Ensembles et Intervalles : Concepts Fondamentaux

29 cards

Ce document couvre les bases des ensembles, y compris les définitions, les opérations telles que l'union, l'intersection, le produit cartésien, et le concept d'intervalles dans l'ensemble des nombres réels.

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Review

Question

Qu'est-ce qu'un ensemble ?

Answer

Une collection ou un groupement d'objets appelés éléments, sans ordre ni répétition.

Question

Comment note-t-on qu'un élément x appartient à un ensemble E ?

Answer

La relation d'appartenance se note : x ∈ E.

Question

Quand dit-on que deux ensembles A et B sont égaux ?

Answer

Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils contiennent les mêmes éléments.

Formellement, A = B ssi ∀ x, x ∈ A ⇛ x ∈ B

Question

Que signifie A ⊂ B ?

Answer

Tout élément de A est aussi un élément de B. On dit que A est inclus dans B. A ⊂ B ⇛ ∀ x, x ∈ A ⇛ x ∈ B

Question

Qu'est-ce que l'ensemble des parties de E ?

Answer

C'est l'ensemble de tous les sous-ensembles de E, noté P(E).

Question

Définir la réunion de deux ensembles A et B.

Answer

C'est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B, noté A ∪ B. A ∪ B = { x ∈ A ou x ∈ B}

Question

Définir l'intersection de deux ensembles A et B.

Answer

C'est l'ensemble des éléments appartenant simultanément à A et à B, noté A ∩ B. A ∩ B = { x ∈ A et x ∈ B}

Question

Qu'est-ce que le complémentaire d'une partie A dans E ?

Answer

L'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à A. Il est noté A^C ou ‾A.

Formellement, A^C = { x ∈ E, x ∉ A }

Question

Qu'est-ce que la différence de deux ensembles A et B ?

Answer

L'ensemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B, noté A \ B.

Formellement, A \ B = { x ∈ A et x ∉ B}

Question

Qu'est-ce que la différence symétrique de A et B ?

Answer

L'ensemble des éléments appartenant à A ou B, mais pas aux deux, noté A Δ B.

Formellement, (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) ou (A ∪ B) ∖(A ∩ B)

Question

Comment s'appelle un ensemble ne contenant qu'un seul élément ?

Answer

Un singleton, noté {x}.

Question

Qu'est-ce que l'ensemble vide ?

Answer

C'est l'unique ensemble qui ne contient aucun élément, noté ∅.

Question

Quelle est la propriété de distributivité de ∩ sur ∪ ?

Answer

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Question

Énoncer l'une des lois de De Morgan pour le complémentaire.

Answer

Le complémentaire de l'intersection est la réunion des complémentaires : C_E(A ∩ B) = C_E(A) ∪ C_E(B).

Question

Qu'est-ce que le produit cartésien de A et B ?

Answer

L'ensemble des couples (a, b) où a ∈ A et b ∈ B, noté A × B.

Formellement, A x B = { (a,b) ∣ a ∈ A, b ∈ B}

Question

Qu'est-ce que le cardinal d'un ensemble fini ?

Answer

Le nombre de ses éléments, noté card(E).

Question

Quelle est la formule du cardinal de l'union de deux ensembles ?

Answer

card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B).

Question

Quelle est la formule du cardinal du produit cartésien ?

Answer

card(A × B) = card(A) × card(B).

Question

Qu'est-ce qu'un intervalle de ℝ ?

Answer

Un sous-ensemble de ℝ contenant tous les réels compris entre deux bornes (inférieure et supérieure).

Question

Comment écrire l'intervalle correspondant à a ≤ x < b ?

Answer

Cet intervalle semi-ouvert se note [a, b[.

Question

Comment prouver en pratique l'égalité de deux ensembles A et B ?

Answer

On utilise la double inclusion : on montre que A ⊂ B et que B ⊂ A.

Question

Comment s'appellent les schémas graphiques utilisés pour représenter les ensembles ?

Answer

Des diagrammes de Venn.

Question

Que représente l'inégalité |x - a| ≤ r ?

Answer

L'ensemble des points x appartenant à l'intervalle fermé [a - r, a + r].

Question

Citez la hiérarchie d'inclusion des principaux ensembles de nombres.

Answer

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Question

Quel est la différence entre ∈ et ⊂ ?

Answer

∈ s'utilise pour les éléments et ⊂ s'utilise pour les ensembles.

Question

Quelles sont les propriétés de la réunion ?

Answer

A ∪ ∅ = A
si A ⊂ B alors A ∪ B = B

Question

Quelles sont les propriétés de l'intersection ?

Answer

A ∩ ∅ = ∅
si A ⊂ B alors A ∩ B = A

Question

Que vaut le cardinal de l'ensemble vide ? Même question pour un singleton.

Answer

card(∅) = 0

card({x}) = 1

Question

Quel est le cardinal de l'ensemble complémentaire ?

Answer

card(Ā) = card(E) - card(A)

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