Modèle de Solow avec progrès technique

Voiciune synthèse des documents fournis concernant le modèle de Solow avec progrès technique, présentée sous formede fiches pratiques.

Modèle de Solow avec Progrès Technique

1. Fonction de Production Intensive

Objectif: Exprimer la production parunité de travail efficace ($\tilde{y}$) en fonction du capital par unité de travail efficace ($\tilde{k}$).

La fonction de production agrégée est $Y = K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$. Pour obtenir la forme intensive, on divise par $AL$: $\tilde{y} = \frac{Y}{AL} = \frac{K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}}{AL} = \left(\frac{K}{AL}\right)^{\alpha} = \tilde{k}^{\alpha}$

Points Clés:

• $\tilde{y}$: Production par unité de travail efficace.
• $\tilde{k}$: Capital par unité de travail efficace.
• Le progrès technique $A$ est intégré au travail efficace $AL$.

2. Équation Dynamique Fondamentale du Modèle

Objectif: Décrire l'évolution du capital par unité de travail efficace ($\tilde{k}$) au fil du temps.

Partons de la définition de $\tilde{k} = \frac{K}{AL}$. En prenant le logarithme et en dérivant par rapport à $t$: $\frac{\dot{\tilde{k}}}{\tilde{k}} = \frac{\dot{K}}{K} - \frac{\dot{A}}{A} - \frac{\dot{L}}{L}$ Avec $\frac{\dot{A}}{A} = \gamma$ (taux de croissance du progrès technique) et $\frac{\dot{L}}{L} = n$ (taux de croissance de la population). La loi d'accumulation du capital est $\dot{K}= sY - \delta K$. En substituant et simplifiant, on obtient l'équation dynamique: $\dot{\tilde{k}} = s\tilde{k}^{\alpha} - (\delta + \gamma + n)\tilde{k}$

Composantes:

• $s\tilde{k}^{\alpha}$: Investissement par unité de travail efficace.
• $(\delta + \gamma + n)\tilde{k}$: Investissement de point mort (nécessaire pour maintenir $\tilde{k}$ constant).
• $\delta$: Taux de dépréciation du capital.
• $\gamma$: Taux de croissance de l'efficacité du travail.
• $n$: Taux de croissance dela population active.

3. État Régulier (Stationnaire)

Définition: L'état où le capital par unité de travail efficace ($\tilde{k}$) est constant, c'est-à-dire $\dot{\tilde{k}}=0$. Calcul de $\tilde{k}^{*}$:

$s\tilde{k}^{\alpha} = (\delta + \gamma + n)\tilde{k}$ $\tilde{k}^{1-\alpha} = \frac{s}{\delta +\gamma + n}$ $\tilde{k}^{*} = \left(\frac{s}{\delta + \gamma + n}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$

Valeurs à l'état régulier:

• $\tilde{k}^{*}$: Capital par unité de travail efficace à l'état régulier.
• $\tilde{y}^{*}$: Production par unité de travail efficace à l'état régulier: $\tilde{y}^{*} = (\tilde{k}^{*})^{\alpha} = \left(\frac{s}{\delta + \gamma + n}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$
• $y^{*}$: Production par travailleur à l'état régulier: $y^{*} = A\tilde{y}^{*} = A\left(\frac{s}{\delta + \gamma + n}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$
• $c^{*}$: Consommation par travailleur à l'état régulier: $c^{*} = (1-s)y^{*}$

4. Taux de Croissance à Long Terme

Taux de croissance du capital par travailleur efficace ($g_{\tilde{k}}$):

• À l'état régulier, $g_{\tilde{k}} = 0$.

Taux de croissance de la production par travailleur ($g_y$):

Puisque $y = A\tilde{y}$ et $\tilde{y}$ est constant à l'état régulier, $g_y = g_A + g_{\tilde{y}} = \gamma + 0 = \gamma$.Le progrès technique ($\gamma$) est le moteur de la croissance du revenu par travailleur à long terme.

Taux de croissance de la production agrégée ($g_Y$):

Puisque $y = Y/L$, on a $g_y = g_Y - g_L$. Donc $g_Y = g_y + g_L = \gamma + n$. La production globale croît au rythme de la somme du progrès technique et de la croissance démographique.

5. Représentation Graphique (Schéma de Solow corrigé)

Éléments du graphique:

1. Courbe d'investissement: $s f(\tilde{k}) = s\tilde{k}^{\alpha}$. Croissante avec une pente décroissante.
2. Droite d'investissement de point mort: $(\delta + \gamma + n)\tilde{k}$. Droite linéaire passant par l'origine.
3. L'intersection des deux courbes détermine $\tilde{k}^{*}$.

Dynamique:

• Si $\tilde{k} < \tilde{k}^{*}$, l'investissement dépasse l'investissement de point mort, donc $\tilde{k}$ augmente.
• Si $\tilde{k} > \tilde{k}^{*}$, l'investissement estinférieur à l'investissement de point mort, donc $\tilde{k}$ diminue.
• Convergence vers $\tilde{k}^{*}$ quelle que soit la valeur initiale de $\tilde{k}$ (hors 0).

6. Effets des Chocs sur l'Économie

a. Chute du Taux de Croissance Démographique ($n$)

• Schéma de Solow: La droite d'investissement de point mort $(\delta + \gamma + n)\tilde{k}$ pivote vers le bas (sa pente diminue).
• Impact: L'investissement dépasse l'investissement de point mort pour le $\tilde{k}$ existant, entraînant une accumulation de capital.
• Long Terme: Le nouveau $\tilde{k}^{*}$ est plus élevé. Le niveau de revenu par travailleur $y^{*}$ est plus élevé.
• Taux de Croissance: $g_y$ reste $\gamma$ à long terme (inchangé), mais la trajectoire de $y$ se déplace vers le haut.

Conclusion: Un ralentissement de la croissance démographique a un effet positif sur le niveau de vie à long terme, en atteignant un sentier de croissance plus élevé, bien que le taux de croissance final soit le même.

b. Accroissement de $\gamma$ (Taux de Croissance de l'Efficacité du Travail)

• Schéma de Solow: La droite d'investissement de point mort $(\delta + \gamma + n)\tilde{k}$ pivote vers le haut (sa pente augmente).
• Impact: Pour le $\tilde{k}$ existant, l'investissement devient inférieur à l'investissement de point mort, entraînant une diminution de $\tilde{k}$.
• Long Terme: Le nouveau $\tilde{k}^{*}$ est plus faible. La nouvelle trajectoire de $y$ a une pente plus forte (nouveau $\gamma'$), mais son ordonnée à l'origine est plus faible.
• Taux de Croissance ($g_y$): À courtterme, $g_y = (1-\alpha)\gamma' + \alpha\gamma$. À long terme, $g_y = \gamma'$.

Analyse du $g_y$ à l'impact:

Initialement, $g_y = \gamma$. Après le choc, $g_{\tilde{k}} = \gamma - \gamma'$. Donc $g_y = \gamma' + \alpha(\gamma - \gamma')$. $(1-\alpha)\gamma' + \alpha\gamma$. Si$\gamma' > \gamma$, alors $\gamma < g_y < \gamma'$. La croissance augmente mais pas immédiatement à son nouveau taux de long terme.

Conclusion:Une accélération du progrès technique augmente le taux de croissance à long terme du revenu par travailleur, malgré une phase transitoire complexe et une valeur de $\tilde{k}^{*}$ plus faible. Le niveau de vie s'accroîtra sans cesse davantage à long terme.

c. Accroissement Ponctuel de $A$ (Efficacité du Travail)

• Schéma de Solow: Pas de changement direct sur les courbes d'investissement ou d'investissement de point mort en termes de $\tilde{k}$. Cependant, une augmentation de $A$ est assimilable à une baisse de $\tilde{k}$ ($K/(AL)$).
• Impact: Le revenu par travailleur $y$ fait un saut instantané à la hausse, car $y=A\tilde{y}$.
• Long Terme: Le taux de croissance $g_y$ reste $\gamma$ (inchangé). La trajectoire de $y$ se déplace vers le haut, parallèlement à l'ancienne.

Conclusion: Une augmentation ponctuelle de $A$ entraîne une accélération temporaire de la croissance et un niveau de vie durablement plus élevé,mais sans changer le taux de croissance à long terme.

7. Règle d'Or (en unités de travail efficace)

Définition: Le niveau de capital par unité de travail efficace ($\tilde{k}_{or}$) qui maximise la consommation par unité de travail efficace ($\tilde{c}^{*}$) à l'état régulier.

$\tilde{c}^{*} = \tilde{y}^{*} - (\delta + \gamma + n)\tilde{k}^{*} = (\tilde{k}^{*})^{\alpha}- (\delta + \gamma + n)\tilde{k}^{*}$ (en utilisant $s\tilde{y}^{*} = (\delta + \gamma + n)\tilde{k}^{*}$) Pour maximiser $\tilde{c}^{*}$, on dérive par rapport à $\tilde{k}^{*}$ et on annule: $\frac{d\tilde{c}^{*}}{d\tilde{k}^{*}} = \alpha(\tilde{k}^{*})^{\alpha-1} - (\delta + \gamma + n) = 0$ $\alpha(\tilde{k}_{or})^{\alpha-1} = \delta + \gamma + n$ La productivité marginale du capital est égale au taux d'amortissement augmenté du taux de croissance du progrès technique et de la population.

Valeur de $\tilde{k}_{or}$:

$\tilde{k}_{or} = \left(\frac{\alpha}{\delta + \gamma + n}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$

Taux d'épargne de règle d'or ($s_{or}$):

Le taux d'épargne qui conduit à $\tilde{k}_{or}$est $s_{or} = \alpha$. Le taux d'épargne optimal est égal à la part du capital dans le revenu (pour une fonction Cobb-Douglas).

Sur-accumulation (Dynamique Inefficace):

• Si le taux d'épargne est supérieur à $s_{or}$ (c'est-à-dire $s > \alpha$), l'économie peut trop épargner.
• Dans ce cas, $\tilde{k}^{*} > \tilde{k}_{or}$, et une réduction de l'épargne (et donc du capital) pourrait augmenter la consommation à toutes les périodes.

8. Éducation et Croissance (Modèle de Solow avec Capital Humain)

Fonction de production: $Y = K^{\alpha}(hL)^{1-\alpha}$, où $h$ est le capital humain (considéré comme constant). Réinterprétation: Ce modèle est structurellement similaire au Solow avec progrès technique, où $h$ remplace $A$. Équation dynamique: $\dot{\bar{k}} = s\bar{k}^{\alpha} - n\bar{k}$ (si $\delta=0$ et $h$ constant, donc $g_h=0$). Valeur d'état régulier:

• $\bar{k}^{*} = \left(\frac{s}{n}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$
• $y^{*} = h\left(\frac{s}{n}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$

Implications:

• Le capital humain $h$ n'affecte pas le taux de croissance à long terme (qui est $n$ pour Y, et 0 pour y), mais il affecte le niveau du revenu par travailleur.
• Un $h$ plus élevé augmente $y^{*}$.
• Ce cadre permet d'expliquer pourquoi des pays avec des niveaux de revenu par habitant très faibles peuvent avoir des taux de croissance faibles s'ils ont un faible niveau d'éducation (pas de convergence inconditionnelle).

9. Comptabilité de la Croissance

Objectif: Décomposer la croissance de la production en contributions des facteurs de production et de la productivité totale des facteurs (PTF). Formule (en log-différentiation):

Pour $y = F(k, B)$ (où $B$ est la PTF ou $A$), on a $g_y = \alpha g_k + g_B$. $g_B = g_y - \alpha g_k$

Limites:

• La comptabilité de la croissance traite la croissance du capital comme une source autonome, alors que le modèle de Solow montre que l'accumulation du capital est elle-même une conséquence du progrès technique.
• Elle se contente de mesurer sans expliquer les causes profondes de la croissance.

10. Fonction de Production d'Idées ($\dot{A}=\theta L_A A^\varphi$)

Composantes:

• $\theta$: Productivité des chercheurs.
• $L_A$: Nombre de chercheurs.
• $A$: Stock d'idées (connaissances existantes).
• $\varphi$: Paramètre d'externalité de connaissance.

Externalités:

• $\lambda$ (duplication): Réduit la productivité globale des chercheurs si <1.
• $\phi$ (connaissance): L'effet du stock d'idées $A$ sur la production denouvelles idées.
  • Si $\phi >0$: Externalité positive (les idées existantes facilitent les nouvelles découvertes).
  • Si $\phi <0$: Effet d'épuisement (les idées faciles à trouver sontdéjà découvertes).

Taux de Croissance d'Idées ($g_A$):

$g_A = \frac{\dot{A}}{A} = \theta \frac{L_A}{A^{1-\varphi}}$. À l'état régulier, si $L_A$ croît au taux $n$, alors $g_A$ doit être constant.

Part Optimale de Chercheurs ($S_R$):

• Danscertains modèles, le revenu par travailleur est maximisé lorsque $S_R = 1/2$.
• Cela montre un arbitrage entre la production d'idées (plus de chercheurs) et la production de biens (moins de travailleurs).