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Numération : Bases, Conversion, Décimal

98 carte

Covers decimal, general base systems, and conversion techniques.

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Domanda
Quel est le quotient de 452 divisé par 6 ?
Risposta
Le quotient de 452 divisé par 6 est 75, avec un reste de 2.
Domanda
Quelle est la valeur de abc‾\overline{abc} en décomposition ?
Risposta
La valeur de abc‾\overline{abc} en décomposition est <b>100a+10b+c</b><b>100a + 10b + c</b>.
Domanda
Quel est l'équivalent décimal de 10-2 ?
Risposta
L'équivalent décimal de 10-2 est 0,01.
Domanda
Quelle place correspond à 100 dans le tableau de numération ?
Risposta
La place correspondant à 100 est celle des unités.
Domanda
Quel est le quotient de 12 divisé par 6 ?
Risposta
Le quotient de 12 divisé par 6 est 2.
Domanda
Quel est le quotient de 2 divisé par 6 ?
Risposta
Le quotient de 2 divisé par 6 est 13\frac{1}{3}.
Domanda
Quel est le reste de 75 divisé par 6 ?
Risposta
Le reste de 75 divisé par 6 est 3. (75 = 12 × 6 + 3)
Domanda
Quel est le reste de la division de 20 par 61 ?
Risposta
Le reste de la division de 20 par 6 est 2. (20=3×6+220 = 3 \times 6 + 2)
Domanda
Quelle est la valeur de 23 en base 10 ?
Risposta
23 en base 10 équivaut à 8.
Domanda
Quelle est la valeur de 164 ?
Risposta
164=16×16×16×16=65 53616^4 = 16 \times 16 \times 16 \times 16 = 65\,536
Domanda
Quel symbole représente 15 en base hexadécimale ?
Risposta
En base hexadécimale, le nombre 15 est représenté par le symbole F.
Domanda
Quel est l'équivalent décimal de 10-1 ?
Risposta
L'équivalent décimal de 10-1 est 0,1.
Domanda
Quelle est la valeur de a_n dans la décomposition décimale ?
Risposta
Dans la décomposition décimale, ana_n représente le chiffre des centaines de milliards, an−1a_{n-1} celui des dizaines de milliards, etc.
Domanda
Quel symbole représente 10 en base hexadécimale ?
Risposta
En base hexadécimale, le symbole A représente la valeur 10.
Domanda
Que signifie un système de numération positionnel ?
Risposta
Un système positionnel signifie que la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre.
Domanda
Quel est le premier reste lors de la division de 452 par 6 ?
Risposta
Le premier reste est 2.
Domanda
Comment convertir un nombre de base c en base 10 ?
Risposta
Pour convertir un nombre de base c en base 10, multipliez chaque chiffre par la puissance de c correspondante et additionnez les résultats.
Domanda
Quel est l'objectif principal de la décomposition décimale d'un nombre ?
Risposta
L'objectif est de représenter un nombre comme une somme pondérée de puissances de 10.
Domanda
Quelle est la valeur de 22 en base 10 ?
Risposta
La valeur de 222^2 en base 10 est 44.
Domanda
Quelle place correspond à 102 dans le tableau de numération ?
Risposta
Dans le tableau de numération, 102 correspond aux centaines.
Domanda
Quel est le reste de 12 divisé par 6 ?
Risposta
Le reste de 12 divisé par 6 est 0.
Domanda
Comment s'écrit 123,456 en décomposition décimale sous forme de puissances de 10 ?
Risposta
123,456=1×102+2×101+3×100+4×10−1+5×10−2+6×10−3123,456 = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 + 4 \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-2} + 6 \times 10^{-3}
Domanda
Comment la méthode 2 convertit-elle un nombre en base c ?
Risposta
La méthode 2 convertit un nombre en base *c* en le divisant par *c* de manière répétée, en collectant les restes successifs. Les restes, lus de bas en haut, forment le nombre en base *c*.
Domanda
Comment interpréter 100 dans la décomposition décimale ?
Risposta
Dans la décomposition décimale, 100 représente le chiffre des unités. Il vaut 1.
Domanda
Quel est le quotient de 75 divisé par 6 ?
Risposta
Le quotient de 75 divisé par 6 est 12, avec un reste de 3.
Domanda
Quelle est la valeur de 163 ?
Risposta
La valeur de 16316^3 est 16×16×1616 \times 16 \times 16, ce qui équivaut à 40964096.
Domanda
Comment écrire 123,456 avec des fractions décimales ?
Risposta
123,456=1×100+2×10+3×1+4×110+5×1100+6×11000123,456 = 1 \times 100 + 2 \times 10 + 3 \times 1 + 4 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 6 \times \frac{1}{1000}
Domanda
Qu'est-ce qu'une base quelconque dans un système de numération ?
Risposta
Dans un système de numération, la base quelconque cc est le nombre d'unités d'un certain ordre nécessaire pour former une unité de l'ordre immédiatement supérieur.
Domanda
Quelle place correspond à 10-1 dans le tableau de numération ?
Risposta
La place correspondant à 10-1 est celle des dixièmes.
Domanda
Qu'est-ce qu'un système de numération positionnel ?
Risposta
Dans un système positionnel, la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre. C'est le cas du système décimal.
Domanda
Comment sont utilisés les restes successifs dans la conversion en base c ?
Risposta
Les restes successifs des divisions du nombre par la base c donnent les chiffres du nombre dans cette base, en partant de la droite.
Domanda
Quel est le reste de 2 divisé par 6 ?
Risposta
Le reste de 2 divisé par 6 est 2.
Domanda
Comment diffère la représentation de abc‾\overline{abc} d'une multiplication typique ?
Risposta
abc‾\overline{abc} représente un nombre à trois chiffres (100a+10b+c100a + 10b + c), tandis qu'une multiplication typique utilise des opérateurs comme ×\times.
Domanda
Quel est l'avantage d'utiliser HTML pour la mise en forme des nombres ?
Risposta
HTML n'offre pas d'avantage spécifique pour la mise en forme des nombres, car il est conçu pour structurer le contenu textuel et multimédia des pages web.
Domanda
Comment convertir le nombre 452 en base 6 avec le tableau de numération ?
Risposta
Divisez 452 par 6 : 452 = 75 × 6 + 2. Puis 75 = 12 × 6 + 3, 12 = 2 × 6 + 0, et 2 = 0 × 6 + 2. L'écriture en base 6 est 2032.
Domanda
Comment calculer 1101‾2\overline{1101}^2 en base 10 ?
Risposta
Pour calculer 1101‾2\overline{1101}^2 en base 10 : 1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=131 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
Domanda
Comment s'écrit un nombre décimal A sous forme de décomposition ?
Risposta
Un nombre décimal AA s'écrit sous forme de décomposition comme A=∑i=0nai×10i+∑j=1pbj×10−jA = \sum_{i=0}^{n} a_i \times 10^i + \sum_{j=1}^{p} b_j \times 10^{-j}
Domanda
Quelle est la base du système décimal ?
Risposta
La base du système décimal est 10, qui utilise les chiffres de 0 à 9.
Domanda
Que signifie la notation anan−1…a0,b1b2…bp‾\overline{a_n a_{n-1} \dots a_0, b_1 b_2 \dots b_p}?
Risposta
La notation anan−1…a0,b1b2…bp‾\overline{a_n a_{n-1} \dots a_0, b_1 b_2 \dots b_p} représente un nombre décimal. Elle correspond à la somme an10n+⋯+a0100+b110−1+⋯+bp10−pa_n 10^n + \dots + a_0 10^0 + b_1 10^{-1} + \dots + b_p 10^{-p}.
Domanda
Dans abc‾\overline{abc}, que représente la lettre a ?
Risposta
Dans abc‾\overline{abc}, la lettre a représente le chiffre des centaines.
Domanda
Comment la position d'un chiffre affecte sa valeur dans le système décimal ?
Risposta
Dans le système décimal, la position d'un chiffre détermine sa valeur : chaque position représente une puissance de 10, de droite à gauche : unités (10010^0), dizaines (10110^1), centaines (10210^2), etc.
Domanda
Combien de fois 62 est-il contenu dans 20 ?
Risposta
62 = 36. 20 est contenu 0 fois dans 36.
Domanda
Combien de symboles sont utilisés en base hexadécimale ?
Risposta
La base hexadécimale utilise 16 symboles : 0-9 et A-F.
Domanda
Combien de fois 63 est-il contenu dans 452 ?
Risposta
63 est égal à 216. 452 contient 2 fois 216.
Domanda
Pourquoi le système décimal est-il appelé 'en base 10' ?
Risposta
Le système décimal est appelé 'en base 10' car il utilise 10 chiffres (0 à 9) et chaque position représente une puissance de 10.
Domanda
Quels sont les symboles utilisés en base binaire ?
Risposta
En base binaire, les symboles utilisés sont 0 et 1.
Domanda
Quelle est la valeur de b_j dans la décomposition décimale ?
Risposta
Dans la décomposition décimale A=∑ai10i+∑bj10−jA = \sum a_i 10^i + \sum b_j 10^{-j}, bjb_j est le chiffre des 10−j10^{-j} (dix-millionièmes, etc.).
Domanda
Comment calculer 25A2E‾16\overline{25A2E}^{16} en base 10 ?
Risposta
25A2E‾16=(2×164)+(5×163)+(10×162)+(2×161)+(14×160)=131 072+20 480+2 560+32+14=154 15810\overline{25A2E}^{16} = (2 \times 16^4) + (5 \times 16^3) + (10 \times 16^2) + (2 \times 16^1) + (14 \times 16^0) = 131\,072 + 20\,480 + 2\,560 + 32 + 14 = 154\,158_{10}.
Domanda
Quel symbole représente 15 en base hexadécimale ?
Risposta
Le symbole qui représente 15 en base hexadécimale est le F.
Domanda
Comment s'écrit 123,456 en décomposition décimale sous forme de puissances de 10 ?
Risposta
123,456=1×102+2×101+3×100+4×10−1+5×10−2+6×10−3123,456 = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 + 4 \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-2} + 6 \times 10^{-3}
Domanda
Quel est l'équivalent décimal de 10-2 ?
Risposta
L'équivalent décimal de 10−210^{-2} est 0,010,01, ce qui représente la position des centièmes dans le système décimal.
Domanda
Quel est le quotient de 75 divisé par 6 ?
Risposta
Le quotient de 75 divisé par 6 est 12, avec un reste de 3.
Domanda
Combien de symboles sont utilisés en base binaire ?
Risposta
En base binaire (base 2), deux symboles sont utilisés : 0 et 1.
Domanda
Dans abc‾\overline{abc}, que représente la lettre a ?
Risposta
Dans abc‾\overline{abc}, la lettre a représente le chiffre des centaines d'un nombre entier à trois chiffres.
Domanda
Combien de fois 62 est-il contenu dans 20 ?
Risposta
62, soit 36, n'est contenu aucune fois (0) dans 20, car 20 est inférieur à 36.
Domanda
Quelle place correspond à 102 dans le tableau de numération ?
Risposta
Dans le tableau de numération décimale, 10210^2 correspond à la place des Centaines.
Domanda
Quels sont les symboles utilisés en base binaire ?
Risposta
En base binaire, seuls deux symboles sont utilisés : les chiffres 0 et 1.
Domanda
Quelle est la valeur de b_j dans la décomposition décimale ?
Risposta
Dans la décomposition décimale, bjb_j représente le chiffre de la jj-ième décimale, tel que 0≤bj≤90 \le b_j \le 9.
Domanda
Quelle est la valeur de 22 en base 10 ?
Risposta
La valeur de 222^2 en base 10 est 4, car 2×2=42 \times 2 = 4.
Domanda
Quel est l'objectif principal de la décomposition décimale d'un nombre ?
Risposta
L'objectif est de montrer qu'un nombre décimal est une somme de ses chiffres multipliés par des puissances de 10 selon leur position.
Domanda
Que signifie un système de numération positionnel ?
Risposta
Un système de numération positionnel est un système où la valeur d'un chiffre dépend à la fois du chiffre lui-même et de sa position dans le nombre. Le système décimal en est un exemple.
Domanda
Comment écrire 123,456 avec des fractions décimales ?
Risposta
On écrit 123,456 comme la somme de ses parties entières et décimales: 1×100+2×10+3×1+4×110+5×1100+6×110001 \times 100 + 2 \times 10 + 3 \times 1 + 4 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 6 \times \frac{1}{1000}.
Domanda
Quel est le reste de 2 divisé par 6 ?
Risposta
Le reste de 2 divisé par 6 est 2, car 6 est plus grand que 2, donc 2 est déjà le reste.
Domanda
Quel est le reste de la division de 20 par 61 ?
Risposta
Le reste de la division euclidienne de 20 par 6 est 2, car 20=3×6+220 = 3 \times 6 + 2.
Domanda
Quelle place correspond à 10-1 dans le tableau de numération ?
Risposta
Dans le tableau de numération, 10−110^{-1} correspond à la place des dixièmes, représentant la première décimale après la virgule.
Domanda
Quel est l'équivalent décimal de 10-1 ?
Risposta
L'équivalent décimal de 10−110^{-1} est 0,10,1, représentant un dixième dans le système de numération décimale.
Domanda
Comment écrire 452 en base 6 ?
Risposta
Pour écrire 452 en base 6, on divise 452 par 6, puis les quotients successifs par 6. Le nombre en base 6 est formé des restes, lus de bas en haut : 452=2032‾6452 = \overline{2032}^6.
Domanda
Quel est le reste de 12 divisé par 6 ?
Risposta
Le reste de 12 divisé par 6 est 0, car 12 est un multiple exact de 6 (12=2×6+012 = 2 \times 6 + 0).
Domanda
Comment interpréter 100 dans la décomposition décimale ?
Risposta
Dans la décomposition décimale, 10010^0 représente la position des unités, car toute base élevée à la puissance 00 est égale à 11.
Domanda
Combien de symboles sont utilisés en base hexadécimale ?
Risposta
En base hexadécimale, on utilise 16 symboles : les chiffres de 0 à 9 et les lettres de A à F (représentant 10 à 15).
Domanda
Quel est le quotient de 12 divisé par 6 ?
Risposta
Le quotient de 12 divisé par 6 est 2, car 12=2×6+012 = 2 \times 6 + 0.
Domanda
Quel est le quotient de 2 divisé par 6 ?
Risposta
Le quotient de 2 divisé par 6 est 00, avec un reste de 22.
Domanda
Quel est le reste de 75 divisé par 6 ?
Risposta
Le reste de 75 divisé par 6 est 3, car 75=12×6+375 = 12 \times 6 + 3.
Domanda
Quel symbole représente 10 en base hexadécimale ?
Risposta
En base hexadécimale, le symbole qui représente la valeur 10 est la lettre majuscule A.
Domanda
Combien de fois 63 est-il contenu dans 452 ?
Risposta
63, soit 216, est contenu 2 fois dans 452, car 452=2×216+20452 = 2 \times 216 + 20.
Domanda
Comment la méthode 2 convertit-elle un nombre en base c ?
Risposta
La méthode 2 convertit un nombre en base cc par divisions euclidiennes successives du nombre et de ses quotients par cc. Les restes, lus du dernier au premier, forment le nombre en base cc.
Domanda
Que signifie la notation anan−1…a0,b1b2…bp‾\overline{a_n a_{n-1} \dots a_0, b_1 b_2 \dots b_p}?
Risposta
Cette notation représente un nombre décimal en base 10. Les aia_i sont les chiffres de la partie entière, et les bjb_j sont ceux de la partie décimale.
Domanda
Comment sont utilisés les restes successifs dans la conversion en base c ?
Risposta
Les restes successifs des divisions par cc sont les chiffres du nombre en base cc, écrits du dernier au premier reste.
Domanda
Comment convertir le nombre 452 en base 6 avec le tableau de numération ?
Risposta
Pour convertir 452 en base 6, divisez 452 par 6, puis divisez les quotients successifs par 6 jusqu'à obtenir 0. Les restes, lus de bas en haut, donnent 452=2032‾6452 = \overline{2032}^6.
Domanda
Quelle place correspond à 100 dans le tableau de numération ?
Risposta
Dans le tableau de numération, 10010^0 correspond à la place des Unités, qui représente la valeur de 1.
Domanda
Quel est le premier reste lors de la division de 452 par 6 ?
Risposta
Le premier reste lors de la division euclidienne de 452 par 6 est 2, car 452=75×6+2452 = 75 \times 6 + 2.
Domanda
Pourquoi le système décimal est-il appelé 'en base 10' ?
Risposta
Le système est dit « en base 10 » car il utilise dix chiffres différents (de 0 à 9) et chaque position représente une puissance de 10 dans la décomposition décimale.
Domanda
Quelle est la valeur de a_n dans la décomposition décimale ?
Risposta
Dans la décomposition décimale, ana_n est le chiffre des unités lorsque la position des puissances de 1010 est 10010^0 (le terme a0a_0). ana_n représente n'importe quel chiffre entier, où 0⩽ai⩽90 \leqslant a_i \leqslant 9.
Domanda
Comment calculer 1101‾2\overline{1101}^2 en base 10 ?
Risposta
Pour calculer 1101‾2\overline{1101}^2 en base 10, on utilise la formule A=an×cn+⋯+a0×c0A = a_n \times c^n + \dots + a_0 \times c^0. On obtient 1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=131 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
Domanda
Quelle est la base du système décimal ?
Risposta
La base du système décimal est 10. Cela signifie qu’il utilise dix symboles (0 à 9) et que la valeur d’un chiffre dépend de sa position multiples de 10n10^n.
Domanda
Quelle est la valeur de 23 en base 10 ?
Risposta
La valeur de 232^3 en base 10 est 8. Cela représente 2×2×22 \times 2 \times 2
Domanda
Quel est le quotient de 452 divisé par 6 ?
Risposta
Le quotient de 452 divisé par 6 est 75, avec un reste de 2. On peut exprimer ceci comme 452=75×6+2452 = 75 \times 6 + 2.
Domanda
Comment diffère la représentation de abc‾\overline{abc} d'une multiplication typique ?
Risposta
overlineabc\\overline{abc} représente un nombre avec aa, bb, cc comme chiffres de position dans une base donnée, et non pas le produit a×b×ca \times b \times c.
Domanda
Comment convertir un nombre de base c en base 10 ?
Risposta
Pour convertir un nombre an…a0‾c\overline{a_n \dots a_0}^c en base 10, multipliez chaque chiffre aia_i par cic^i, où ii est sa position (en commençant par 0 à droite), puis additionnez les résultats. Par exemple, 1101‾2=1×23+1×22+0×21+1×20=13\overline{1101}^2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 13.
Domanda
Quelle est la valeur de abc‾\overline{abc} en décomposition ?
Risposta
La décomposition de abc‾\overline{abc} est a×102+b×101+c×100a \times 10^2 + b \times 10^1 + c \times 10^0, soit 100a+10b+c100a + 10b + c.
Domanda
Qu'est-ce qu'un système de numération positionnel ?
Risposta
Un système de numération positionnel est un système où la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Le système décimal (base 10) en est un exemple.
Domanda
Comment calculer 25A2E‾16\overline{25A2E}^{16} en base 10 ?
Risposta
Pour calculer 25A2E‾16\overline{25A2E}^{16} en base 10, il faut utiliser la somme des produits de chaque chiffre par la puissance de 16 correspondant à sa position: 2×164+5×163+10×162+2×161+14×160=1541582 \times 16^4 + 5 \times 16^3 + 10 \times 16^2 + 2 \times 16^1 + 14 \times 16^0 = 154158.
Domanda
Quelle est la valeur de 163 ?
Risposta
La valeur de 16316^3 est 4 096, car 16×16×16=256×16=409616 \times 16 \times 16 = 256 \times 16 = 4 096.
Domanda
Quel est l'avantage d'utiliser HTML pour la mise en forme des nombres ?
Risposta
L'HTML permet de représenter des nombres en utilisant pour les exposants et pour les indices, améliorant ainsi la clarté visuelle et la lecture des notations complexes comme les puissances ou les bases de numération.
Domanda
Comment la position d'un chiffre affecte sa valeur dans le système décimal ?
Risposta
Dans le système décimal, la position d'un chiffre détermine sa valeur en tant que multiple d'une puissance de 10. Chaque position représente une puissance de 10 différente.
Domanda
Comment s'écrit un nombre décimal A sous forme de décomposition ?
Risposta
Un nombre décimal A s'écrit comme la somme de ses chiffres multipliés par des puissances de 10, positives pour la partie entière et négatives pour la partie décimale.
Domanda
Qu'est-ce qu'une base quelconque dans un système de numération ?
Risposta
Une base quelconque cc est un système de numération où un nombre AA est représenté par anan−1…a0‾c\overline{a_n a_{n-1} \dots a_0}^c, avec A=an×cn+an−1×cn−1+⋯+a0×c0A = a_n \times c^n + a_{n-1} \times c^{n-1} + \dots + a_0 \times c^0.
Domanda
Quelle est la valeur de 164 ?
Risposta
La valeur de 16416^4 est 65 53665\,536. Cela représente 16 multiplié par lui-même 4 fois (16imes16imes16imes1616 imes 16 imes 16 imes 16).

La Numération : Systèmes de numération et conversions

Un système de numération est un ensemble de règles et de symboles permettant d'écrire, de nommer et de manipuler les nombres. La plupart des systèmes modernes sont des systèmes positionnels, où la valeur d'un symbole (chiffre) dépend non seulement du symbole lui-même mais aussi de sa position dans l'écriture du nombre.

Le système de numération décimale (Base 10)

Le système décimal est le système de numération que nous utilisons quotidiennement. Il est dit de base 10 car il utilise dix symboles différents, appelés chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. C'est un système positionnel car la valeur de chaque chiffre est déterminée par son rang, qui correspond à une puissance de 10.

Décomposition d'un nombre décimal

Tout nombre décimal peut être écrit sous une forme polynomiale qui met en évidence la valeur de chaque chiffre. Si le nombre s'écrit , sa décomposition est : a_i$ représentent les chiffres de la partie entière et les représentent les chiffres de la partie décimale.

Exemple concret :Soit le nombre .

  • Le chiffre 3 est à la position des centaines (). Sa valeur est .

  • Le chiffre 4 est à la position des dizaines (). Sa valeur est .

  • Le chiffre 5 est à la position des unités (). Sa valeur est .

  • Le chiffre 6 est à la position des dixièmes (). Sa valeur est .

  • Le chiffre 7 est à la position des centièmes (). Sa valeur est .

La décomposition complète est :

Tableau de numération décimale

Ce tableau illustre la valeur positionnelle de chaque chiffre.

Classe des Milliards

Classe des Millions

Classe des Milliers

Classe des Unités Simples

Partie Décimale

Centaines

Dizaines

Unités

Centaines

Dizaines

Unités

Centaines

Dizaines

Unités

Centaines

Dizaines

Unités

Dixièmes

Centièmes

Millièmes

Point de vigilance : Notation et Distinction

Notation : Dans les exercices de numération, la notation désigne un nombre entier à trois chiffres. La barre supérieure indique qu'il ne s'agit pas du produit .
Ainsi, .
Par exemple, si , alors .

Différence entre "Chiffre de" et "Nombre de" : C'est une distinction fondamentale.

  • Le chiffre des... désigne le chiffre qui occupe une position donnée. Dans 452, le chiffre des dizaines est 5.

  • Le nombre de... désigne la quantité totale d'une unité de rang donnée contenue dans le nombre. Dans 452, le nombre de dizaines est 45, car .

Exemple avec 7839 :

  • Le chiffre des centaines est 8.

  • Le nombre de centaines est 78 (car ).

Écriture en base quelconque (Base c)

Le principe du système décimal peut être généralisé à n'importe quelle base , où est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un système en base utilise symboles (chiffres).

  • Base 2 (binaire) : utilise les chiffres 0, 1. C'est le langage des ordinateurs.

  • Base 8 (octale) : utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

  • Base 16 (hexadécimale) : utilise 16 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Ici, A vaut 10, B vaut 11, ..., F vaut 15.

Conversion d'une base vers la base 10

Pour convertir un nombre écrit en base , noté , en base 10, on utilise sa décomposition polynomiale dans la base . $ Chaque chiffre du nombre en base doit être inférieur à .

Exemple 1 : Conversion du binaire (base 2) vers le décimal (base 10)Soit le nombre . La base est . Les positions correspondent aux puissances de 2 : . Donc, en base 10.

Exemple 2 : Conversion de l'hexadécimal (base 16) vers le décimal (base 10)Soit le nombre . La base est . Rappel : A=10, F=15. Donc, en base 10.

Conversion de la base 10 vers une base

Pour convertir un nombre de la base 10 vers une base , il existe deux méthodes principales. Nous utiliserons l'exemple de la conversion de 452 (base 10) en base 6.

Méthode 1 : Divisions Euclidiennes Successives

Cette méthode est la plus algorithmique et la plus fiable. Le principe est de diviser le nombre par la base , puis de diviser le quotient obtenu par , et ainsi de suite, jusqu'à ce que le quotient soit 0. Les restes successifs, lus de bas en haut (du dernier au premier), forment le nombre dans la base .

Exemple : Convertir 452 en base 6.

  1. avec un reste de .

  2. avec un reste de .

  3. avec un reste de .

  4. avec un reste de .

Le quotient est 0, on s'arrête. On lit les restes en remontant : 2, 0, 3, 2. Le dernier reste obtenu est le chiffre de plus fort poids.</p><h3style="text−align:left;">Meˊthode2:Recherchedespuissancesdelabase</h3><pstyle="text−align:left;">Cettemeˊthodeestplusintuitivemaispeute^treplussourced′erreurs.Elleconsisteaˋtrouverlaplusgrandepuissancedelabase<spandata−latex="c"data−type="inline−math"></span>contenuedanslenombre.</p><pstyle="text−align:left;"><strong>Exemple:Convertir452enbase6.</strong></p><olclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;">Listerlespuissancesdelabase6:<spandata−latex="60=1"data−type="inline−math"></span>,<spandata−latex="61=6"data−type="inline−math"></span>,<spandata−latex="62=36"data−type="inline−math"></span>,<spandata−latex="63=216"data−type="inline−math"></span>,<spandata−latex="64=1296"data−type="inline−math"></span>.</p></li><li><pstyle="text−align:left;">Laplusgrandepuissancede6infeˊrieureaˋ452est<spandata−latex="63=216"data−type="inline−math"></span>.</p></li><li><pstyle="text−align:left;">Oncherchecombiendefois216estcontenudans452:<spandata−latex="452=2×216+20"data−type="inline−math"></span>.Lepremierchiffre(depoidsleplusfort)est<strong>2</strong>.</p></li><li><pstyle="text−align:left;">Onprendlereste,20,etoncontinueaveclapuissanceinfeˊrieure,<spandata−latex="62=36"data−type="inline−math"></span>.Combiendefois36estcontenudans20?<spandata−latex="20=0×36+20"data−type="inline−math"></span>.Ledeuxieˋmechiffreest<strong>0</strong>.</p></li><li><pstyle="text−align:left;">Onprendlereste,20,etoncontinueavec<spandata−latex="61=6"data−type="inline−math"></span>.Combiendefois6estcontenudans20?<spandata−latex="20=3×6+2"data−type="inline−math"></span>.Letroisieˋmechiffreest<strong>3</strong>.</p></li><li><pstyle="text−align:left;">Ledernierreste,2,correspondauchiffredesuniteˊs(<spandata−latex="60=1"data−type="inline−math"></span>).<spandata−latex="2=2×1+0"data−type="inline−math"></span>.Ledernierchiffreest<strong>2</strong>.</p></li></ol><pstyle="text−align:left;">Enassemblantleschiffrestrouveˊs,onobtient:<spandata−latex="</p><h3 style="text-align: left;">Méthode 2 : Recherche des puissances de la base</h3><p style="text-align: left;">Cette méthode est plus intuitive mais peut être plus source d'erreurs. Elle consiste à trouver la plus grande puissance de la base <span data-latex="c" data-type="inline-math"></span> contenue dans le nombre.</p><p style="text-align: left;"><strong>Exemple : Convertir 452 en base 6.</strong></p><ol class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;">Lister les puissances de la base 6 : <span data-latex="6^0=1" data-type="inline-math"></span>, <span data-latex="6^1=6" data-type="inline-math"></span>, <span data-latex="6^2=36" data-type="inline-math"></span>, <span data-latex="6^3=216" data-type="inline-math"></span>, <span data-latex="6^4=1296" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p style="text-align: left;">La plus grande puissance de 6 inférieure à 452 est <span data-latex="6^3 = 216" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p style="text-align: left;">On cherche combien de fois 216 est contenu dans 452 : <span data-latex="452 = \mathbf{2} \times 216 + 20" data-type="inline-math"></span>. Le premier chiffre (de poids le plus fort) est <strong>2</strong>.</p></li><li><p style="text-align: left;">On prend le reste, 20, et on continue avec la puissance inférieure, <span data-latex="6^2=36" data-type="inline-math"></span>. Combien de fois 36 est contenu dans 20 ? <span data-latex="20 = \mathbf{0} \times 36 + 20" data-type="inline-math"></span>. Le deuxième chiffre est <strong>0</strong>.</p></li><li><p style="text-align: left;">On prend le reste, 20, et on continue avec <span data-latex="6^1=6" data-type="inline-math"></span>. Combien de fois 6 est contenu dans 20 ? <span data-latex="20 = \mathbf{3} \times 6 + 2" data-type="inline-math"></span>. Le troisième chiffre est <strong>3</strong>.</p></li><li><p style="text-align: left;">Le dernier reste, 2, correspond au chiffre des unités (<span data-latex="6^0=1" data-type="inline-math"></span>). <span data-latex="2 = \mathbf{2} \times 1 + 0" data-type="inline-math"></span>. Le dernier chiffre est <strong>2</strong>.</p></li></ol><p style="text-align: left;">En assemblant les chiffres trouvés, on obtient : <span data-latex=" 452 = (2 \times 6^3) + (0 \times 6^2) + (3 \times 6^1) + (2 \times 6^0) = \overline{2032}^6 " data-type="inline-math">$

Synthèse et Points Clés

  • Système Positionnel : La valeur d'un chiffre dépend de sa position (rang). Chaque rang correspond à une puissance de la base.

  • Base : Utilise chiffres, de 0 à . Pour les bases supérieures à 10, on utilise des lettres (A=10, B=11, etc.).

  • Conversion vers Base 10 : Utiliser la décomposition polynomiale. C'est une somme de produits (chiffre puissance de la base).

  • Conversion depuis Base 10 : Utiliser les divisions euclidiennes successives par la base. Les restes, lus de bas en haut, donnent le nouveau nombre.

  • Attention aux notations : La barre dans est cruciale, tout comme la distinction entre "chiffre de" et "nombre de".

Tableau de comparaison des bases courantes :

Décimal (Base 10)

Binaire (Base 2)

Octal (Base 8)

Hexadécimal (Base 16)

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

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