Suites numériques - Révision du chapitre 18

Introduction aux Suites Numériques

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels. Chaque nombre de la suite est appelé un terme. Les termes sont indexés par un entier naturel 'n', appelé le rang de la suite (ex: u_n).

Notation et Termes

• Le nom de la suite est généralement 'u' (u_n), mais peut être 'v', 'w', etc.
• 'n' est le rang du terme, un entier naturel (0, 1, 2, ...).
• u₀ est le premier terme de la suite, u₁ le deuxième, et ainsi de suite.
• Chaque u_n est un terme de la suite.
• Une suite peut être vue comme une fonction qui associe à chaque entier n un nombre réel u_n (f: N → R).

Définition d'une Suite Numérique

Il existe deux principales façons de définir une suite numérique :

1. Par une formule explicite

• Un terme u_n est exprimé directement en fonction de son rang n.
• Avantage: Permet de calculer n'importe quel terme de la suite sans connaître les précédents (ex: u₁₀₀ = 2 * 100 = 200 pour u_n = 2n).
• Exemple: La suite des nombres pairs où u_n = 2n.

2. Par une relation de récurrence

• Un terme est défini à partir du ou des termes précédents.
• Nécessite de connaître le premier terme (ou plusieurs premiers termes) pour démarrer la suite.
• Avantage: Utile pour définir des suites où la relation entre termes successifs est claire.
• Inconvénient: Pour calculer un terme lointain (ex: u₁₀₀), il faut calculer tous les termes précédents jusqu'à u₉₉.
• Exemple: u_n+1 = 3 * u_n, avec u₀ = 5.

Représentation Graphique d'une Suite

• Les termes d'une suite peuvent être représentés sous forme de points successifs dans un graphique.
• Chaque point a pour coordonnées (n, u_n).
• Il s'agit d'un nuage de points. En général, on ne relie pas les points, sauf instruction contraire.

Variation d'une Suite

La variation d'une suite décrit comment ses termes évoluent (augmentent, diminuent ou restent constants).

Pour des grandes valeurs de n, on peut observer si la suite est croissante, décroissante ou ni l'un ni l'autre.

Définitions

• Une suite u_n est croissante à partir d'un certain rang 'p' si, pour tout n ≥ p, u_n+1 ≥ u_n.
• Une suite u_n est décroissante à partir d'un certain rang 'p' si, pour tout n ≥ p, u_n+1 ≤ u_n.

Méthodes pour prouver la variation

On étudie le signe de la différence u_n+1 - u_n:

• Si u_n+1 - u_n > 0 (ou ≥ 0), la suite est croissante.
• Si u_n+1 - u_n < 0 (ou ≤ 0), la suite est décroissante.

Lien avec les fonctions

Si une suite u_n est définie par u_n = f(n), où f est une fonction définie sur [0, +∞[ :

• Si f est croissante, alors u_n est croissante.
• Si f est décroissante, alors u_n est décroissante.

Attention: Ceci s'applique à partir d'un certain rang si la fonction change de variation plus tard.

Limite d'une Suite

Rechercher la limite d'une suite, c'est déterminer son comportement lorsque 'n' devient très grand (n → +∞).

1. Suite Convergente

• Les termes de la suite se rapprochent d'une valeur unique et finie 'L' lorsque n devient très grand.
• On écrit: lim_n→+∞ u_n = L.
• Exemple: Si u_n = (2n + 1) / n, les termes se rapprochent de 2. Donc, lim_n→+∞ u_n = 2.

2. Suite Divergente

Une suite est divergente si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si ses termes :

• Tendent vers +∞ ou -∞.
• N'ont pas de limite unique (ils oscillent ou n'ont pas de tendance claire).

Cas de divergence

• Divergence vers l'infini: Les termes deviennent arbitrairement grands ou petits (ex: u_n = n² + 1, lim_n→+∞ u_n = +∞).
• Divergence sans limite: Les termes ne se stabilisent pas autour d'une valeur et ne tendent pas vers l'infini (ex: u_n+1 = (-1)ⁿ * u_n, où les termes alternent entre deux valeurs ou plus sans se rapprocher d'une limite unique).