Dérivation et Intégration Première Approche

Ce cours explore les fonctions numériques de variable réelle ($\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$) sous l'angle de la dérivation et de l'intégration, en s'appuyant sur les connaissances acquises au lycée. Il vise à développer rapidement des techniques de calcul, en admettant certaines définitions et résultats qui seront approfondis ultérieurement.

Notations et Définitions Fondamentales

Application vs. Fonction

• Notation a) (Application) : Pour tout $x \in D$, il existe un unique $f(x) \in E$.
• Notation b) (Fonction) : Pour tout $x \in D$, on associe soit aucun élément de $E$, soit un unique élément $f(x) \in E$.

Remarque : En pratique, les termes « application » et « fonction » sont souvent utilisés de manière interchangeable, le contexte étant déterminant pour distinguer leur usage précis.

Fonctions Numériques

Lorsque $D = E = \mathbb{R}$, on parle d'applications ou de fonctions numériques.

Domaine de Définition

Sous la notation b), le domaine de définition de $f$, noté $\mathcal{D}_f$, est l'ensemble des $x \in D$ pour lesquels $f(x)$ est calculable. C'est l'ensemble des entrées valides pour la fonction.

Exemple : Pour $f(x) = \sqrt{\frac{2 - x}{x - 4}}$, avec $D = E = \mathbb{R}$, $\mathcal{D}_f = [2,4[$.

Image et Antécédent

Soit $f$ une application de $D$ dans $E$ (notation a)) :

• Pour tout $A \subset D$, $f(A) = \{f(x) / x \in A\}$.
• Si $y = f(x)$, $y$ est l'image de $x$ par $f$, et $x$ est un antécédent de $y$ par $f$.

Sous la notation a), tout $x \in D$ a une image unique. Sous la notation b), un $x \in \mathcal{D}_f$ a une image unique, tandis qu'un $x \in D \setminus \mathcal{D}_f$ n'en a aucune. Un $y \in E$ peut n'avoir aucun antécédent ou plusieurs.

Restriction et Corestriction

Soit $f: D \longrightarrow E$ (notation a)) :

• Restriction : Si $D' \subset D$, $f|_{D'}$ est l'application de $D'$ dans $E$ qui à $x$ associe $f(x)$.
• Corestriction : Si $f(D) \subset E'$, $f|_{D'}^{E'}$ est l'application de $D$ dans $E'$ qui à $x$ associe $f(x)$.

Représentation Graphique

La représentation graphique (ou graphe) de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l'ensemble des points $(x, f(x))$ du plan, où $x$ décrit $\mathcal{D}_f$ (notation b)) ou $D$ (notation a)).

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ :

Propriétés des Fonctions

Surjectivité

Une application $f: E \longrightarrow F$ (notation a)) est surjective si et seulement si tout élément de $F$ possède au moins un antécédent dans $E$.

Injectivité

Une application $f: E \longrightarrow F$ (notation a)) est injective si et seulement si tout élément de $F$ possède au plus un antécédent dans $E$. Autrement dit, des images égales impliquent des antécédents égaux.

Bijectivité

Une application $f: D \longrightarrow E$ (notation a)) est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Cela signifie que tout élément de $E$ possède un unique antécédent dans $D$.

• Si $f$ est bijective, elle admet une bijection réciproque $f^{-1}: E \longrightarrow D$, telle que $f \circ f^{-1} = Id_E$ et $f^{-1} \circ f = Id_D$.
• Le graphe de $f^{-1}$ est le symétrique du graphe de $f$ par rapport à la droite d'équation $y = x$.

Composition de Fonctions

Si $f: D \longrightarrow E$ et $g: E \longrightarrow F$ sont deux applications (notation a)), leur composée $g \circ f$ est une application de $D$ dans $F$ définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

La composition de fonctions est associative : $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.

Exemple : Si $f(x) = \frac{1}{x}$ et $g(x) = \sqrt{x + 1}$, alors $(f \circ g)(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ et $(g \circ f)(x) = \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$.

Polynômes

Un polynôme $P$ (à coefficients réels) est une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (notation a)) de la forme $x \longmapsto a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$, où $n \in \mathbb{N}$ (degré) et $a_i \in \mathbb{R}$.

• Une racine $\alpha$ de $P$ vérifie $P(\alpha) = 0$. Si $\alpha$ est une racine, $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$ pour un polynôme $Q$.
• Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines.

Parité, Imparité et Périodicité

Soit $f: D \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction numérique (notation b)) :

• $f$ est paire si $\forall x \in \mathcal{D}_f, [-x \in \mathcal{D}_f] \land [f(x) = f(-x)]$. Son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• $f$ est impaire si $\forall x \in \mathcal{D}_f, [-x \in \mathcal{D}_f] \land [f(-x) = -f(x)]$. Son graphe est symétrique par rapport à l'origine.
• $f$ est $T$-périodique (pour $T > 0$) si $\forall x \in \mathcal{D}_f, [x + T \in \mathcal{D}_f] \land f(x + T) = f(x)$. Son graphe est invariant par translation de vecteur $T\vec{\imath}$.

Exemples : $x \longmapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ est paire ; $x \longmapsto \sin x$ est impaire et $2\pi$-périodique.

Monotonie

Soit $f: D \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction numérique :

• $f$ est croissante si $\forall x,y\in D, [x\leq y \Longrightarrow f(x)\leq f(y)]$.
• $f$ est strictement croissante si \forall x,y\in D, [x < y \Longrightarrow f(x) < f(y)].
• $f$ est décroissante si $\forall x,y\in D, [x\leq y \Longrightarrow f(x)\geq f(y)]$.
• $f$ est strictement décroissante si \forall x,y\in D, [x < y \Longrightarrow f(x) > f(y)].
• $f$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.
• $f$ est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Fonctions Majorées, Minorées et Bornées

• $f: D \longrightarrow E$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall x \in D, f(x) \leq M$.
• $f$ est minorée si $\exists m \in \mathbb{R}$ tel que $\forall x \in D, f(x) \geq m$.
• $f$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à dire que $|f|$ est majorée.

Opérations sur les Fonctions

Soit $f, g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ (notation b)) et $\lambda \in \mathbb{R}$ :

• Somme : $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$, $\mathcal{D}_{f + g} = \mathcal{D}_f\cap \mathcal{D}_g$.
• Produit par un scalaire : $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$, $\mathcal{D}_{\lambda f} = \mathcal{D}_f$.
• Produit : $(fg)(x) = f(x) \times g(x)$, $\mathcal{D}_{fg} = \mathcal{D}_f\cap \mathcal{D}_g$.
• Valeur absolue : $|f|(x) = |f(x)|$, $\mathcal{D}_{|f|} = \mathcal{D}_f$.
• Des définitions similaires existent pour $f - g$, $\frac{1}{f}$, $\frac{f}{g}$.

Fonctions Trigonométriques

Fonction Exponentielle Complexe

La fonction exponentielle complexe est définie par :

Propriétés :

• $\overline{[e^z]} = e^{[\overline{z}]}$
• $e^{z}\times e^{z^{\prime}} = e^{z + z^{\prime}}$
• Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$, $|e^{i\theta}| = 1$ (le complexe $e^{i\theta}$ est sur le cercle unité).

Définition de $\cos$ et $\sin$

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ :

Formules d'Euler : Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ :

Propriétés :

• La fonction $\cos$ est paire ; la fonction $\sin$ est impaire.
• $2\pi$ est la plus petite période de $\cos$ et $\sin$.
• $\sin \theta = 0 \iff \theta \equiv 0 [\pi]$
• $\cos \theta = 0 \iff \theta \equiv \frac {\pi}{2} [\pi]$

Fonctions Tangente et Cotangente

Définitions :

• $\mathcal{D}_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left(\frac{\pi}{2} + \pi \mathbb{Z}\right)$.
• $\mathcal{D}_{\cot} = \mathbb{R} \setminus \pi \mathbb{Z}$.
• Ces fonctions sont $\pi$-périodiques et impaires.
• Interprétation géométrique dans un triangle rectangle : SOH CAH TOA.

Formules Trigonométriques Clés

• Formule circulaire : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
• Formules d'addition :
  • $\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
  • $\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
  • $\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
  • $\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
  • $\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
  • $\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$
• Formules de duplication :
  • $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2 \cos^2 a - 1 = 1 - 2 \sin^2 a$
  • $\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$
  • $\tan(2a) = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}$
• Formules de linéarisation :
  • $\cos^2 a = \frac{\cos(2a) + 1}{2}$
  • $\sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$
• Formules de factorisation (sommes en produits, $p,q$ réels) :
  • $\cos p + \cos q = 2 \cos \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}$
  • $\cos p - \cos q = -2 \sin \frac{p + q}{2} \sin \frac{p - q}{2}$
  • $\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}$
  • $\sin p - \sin q = 2 \sin \frac{p - q}{2} \cos \frac{p + q}{2}$
• Formules de l'arc moitié (en posant $u = \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)$) :
  • $\cos \theta = \frac{1 - u^2}{1 + u^2}$
  • $\sin \theta = \frac{2u}{1 + u^2}$
  • $\tan \theta = \frac{2u}{1 - u^2}$

Valeurs Remarquables

Résolution de Systèmes Trigonométriques

Pour résoudre le système $(\cos x = c) \land (\sin x = s)$ :

• Si $c^2 + s^2 \neq 1$, le système n'a pas de solution.
• Si $c^2 + s^2 = 1$, il existe un unique $x_0 \in [0, 2\pi[$ tel que $\cos x_0 = c$ et $\sin x_0 = s$. L'ensemble des solutions est alors $x_0 + 2\pi \mathbb{Z}$.

Exemple : $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sin x \iff x \in -\frac{\pi}{4} + 2\pi \mathbb{Z}$.

Points Clés à Retenir