Nombres Complexes - Introduction

I - L'ensemble des nombres complexes

a) Définition de C

Le Théorème 2.1 énonce l'existence et l'unicité d'un ensemble, noté C, possédant les propriétés suivantes :

• R ⊂ C, avec préservation de l'addition et de la multiplication.

• Existence d'un élément i ∈ C tel que i² = -1.

• Tout z ∈ C peut s'écrire de manière unique sous la forme a + ib, où a, b ∈ R.

Ainsi, C = {a + ib | a, b ∈ R} est appelé l'ensemble des nombres complexes.

La Définition 2.1 introduit les composants d'un nombre complexe z = a + ib :

• a est la partie réelle de z, notée Re(z).

• b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).

• L'écriture a + ib est la forme algébrique de z.

On note iR l'ensemble des imaginaires purs, c'est-à-dire {ib | b ∈ R}.

La Remarque 2.1 précise que :

• Re(z) ∈ R et Im(z) ∈ R.

• z ∈ R ⇔ Im(z) = 0.

• z ∈ iR ⇔ Re(z) = 0.

Les opérations sur les nombres complexes en forme algébrique sont données par la Remarque 2.2 :

• Addition : (a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b').

• Multiplication : (a + ib) × (a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b).

• Inverse (si z ≠ 0) : 1/z = (a - ib) / (a² + b²).

b) Lien avec le plan R²

La section établit un lien entre C et le plan R² :

• La Définition 2.2 indique que pour un point A = (x, y) ∈ R², le nombre complexe x + iy est appelé l'affixe de A. Inversement, pour un nombre complexe z ∈ C, le point (Re(z), Im(z)) est l'image de z.

c) Conjugaison

La Définition 2.3 introduit le conjugué d'un nombre complexe z : z = Re(z) - iIm(z).

La Remarque 2.3 note que l'image de z est le symétrique de l'image de z par rapport à l'axe des abscisses.

La Remarque 2.4 souligne l'utilité des points 3 et 4 pour démontrer si un nombre complexe est réel ou imaginaire pur.

La Proposition 2.3 présente les propriétés de la conjugaison sur les opérations :

• z + z' = z + z'.

• z × z' = z × z'.

• Si z' ≠ 0, (z / z') = z / z'.

d) Module

La Proposition 2.4 énonce que pour z ∈ C, zz ∈ R+.

La Définition 2.4 définit le module de z, noté |z|, comme la quantité √zz.

La Remarque 2.5 explique l'interprétation géométrique du module :

• |z| est la distance entre l'image de z et l'origine dans le plan R².

• |z - z'| est la distance entre les images de z et z'.

• L'équation d'un cercle de centre w et de rayon R est |z - w| = R.

La Proposition 2.5 liste les propriétés du module :

• |z| = 0 ⇔ z = 0.

• |z| = |z|.

• Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z| et Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|.

La Proposition 2.6 introduit les propriétés du module concernant les opérations :

• |zz'| = |z| × |z'|.

• Si z' ≠ 0, |z / z'| = |z| / |z'|.

• Inégalité triangulaire 1 : |z + z'| ≤ |z| + |z'|.

• Inégalité triangulaire 2 : ||z| - |z'|| ≤ |z - z'|.

La Remarque 2.6 donne une interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire 1 : le plus court chemin entre deux points du plan est la ligne droite.

II - Trigonométrie et nombres complexes

a) Nombres complexes de module 1

La Définition 2.5 définit l'ensemble U, ou l'ensemble des nombres complexes de module 1 : U = {z ∈ C | |z| = 1} ⊂ C*.

La Proposition 2.7 affirme que l'ensemble U est stable par multiplication et par inverse.

La Remarque 2.7 précise que U a une structure de groupe et correspond géométriquement au cercle trigonométrique.

La Définition 2.6 introduit la notation exponentielle complexe : pour θ ∈ R, eiθ = cos(θ) + i sin(θ).

La Proposition 2.8 établit l'égalité ensembliste : U = {eiθ | θ ∈ R}.

La Proposition 2.9 liste des propriétés essentielles de l'exponentielle complexe :

• ei(θ+θ') = eiθ eiθ'.

• e-iθ = 1 / eiθ.

• ei(θ-θ') = eiθ / eiθ'.

• eiθ = 1 ⇔ ∃k ∈ Z, θ = 2kπ.

• eiθ = eiθ' ⇔ ∃k ∈ Z, θ = θ' + 2kπ.

La Proposition 2.10 fournit les formules d'Euler :

• cos(θ) = (eiθ + e-iθ) / 2.

• sin(θ) = (eiθ - e-iθ) / 2i.

La Proposition 2.11 énonce la formule de Moivre : pour θ ∈ R et n ∈ Z, (cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + i sin(nθ).

La Remarque 2.9 indique que la linéarisation est utile pour le calcul d'intégrales impliquant des puissances de fonctions cosinus et sinus.

III - Équations algébriques

a) Trinôme du second degré

La Définition 2.9 définit la racine carrée d'un nombre complexe z comme tout complexe α tel que α² = z.

La Proposition 2.14 stipule que tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées distinctes. Si z = reiθ, ses racines carrées sont √reiθ/2 et -√reiθ/2.

La Remarque 2.13 présente une méthode alternative pour trouver les racines carrées d'un nombre complexe z = x + iy en forme algébrique, en résolvant un système d'équations.

La Proposition 2.15 donne les solutions de l'équation quadratique az² + bz + c = 0 sur C, où a ≠ 0. En posant le discriminant Δ = b² - 4ac :

• Si Δ = 0, il y a une solution unique : z₀ = -b / 2a.

• Si Δ ≠ 0, il y a deux solutions distinctes : z₁ = (-b + δ) / 2a et z₂ = (-b - δ) / 2a, où δ est une racine carrée de Δ.

La Remarque 2.14 souligne que l'extension à C simplifie la résolution des équations quadratiques par rapport aux réels.

La Remarque 2.15 mentionne les relations entre les racines z et z' et les coefficients de l'équation : z + z' = -b / a et z × z' = c / a.

b) Racines n-ièmes

La Définition 2.10 définit la racine n-ième d'un nombre complexe z comme un complexe α tel que αn = z.

La Remarque 2.16 introduit la racine n-ième de l'unité comme une racine n-ième de 1, notée Un = {z ∈ C | zn = 1}.

La Remarque 2.17 précise que Un ⊂ C* et est stable par produit et inverse.

La Proposition 2.16 indique que Un contient exactement n éléments, les ξk = e2iπk/n pour k = 0, 1, ..., n-1.

La Remarque 2.19 fournit une identité utile pour la somme des racines n-ièmes de l'unité : ∑k=0 to n-1 ξk = 0 (si ξ = e2iπ/n).

La Remarque 2.20 illustre géométriquement que les points de Un forment un polygone régulier à n côtés.

La Proposition 2.17 énonce que pour un complexe z = reiθ, ses racines n-ièmes sont données par {n√rei(θ+2kπ)/n | 0 ≤ k ≤ n - 1}.