Fonctions linéaires et régression simple

Mathématiques Appliquées à l'Économie et la Gestion : Fonctions Linéaires et Applications

Ce cours approfondit les concepts fondamentaux des mathématiques appliquées, avec un accent particulier sur les fonctions linéaires, leur représentation et leurs applications en économie et gestion. Il est structuré en deux parties principales : les fonctions (continuité, dérivées, optimisation, primitives) et l'algèbre linéaire (matrices, opérations, inversion et résolution de systèmes linéaires).

1. Notations Mathématiques Fondamentales

Avant de plonger dans les fonctions, il est essentiel de maîtriser certaines notations mathématiques de base :

• Un ensemble est une collection d'objets, appelés éléments ou membres. Il est souvent noté en listant ses éléments entre accolades .
• Exemple : L'ensemble des nombres naturels est . Si 1 est un élément de , on écrit et on lit "1 appartient à ".
• L'ensemble des nombres entiers (positifs et négatifs) est .
• Un ensemble est inclus dans un ensemble (noté ) si chaque élément de appartient aussi à . Par exemple, .
• représente l'ensemble des nombres réels, qui incluent les nombres rationnels (fractions) et les nombres irrationnels (comme ). Graphiquement, ils correspondent à tous les points sur une ligne numérique de à .

2. Fonctions Linéaires

2.1. Définition Générale d'une Fonction

Une fonction est une application d'un ensemble (le domaine) vers un ensemble (le codomaine ou image), qui associe à chaque valeur une image unique dans .

Exemple : Calcul d'intérêt bancaire

Si une banque paie un taux d'intérêt de 5% par an sur un montant déposé , l'intérêt peut être calculé comme suit :

• Pour , .
• Pour , .
• En général, la fonction d'intérêt est .

2.2. Représentation Graphique : Système de Coordonnées Cartésiennes

Tout point peut être représenté dans le système de coordonnées cartésiennes, qui utilise un axe des (horizontal) et un axe des (vertical).

En reprenant l'exemple de l'intérêt bancaire, les points peuvent être tracés. Si peut prendre toutes les valeurs réelles, la fonction est représentée par une ligne droite passant par l'origine.

2.3. Droites et Fonctions Linéaires

Une droite est la représentation graphique d'une équation de la forme . Une fonction linéaire est une fonction de la forme , où et sont des constantes.

• Pente () : Elle mesure l'inclinaison de la droite. Elle représente le taux de changement de par rapport à .
• Ordonnée à l'origine () : C'est la valeur de lorsque . C'est le point où la droite coupe l'axe des .

Exemple : La fonction est linéaire avec et . Son graphique est la droite d'équation .

2.3.1. Impact de la Pente et de l'Ordonnée à l'Origine

• Des droites avec la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes sont parallèles.
• La valeur absolue de la pente détermine la raideur de la droite. Une pente positive indique une croissance, une pente négative une décroissance.

2.3.2. Détermination de l'Équation d'une Droite

Il existe plusieurs façons de trouver l'équation d'une droite :

1. À partir de deux points et :
   • La pente est donnée par la formule : .
   • L'ordonnée à l'origine peut être trouvée en substituant un point et la pente dans l'équation : ou .

   Exemple : Droite passant par et .

   • Pente : .
   • Ordonnée à l'origine : .
   • Équation : .
2. Forme point-pente :

   Si la pente et un point sont connus, l'équation est : .

   Exemple : Droite avec pente passant par .

2.3.3. Cas Particuliers de Droites

• Droite horizontale : Équation , où est une constante. Sa pente est .
• Droite verticale : Équation , où est une constante. Sa pente n'est pas définie.

2.4. Relations entre Droites

• Droites parallèles : Deux droites sont parallèles si elles ne se croisent jamais. Cela se produit si :
  • Elles ont la même pente (ex: et ).
  • Elles sont toutes deux verticales (ex: et ).
• Droites perpendiculaires : Deux droites sont perpendiculaires si elles se croisent à angle droit. Cela se produit si :
  • Le produit de leurs pentes est (leurs pentes sont des opposés réciproques). Ex: et .
  • L'une est verticale et l'autre horizontale.

3. Applications Économiques des Fonctions Linéaires

Les fonctions linéaires sont largement utilisées en économie et en gestion pour modéliser des concepts tels que les coûts, les revenus et les profits.

3.1. Fonction de Coût Total

Le coût total est souvent modélisé comme une fonction linéaire de la quantité produite .

Exemple : Production de verres

Une entreprise achète une machine pour 200 $ (coût fixe) et produit chaque verre pour 3 $ (coût variable unitaire).

• Coût pour produire 0 verres : (coût fixe).
• Coût pour produire 5 verres : .
• Fonction de coût total pour verres : .

Dans cette fonction linéaire, la pente représente le coût marginal, qui est le coût additionnel lié à la production d'une unité supplémentaire. L'ordonnée à l'origine représente les coûts fixes.

3.2. Fonction de Revenu

Le revenu est le montant total d'argent gagné par une entreprise grâce à la vente de biens ou services. Si est le prix de vente par unité et le nombre d'unités vendues, la fonction de revenu est : .

3.3. Fonction de Profit

Le profit est le gain financier restant après avoir soustrait tous les coûts du revenu total. Il est calculé comme : .

Exemple : Calcul du revenu et du profit

Reprenons l'exemple des verres, où chaque verre est vendu à 5 $. Nous avons .

• Revenu généré par la vente de unités : .
• Profit généré par la vente de unités : .

3.4. Point Mort

Le point mort est le niveau de ventes où le revenu total est égal aux coûts totaux, entraînant un profit nul (). À ce point, l'entreprise ne réalise ni profit ni perte ().

Exemple : Calcul du point mort pour les verres

Pour trouver le point mort, on pose :

• verres.

L'entreprise doit vendre 100 verres pour couvrir ses coûts.

Pour obtenir un profit de 200 $ :

• verres.

4. Méthode des Moindres Carrés pour l'Ajustement Linéaire

La méthode des moindres carrés est une technique d'analyse de régression utilisée pour ajuster une droite (régression linéaire) à un ensemble de points de données. L'objectif est de minimiser la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par la droite.

Étant donné un ensemble de points de données , l'équation de la droite des moindres carrés est , où (pente) et (ordonnée à l'origine) sont calculés par les formules :

Où :

• : nombre de points de données.
• : somme des produits de chaque paire et .
• : somme des valeurs .
• : somme des valeurs .
• : somme des carrés des valeurs .

Exemple : Ajustement de données

Pour les points de données :

Calcul de la pente :

Calcul de l'ordonnée à l'origine :

L'équation de la droite des moindres carrés est donc : .

4.1. Coefficient de Corrélation

Le coefficient de corrélation mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables. Sa formule est :

Où est la somme des carrés des valeurs .

Exemple : Calcul du coefficient de corrélation

En utilisant les mêmes points :

Calcul de :

Un coefficient de 0.98 indique une forte corrélation linéaire positive entre et .

Conclusion

Les fonctions linéaires sont des outils mathématiques puissants et omniprésents, particulièrement en économie et en gestion. Leur compréhension permet de modéliser et d'analyser des relations fondamentales comme les coûts, les revenus, les profits, et d'ajuster des modèles prédictifs à des données observées grâce à la régression linéaire. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour la prise de décision stratégique.