telle que . Il existe une infinité de possibilités pour choisir la direction et le module de et la distance .<h2>Chapitre 4. Géométrie des Masses</h2>Ce chapitre introduit les concepts de géométrie des masses, qui englobe la définition et les propriétés de paramètres caractérisant les systèmes matériels. Ces paramètres fournissent une information globale sur la distribution de la masse et sont fondamentaux pour l'étude dynamique des systèmes.<h3>4.1. Description d'un système matériel</h3>4.1.1. Notion de point matérielUn point matériel est une idéalisation : un point doué de masse, sans dimension (ni volume, ni surface). Cette abstraction est utile lorsque les dimensions d'un objet peuvent être négligées dans l'étude de son mouvement ou de son équilibre.4.1.2. Systèmes matérielsUn système de points matériels ou système matériel est un ensemble (fini ou non) de points matériels.<ul class="tight" data-tight="true"><li>Si le nombre de points est fini, la masse totale du système est la somme des masses de chaque point : .</li><li>Pour une représentation continue (objets avec un grand nombre de points matériels très rapprochés), on associe à chaque élément différentiel (longueur, surface, volume) une masse élémentaire , où est la masse unitaire (par unité de longueur, surface ou volume).</li></ul>La masse totale d'un système continu est .4.1.3. Utilité de la géométrie des massesLa géométrie des masses caractérise les systèmes matériels par :<ul class="tight" data-tight="true"><li>Le centre de masse : un point moyen qui fournit une information globale sur la situation du système.</li><li>Les moments et produits d'inertie : des paramètres qui caractérisent la dispersion (ou concentration) des points du système autour d'un point, d'une droite ou d'un plan donnés.</li></ul>Ces paramètres jouent un rôle fondamental dans l'étude dynamique des systèmes, en plus de leur rôle de caractérisation globale.<h3>4.2. Centre de masse</h3>4.2.1. Définition du centre de masseLe centre de masse (G), également appelé centre d'inertie ou barycentre, est un point unique associé à un système de masses.A) Expression vectoriellePour un système de points de masses et une masse totale , le point G est défini par la relation : $Ce qui donne : $Le point G ainsi défini est indépendant du point O choisi comme origine.Remarques :<ol class="tight" data-tight="true"><li>Il peut être utile, pour certains problèmes, d'admettre des points à masse négative, à condition que la masse totale du système reste positive.</li><li>Définition dynamique : Le centre d'inertie est le point dont le vecteur position représente la vitesse moyenne du système dans l'espace.</li><li>Définition intrinsèque : G est également défini par , ce qui revient à placer l'origine du système d'axes en G.</li><li>Pour les répartitions continues de masses, la somme est remplacée par une intégrale : d\Omega$ est un élément différentiel de courbe, de surface ou de volume.</li><li> représente le vecteur position du centre de gravité de l'élément .</li></ol>B) Coordonnées du centre de masseÀ partir de l'expression vectorielle,les coordonnées du centre de masse sont :<ul class="tight" data-tight="true"><li>Pour un système de points : $</li><li>Pour un système continu (avec les coordonnées du centre de la masse ) : $</li></ul>4.2.2. Centre de masse et centre de gravitéA) Champ gravifique uniformeLe centre de gravité est défini comme le point d'application de la résultante des forces de pesanteur.Dans un champ gravifique uniforme (où le vecteur accélération de la pesanteur $\vec{g}$ est constant en grandeur et en direction), le centre de gravité est confondu avec le centre de masse G.Ceci est démontré en suspendant un système en différents points. La verticale passant par le point de suspension à l'équilibre doit passer par le centre de gravité. Puisque les forces sont toutes parallèles, la résultante est appliquée sur son axe central. Les coordonnées de cet axe central, et , s'écrivent : $Ces expressions sont identiques à celles du centre de masse, prouvant que G se trouve sur cet axe central. La généralisation pour les systèmes continus est similaire en remplaçant les sommes par des intégrales.B) Solide homogèneUn systeme est homogène si sa masse unitaire (par unité de longueur, surface ou volume) est constante pour tout élément différentiel .Dans ce cas, se simplifie dans les expressions des coordonnées du centre de masse : $Ce qui signifie que pour un solide volumique homogène, le centre de masse est confondu avec le "centre de volume". Les mêmes simplifications s'appliquent pour les centres de surface et de ligne.Remarque : Sauf mention contraire, les systèmes matériels seront considérés comme homogènes et placés dans un champ gravifique constant.4.2.3.Systèmes à symétrie matérielleUn élément de symétrie matérielle (centre, axe ou plan) d'un système est un élément de symétrie pour lequel deux points correspondants ont la même masse (symétrie géométrique et massique).<blockquote>Si un système possède un élément de symétrie matérielle, le centre de masse du système appartient à cet élément de symétrie.</blockquote>Ceci est dû au fait que le centre de masse est unique. Si G n'appartenait pas à l'élément de symétrie, son symétrique G'' serait aussi un centre de masse, ce qui contredirait l'unicité.4.2.4. Cas particuliers : les systèmes rectilignes et les systèmes plansSi un système de points matériels est contenu dans une droite ou un plan, son centre de masse G appartient à cette droite ou à ce plan.<ul class="tight" data-tight="true"><li>Si le système est rectiligne (le long de l'axe Ox), alors .</li><li>Si le système est plan (dans le plan Oxy), alors .</li></ul>Pour un système rectiligne le long d'une droite définie par O et un vecteur unitaire , avec :$Ceci prouve que G se situe sur la droite $d$ .Remarque : Pour des systèmes courbes (non rectilignes) ou des surfaces non planes, le centre de masse n'appartient pas nécessairement à la courbe ou à la surface elle-même. Le centre de masse n'est pas forcément un point matériel du système.4.2.5. Théorèmes de GuldinLes théorèmes de Guldin permettent de calculer des aires ou des volumes de révolution à partir de la surface ou de la ligne génératrice et de la position de son centre de masse.A) Premier théorème<blockquote>Le premier théorème de Guldin énonce que la surface de révolution engendrée par une ligne tournant autour d'un axe (situé dans son plan et ne la traversant pas) est égale au produit de la longueur de la ligne par la circonférence que décrit son centre de masse. $ Où :<ul class="tight" data-tight="true"><li> est l'aire de la surface de révolution.</li><li> est la longueur de la ligne génératrice.</li><li> est la distance du centre de masse G de la ligne à l'axe de rotation.</li></ul></blockquote>Il est démontré en considérant un élément d'arc qui engendre un tronc de cône d'aire latérale . L'intégration sur toute la ligne conduit à $A_l = 2\pi \int_s y \, ds = 2\pi s (\frac{1}{s}\int_s y \, ds) = 2\pi s y_G = 2\pi s r_G$ .B) Second théorème<blockquote>Le second théorème de Guldin énonce que le volume de révolution engendré par une surface tournant autour d'un axe (situé dans son plan et ne la traversant pas) est égal au produit de l'aire de cette surface par la circonférence que décrit son centre de masse. $ Où :<ul class="tight" data-tight="true"><li> est le volume de révolution.</li><li> est l'aire de la surface génératrice.</li><li> est la distance du centre de masse G de la surface à l'axe de rotation.</li></ul></blockquote>Il est démontré en considérant un élément de surface qui engendre un volume élémentaire . L'intégration sur toute la surface conduit à .Remarque : Il n'existe pas de troisième théorème de Guldin car la rotation d'un volume engendrerait une forme en 4 dimensions.4.2.6. Principe de subdivision<blockquote>Si un système de points matériels peut être subdivisé en un nombre fini de sous-ensembles disjoints, son centre de masse global peut être obtenu à partir des centres de masse de ces sous-ensembles, chacun étant doté de la masse totale du sous-ensemble.</blockquote>Ce principe est un cas particulier de la définition générale du centre de masse. Il est trèsutile pour calculer le centre de masse de formes complexes en les décomposant en formes plus simples dont les centres de masse sont connus.Une technique courante est d'utiliser des parties "négatives" pour représenter des découpes (par exemple, un carré avec un trou peut être vu comme un grand carré "positif" moins un petit carré "négatif").<h3>4.3. Moments d'inertie</h3>4.3.1. IntroductionLe moment d'inertie caractérise la répartition des masses (ou surfaces, ou lignes) autour d'un point ou d'un axe. Il est crucial car il influence la "réponse" d'un corps à la rotation, même si son centre de masse est identique, la dispersion de la masse peut varier. Par exemple, une poutre rectangulaire posée "à plat" ou sur sa "tranche" aura des propriétés de résistance différentes.4.3.2. Définition du moment d'inertie<blockquote>Le moment d'inertie () d'un systeme par rapport à un élément de référence (qui peut être un point, une droite ou un plan) est la somme des produits des masses élémentaires du systeme par le carré de leur distance à l'élément de référence . S $</blockquote>Où est la distance entre le centre de gravité de la masse élémentaire et l'élément de référence .Le moment d'inertie est d'autant plus grand que les masses sont éloignées de l'élément de référence.Pour les moments d'inertie par rapport aux axes de coordonnées (Ox, Oy, Oz), en utilisant les coordonnées d'une masse infinitésimale : $Pour un système discret de points matériels : $4.3.3. Moment d'inertie d'un corps de révolutionPour un corps de révolution, le moment d'inertie par rapport à son axe de révolution peut être calculé en découpant le volume en disques minces. Si est le rayon d'un disque à une hauteur : \boxed{J_{\overline{OO'}}} = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{H} r^{4} \, \rho \, dh undefined \boxed{i_{g_r} = \sqrt{\frac{J_r}{m}}} \quad \text{(unité: m)} Il représente la distance à laquelle toute la masse devrait être concentrée par rapport à l'axe de référence pour avoir une inertie équivalente.4.3.6. Moment d'inertie polaireLe moment d'inertie polaire () est le moment d'inertie par rapport à un pôle O (un point), généralement le centre du système d'axes utilisé.Il est défini comme : $où est la distance du pôle O à la masse élémentaire .En coordonnées cartésiennes, puisque : $4.3.7. Produit d'inertie (moment d'inertie centrifuge)Les produits d'inertie () sont définis comme :$ \left\{J_{zx} = \int_S x z \, dm \quad \text{ou} \quad \sum_{i=1}^n x_i z_i m_i \right\}

Les produits d'inertie (aussi appelés moments d'inertie centrifuges) caractérisent le degré de déséquilibre dynamique des masses d'un corps en rotation. Pour un équilibre complet autour de l'axe z, et .

Un axe pour lequel les produits d'inertie (qui incluent cet axe dans leur indice, e.g., , ) sont nuls est appelé axe principal d'inertie par rapport au point O. Si un solide admet un plan de symétrie, l'axe perpendiculaire à ce plan et passant par le point O est un axe principal d'inertie.

L'axe principal d'inertie passant par le centre d'inertie du corps est appelé Axe Central Principal d'Inertie (A.C.P.I.).

Le théorème de Huyghens s'applique aussi aux produits d'inertie :

Le produit d'inertie d'un corps par rapport à deux axes donnés est égal au produit d'inertie par rapport à des axes parallèles aux premiers et passant par le centre de masse du corps (produit d'inertie propre), augmenté du produit de la masse totale du corps par le produit des distances entre les axes. $

4.3.8. Moments d'inertie par rapport à toutes les droites issues d'un point

Le moment d'inertie par rapport à une droite passant par l'origine O, dont le vecteur unitaire a pour composantes $(\cos \alpha,\cos \beta, \cos \gamma)$ , est donné par :

varie avec la direction de la droite . Il existe trois directions orthogonales pour lesquelles le moment d'inertie est un extremum local : ce sont les axes principaux d'inertie en ce point. Si le point est le centre de masse G, on parle d'axes centraux principaux d'inertie (A.C.P.I.).

4.3.9. Cas particuliers : les systèmes plans

Les systèmes plans sont particulièrement importants en Résistance des Matériaux pour l'étude des sections de poutre. Pour un plan Oxy, la coordonnée est nulle. Les moments d'inertie deviennent des moments de surface ou moments quadratiques.

A) Moments de surface (moment d'inertie statique ou quadratique)

En remplaçant $z=0IJ$ ) sont :

$L'unité est .B) Théorème de König-Huyghens (changement d'axe)Pour les surfaces planes, le théorème de König-Huyghens (appelé aussi théorème d'Huyghens) s'énonce pour un axe parallèle à un axe passant par le centre de gravité G de la surface : $Où est la surface de la section et est la distance entre les deux axes. est le moment d'inertie propre de la surface. Ce théorème est essentiel pour calculer l'inertie de formes complexes en les décomposant en éléments simples.C) Produit d'inertiePour les surfaces planes, le produit d'inertie est : $Le produit d'inertie est une mesure de la symétrie de la surface. Si la surface possède au moins un axe de symétrie passant par l'origine, le produit d'inertie propre par rapport à cet axe est nul. C'est-à-dire : si Ox et/ou Oy est un axe de symétrie, alors .D) Inertie polairePour une surface plane (2D), l'inertie polaire par rapport au point O est liée aux moments d'inertie axiaux par : $Cette relation découle de la définition générale où en 2D.E) Rayon de girationPour une surface plane d'aire , le rayon de giration () par rapport à un axe de référence est : $En résistance des matériaux, il quantifie la rigidité d'une section en flexion par rapport à sa rigidité en compression et est utilisé dans les calculs d'élancement des poutres au flambage.F) Axes centraux principaux d'inertiesPour une surface plane, le moment d'inertie par rapport à une droite passant par O et faisant un angle avec Ox est : $Les axes principaux d'inertie sont les directions pour lesquelles est maximum ou minimum. L'angle de ces axes est donné par :$

Il y a deux axes principaux d'inertie, perpendiculaires entre eux. S'ils passent par le centre de masse G, ce sont les axes centraux principaux d'inertie (A.C.P.I.).

Cas particuliers :

Si , alors .
Si Ox ou Oy est un axe de symétrie matérielle, alors , et les axes Ox et Oy sont des axes principaux.
Si et (pour des axes centrés en G), alors est constant pour tout , et il y a une infinité d'A.C.P.I. (ex: cercles, carrés).

4.3.10. Ordre de calcul

Pour des figures planes complexes, l'ordre recommandé pour déterminer les A.C.P.I. et leurs moments d'inertie est :

Choisir un système d'axes rectangulaires arbitraire, diviser la figure en parties simples et déterminer son centre de gravité G.
Placer un système d'axes centraux (passant par G) parallèle au système initial. Utiliser le théorème d'Huyghens pour calculer , et pour ce système d'axes centré en G.
Déterminer l'angle d'inclinaison des A.C.P.I. à l'aide de la formule .
Calculer les valeurs des moments d'inertie centraux principaux $I_{</li></ol>vectorielles fondamentales :<blockquote><span data-latex="$ \boxed{\begin{array}{l} \vec{F} = \sum_{i=1}^{n} \vec{f}_i = \vec{0} \quad \text{(Équilibre de translation : la somme vectorielle des forces est nulle)} \\ \vec{M}_P = \sum_{i=1}^{n} \vec{m}_P(f_i) = \vec{0} \quad \text{(Équilibre de rotation : la somme des moments de forces par rapport à un point P quelconque est nulle)} \end{array}} " data-type="inline-math"> $Comme , si , alors . Donc, si , il suffit que le moment résultant soit nul par rapport à un seul point (ex: ) pour qu'il soit nul par rapport à tout autre point P.</blockquote>Ces conditions impliquent qu'on peut modifier le système des forces extérieures sans altérer l'équilibre, tant que la résultante et le moment résultant restent inchangés. En particulier, on peut :<ul class="tight" data-tight="true"><li>Faire glisser une force sur sa ligne d'action (vecteur glissant).</li><li>Remplacer plusieurs forces concourantes par leur résultante (théorème de Varignon).</li><li>Déplacer une force sur une ligne d'action parallèle en l'accompagnant d</li></ul>'un couple de transport.<ul class="tight" data-tight="true"><li>Remplacer un moment par un couple de forces équivalent.</li></ul>5.1.3. Équations d'équilibreLes deux égalités vectorielles ( et ) sont transformées en équations algébriques en projetant les vecteurs sur les axes de coordonnées.A) Dans un espace orthonormé OxyzOn dispose de six équations fondamentales d'équilibre pour les solides indéformables :<span data-latex="$ \boxed{\left\{ \begin{array}{l} F_x = \sum f_{ix} = 0 \\ F_y = \sum f_{iy} = 0 \\ F_z = \sum f_{iz} = 0 \end{array} \right.} \quad \text{et} \quad \boxed{\left\{ \begin{array}{l} M_{Ox} = \sum m_{Ox}(f_i) = 0 \\ M_{Oy} = \sum m_{Oy}(f_i) = 0 \\ M_{Oz} = \sum m_{Oz}(f_i) = 0 \end{array} \right.} " data-type="inline-math"> $Ce système permet de résoudre des problèmes comportant au plus six inconnues scalaires.B) Dans un plan orthonormé OxyOn dispose de trois équations d'équilibre : $undefined$ \boxed{\frac{\left\| \vec{f}_1 \right\|}{\sin \alpha} = \frac{\left\| \vec{f}_2 \right\|}{\sin \beta} = \frac{\left\| \vec{f}_3 \right\|}{\sin \gamma}} " data-type="inline-math"> $ou la formule des triangles quelconques :<span data-latex="$ \boxed{\left\| \vec{f}_1 \right\|^2 = \left\| \vec{f}_2 \right\|^2 + \left\| \vec{f}_3 \right\|^2 - 2 \left\| \vec{f}_2 \right\| \left\| \vec{f}_3 \right\| \cos \alpha} " data-type="inline-math">$
5.1.6. Propriété remarquable
La projection sur un plan d'un système de forces en équilibre est un système de forces (coplanaires) en équilibre.
Cette propriété est utile pour simplifier l'étude de l'équilibre de corps soumis à des forces non coplanaires, en la ramenant à un problème de forces coplanaires (par exemple, en choisissant un plan de symétrie si le corps en possède un).
5.2. Les liaisons
5.2.1. Les forces de liaison
Un solide est dit libre si aucun dispositif ne s'oppose à son mouvement. S'il est géné dans son mouvement (par un appui), ce dispositif est appelé liaison. L'étude de l'équilibre implique de déterminer les forces de liaison (ou réactions d'appui) qui naissent au contact du corps avec son environnement extérieur. Ces réactions sont toujours considérées comme des forces appliquées par l'extérieur sur le corps étudié.
Les forces intérieures (entre parties d'un même système) ne sont jamais prises en compte dans l'étude d'équilibre du système global, car elles se neutralisent par paires avec des résultantes et moments nuls.
- Les forces qui contribuent à l'équilibre sont les forces extérieures actives (connues) et les forces extérieures réactives ou réactions d'appui (souvent inconnues).
5.2.2. Isolement d'un solide
Pour résoudre un problème de statique, il est impératif d'isoler le solide ou l'élément dont on étudie l'équilibre. Cela signifie de le représenter en y indiquant toutes les actions (poids, forces de contact, etc.) qui s'y exercent : toutes les forces actives et réactives. Les éléments connus (direction, intensité, sens, point d'application, distances) doivent être clairement indiqués.
5.2.3. Cas des ensembles de solides
Lorsqu'un ensemble de solides est étudié, les actions mutuelles entre eux deviennent des efforts intérieurs et ne sont pas comptabilisées comme des actions extérieures pour l'ensemble du système. Le principe fondamental de la statique s'applique de la même manière.
Cependant, si après suppression des appuis, la construction perd sa rigidité, il est nécessaire d'examiner l'équilibre de chaque pièce individuellement. Ceci introduit des "forces intérieures" qui deviennent des forces extérieures pour chaque pièce isolée. Pour une construction plane composée de n corps et soumise à un système plan de forces, on obtient équations pour inconnues.
5.2.4. Les différents types d'appui
La nature des réactions d'appui dépend des degrés de liberté du solide qui sont contraints.
- Un déplacement linéaire est contrecarré par une force dans la direction opposée.
- Une rotation est empêchée par un moment autour de l'axe de rotation.
Conséquences :
- Pas de force réactive dans une direction où le mouvement est possible.
- Pas de moment réactif si l'appui permet une rotation autour d'un axe.
Voici des types d'appuis courants :
A) Généralités
Un dispositif matériel s'opposant au mouvement.
B) Appui mobile dans le plan ou dans l'espace
- Degrés de liberté : 2 (rotation + translation parallèle à la surface d'appui).
- Réaction : perpendiculaire à la surface d'appui, pas de moment réactif.
- Inconnues : la grandeur de la force réactive.
C) Appui fixe dans le plan
- Degrés de liberté : 1 (rotation).
- Réaction : inclinée d'un angle par rapport à la perpendiculaire, pas de moment réactif.

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Notes de cours : Statique des Corps Indéformables

Chapitre 0. Introduction

Objet du cours

Rappels sur les forces et les moments de forces

Unités de forces

Moments de forces

5.2. Les liaisons