Récurrences en Terminale

Laprobabilité est une branche des mathématiques qui étudie la possibilité qu'un événement se produise. Elle quantifie l'incertitude et est fondamentale dans de nombreux domaines commeles statistiques, la finance et la science.

Vocabulaire Fondamental en Probabilités

Expérience Aléatoire

Une **expérience aléatoire** estune expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude avant qu'elle ne soit réalisée, mais pour laquelle tous les résultats possibles sont connus à l'avance.

• Exemple : Lancer un dé à six faces, tirer une carte d'un jeu.

Univers ()

L'**univers** (ou espace des possibles), noté , est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.

• Exemple : Pour le lancer d'un dé, .

Événement

Un **événement** est un sous-ensemble de l'univers . Il représente un ensemble de résultats spécifiques d'une expérience aléatoire.

• Exemple : "Obtenir un chiffre pair" est l'événement pour le lancer d'un dé.

• Événement élémentaire : Un événement ne contenant qu'un seul résultat de . (Ex: )

• Événement certain : L'événement lui-même.Sa probabilité est 1.

• Événement impossible : L'ensemble vide . Sa probabilité est 0.

Opérations sur les Événements

Les événements peuvent être combinés comme des ensembles :

• Intersection() : L'événement "A et B se produisent".

• Réunion () : L'événement "A ou B (ou les deux) se produisent".

• Événement contraire ( ou ): L'événement "A ne se produit pas".

• Événements incompatibles / mutuellement exclusifs : et sont incompatibles si . Ils ne peuvent pas se produire simultanément.

Calcul desProbabilités

Définition Classique de la Probabilité

Si tous les événements élémentaires d'un univers fini sont équiprobables (ont la même chance de se produire), la probabilité d'un événement est donnée par :

• Exemple : La probabilité d'obtenir un 6 en lançant un dé équilibré est .

• Exemple : La probabilité d'obtenir un nombre pair est .

Propriétés des Probabilités

• pour tout événement .

• et .

• .

• .

• Si et sont incompatibles, alors .

Probabilités Conditionnelles

Définition

La **probabilité conditionnelle** de l'événement sachant que l'événement est réalisé, notée , est la probabilité que se réalise, **sachant que s'est déjà réalisé**.

, avec .

• Interprétation : On réduit l'univers à l'événement .

Formule de Bayes

La formule de Bayes permet de calculer à partir de :

Événements Indépendants

Deux événements et sont dits **indépendants** si la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.

• Condition d'indépendance : .

• Si et sont indépendants, alors (si ) et (si ).

Attention : Indépendants n'est pas la même chose qu'incompatibles ! Des événements incompatibles ne peuvent jamais être indépendants (sauf si ou est nul).

Lois de Probabilité Discrètes

Pour une variable aléatoire qui prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs.

Variable Aléatoire

Une **variable aléatoire** est une fonction qui associe un nombre réel à chaque résultat d'une expérience aléatoire.

Loi de Bernoulli ()

Modélise une expérience n'ayant que deux issues possibles :

• Succès (codé 1) avec probabilité .

• Échec (codé 0) avec probabilité .

• (espérance)

• (variance)

Loi Binomiale ()

Décrit le nombre de succès dans une séquence de expériences deBernoulli indépendantes et identiques, chacune ayant une probabilité de succès .

Synthèse et Points Clés

Les probabilités sont essentielles pour comprendre le hasard et prendre des décisions éclairées.

• Comprendre l'Univers () : La base de toute analyse probabiliste.

• Distinction Indépendance / Incompatibilité : Deux concepts cruciaux et souvent confondus.

• Formules Clés : Savoir appliquer , , et la condition d'indépendance .

• Application des Lois Courantes : La loi binomiale est fréquemment utilisée pour le nombre de succès répétés.