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Lois de décroissance radioactive

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Explication des lois de décroissance radioactive, de la constante radioactive, de la période radioactive et des applications en médecine nucléaire.

Lois de Décroissance Radioactive

La désintégration nucléaire est un phénomène fondamental en physique, avec des applications cruciales en médecine nucléaire. Ces notes décrivent les principes des lois de décroissance radioactive, la période radioactive, l'activité d'une source, et leurs calculs associés.

Décroissance Radioactive

La désintégration d'un noyau est intrinsèquement un phénomène aléatoire et imprévisible au niveau individuel. Cependant, pour une large population de noyaux, il est possible de prédire le nombre de désintégrations sur un intervalle de temps donné.

Un grand nombre de noyaux () permet une prédiction statistique du nombre de désintégrations.

Loi Fondamentale de Décroissance

La loi de décroissance est exprimée par l'équation différentielle suivante :

</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="dNdt"data−type="inline−math"></span>:Nombredenoyauxdeˊsinteˊgreˊsparuniteˊdetemps.</p></li><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="λ"data−type="inline−math"></span>:<strong>Constanteradioactive</strong>(en<spandata−latex="s−1"data−type="inline−math"></span>),caracteˊrisantlaprobabiliteˊdedeˊsinteˊgrationparuniteˊdetemps.</p></li><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="N(t)"data−type="inline−math"></span>:Nombredenoyauxencoreradioactifsaˋl′instant<spandata−latex="t"data−type="inline−math"></span>.</p></li></ul><pstyle="text−align:left;">Cetterelationindiquequelenombredenoyaux<spandata−latex="dN"data−type="inline−math"></span>quisedeˊsinteˋgrentpendantl′intervalledetemps<spandata−latex="dt"data−type="inline−math"></span>estproportionnelaunombred′atomesencoreradioactifs<spandata−latex="N(t)"data−type="inline−math"></span>.</p><pstyle="text−align:left;">Solutiondel′EˊquationDiffeˊrentielle</p><pstyle="text−align:left;">L′inteˊgrationdecetteeˊquationdiffeˊrentielledupremierordreconduitaˋlaloidedeˊcroissanceexponentielle:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="\frac{dN}{dt}" data-type="inline-math"></span> : Nombre de noyaux désintégrés par unité de temps.</p></li><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="\lambda" data-type="inline-math"></span> : <strong>Constante radioactive</strong> (en <span data-latex="s^{-1}" data-type="inline-math"></span>), caractérisant la probabilité de désintégration par unité de temps.</p></li><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="N(t)" data-type="inline-math"></span> : Nombre de noyaux encore radioactifs à l'instant <span data-latex="t" data-type="inline-math"></span>.</p></li></ul><p style="text-align: left;">Cette relation indique que le nombre de noyaux <span data-latex="dN" data-type="inline-math"></span> qui se désintègrent pendant l'intervalle de temps <span data-latex="dt" data-type="inline-math"></span> est proportionnel au nombre d'atomes encore radioactifs <span data-latex="N(t)" data-type="inline-math"></span>.</p><p style="text-align: left;">Solution de l'Équation Différentielle</p><p style="text-align: left;">L'intégration de cette équation différentielle du premier ordre conduit à la loi de décroissance exponentielle :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">ouˋ:</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="N(t)"data−type="inline−math"></span>estlenombredenoyauxradioactifsaˋl′instant<spandata−latex="t"data−type="inline−math"></span>.</p></li><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="N0"data−type="inline−math"></span>estlenombreinitialdenoyauxradioactifsaˋ<spandata−latex="t=0"data−type="inline−math"></span>.</p></li><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="e"data−type="inline−math"></span>estlabasedulogarithmenaturel.</p></li><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="λ"data−type="inline−math"></span>estlaconstanteradioactive.</p></li><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="t"data−type="inline−math"></span>estletempseˊcouleˊ.</p></li></ul><pstyle="text−align:left;">La<strong>radioactiviteˊ</strong>suitdoncune<em>deˊcroissanceexponentielleneˊgative</em>.</p><h3style="text−align:left;">PeˊriodeRadioactive(Demi−vie)</h3><pstyle="text−align:left;">La<strong>peˊrioderadioactive</strong>(noteˊe<spandata−latex="T"data−type="inline−math"></span>)ou<strong>demi−vie</strong>estletempsauboutduquellenombredenoyauxradioactifsadiminueˊdemoitieˊ.</p><pstyle="text−align:left;">Onconsideˋregeˊneˊralementqu′iln′yaplusderadioactiviteˊdeˊcelableapreˋsenviron10peˊriodes,carlenombredenoyauxinit</p><pstyle="text−align:left;">iauxestalorsdiviseˊpar<spandata−latex="210=1024"data−type="inline−math"></span>.</p><pstyle="text−align:left;"></p><pstyle="text−align:left;">RelationentrePeˊriodeetConstanteRadioactive</p><pstyle="text−align:left;">Aˋl′issued′unepeˊriode<spandata−latex="T"data−type="inline−math"></span>,lenombredenoyaux<spandata−latex="N(T)"data−type="inline−math"></span>esteˊgalaˋ<spandata−latex="N0/2"data−type="inline−math"></span>.Enutilisantlaloidedeˊcroissance,nousavons:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">où :</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="N(t)" data-type="inline-math"></span> est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant <span data-latex="t" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="N_0" data-type="inline-math"></span> est le nombre initial de noyaux radioactifs à <span data-latex="t=0" data-type="inline-math"></span>.</p></li><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="e" data-type="inline-math"></span> est la base du logarithme naturel.</p></li><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="\lambda" data-type="inline-math"></span> est la constante radioactive.</p></li><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="t" data-type="inline-math"></span> est le temps écoulé.</p></li></ul><p style="text-align: left;">La <strong>radioactivité</strong> suit donc une <em>décroissance exponentielle négative</em>.</p><h3 style="text-align: left;">Période Radioactive (Demi-vie)</h3><p style="text-align: left;">La <strong>période radioactive</strong> (notée <span data-latex="T" data-type="inline-math"></span>) ou <strong>demi-vie</strong> est le temps au bout duquel le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié.</p><p style="text-align: left;">On considère généralement qu'il n'y a plus de radioactivité décelable après environ 10 périodes, car le nombre de noyaux init</p><p style="text-align: left;">iaux est alors divisé par <span data-latex="2^{10} = 1024" data-type="inline-math"></span>.</p><p style="text-align: left;"></p><p style="text-align: left;">Relation entre Période et Constante Radioactive</p><p style="text-align: left;">À l'issue d'une période <span data-latex="T" data-type="inline-math"></span>, le nombre de noyaux <span data-latex="N(T)" data-type="inline-math"></span> est égal à <span data-latex="N_0/2" data-type="inline-math"></span>. En utilisant la loi de décroissance, nous avons :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" \frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda T} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">Cequisimplifieaˋ:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">Ce qui simplifie à :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" \frac{1}{2} = e^{-\lambda T} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">Enprenantlelogarithmenatureldesdeuxco^teˊs:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">En prenant le logarithme naturel des deux côtés :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda T \quad \Leftrightarrow \quad \ln 1 - \ln 2 = -\lambda T " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">Puisque<spandata−latex="ln⁡1=0"data−type="inline−math"></span>:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">Puisque <span data-latex="\ln 1 = 0" data-type="inline-math"></span> :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" -\ln 2 = -\lambda T \quad \Leftrightarrow \quad \ln 2 = \lambda T " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">D′ouˋlesrelationscleˊs:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">D'où les relations clés :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" \lambda = \frac{\ln 2}{T} \quad \text{ou encore} \quad \lambda = \frac{0,693}{T} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">Laconstanteradioactive<spandata−latex="λ"data−type="inline−math"></span>caracteˊrisela"vitesse"dedeˊcroissance.Unepeˊriodepluscourteindiqueunedeˊcroissanceplusrapide(valeurde<spandata−latex="λ"data−type="inline−math"></span>pluseˊleveˊe).</p><pstyle="text−align:left;">ExemplesdePeˊriodesRadioactivesenMeˊdecine</p><tablestyle="min−width:75px;"><colgroup><colstyle="min−width:25px;"><colstyle="min−width:25px;"><colstyle="min−width:25px;"></colgroup><tbody><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;"><strong>Applications</strong></p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;"><strong>Radionucleˊide</strong></p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;"><strong>Peˊriode</strong></p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="3"><pstyle="text−align:left;">Imageriescintigraphiqueconventionnelle</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Techneˊtium99m(<spandata−latex="99mTc"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">6heures</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Iode123(<spandata−latex="123I"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">13heures</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Thallium201(<spandata−latex="201Tl"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">3jours</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="3"><pstyle="text−align:left;">TomographieparEˊmissiondePositons(TEP)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Gallium68(<spandata−latex="68Ga"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">68minutes</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Carbone11(<spandata−latex="11C"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">20minutes</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Fluor18(<spandata−latex="18F"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">110minutes</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="3"><pstyle="text−align:left;">Theˊrapie(radiotheˊrapiemeˊtabolique)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Yttrium90(<spandata−latex="90Y"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">3jours</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Iode131(<spandata−latex="131I"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">8jours</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Strontium90(<spandata−latex="90Sr"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">28ans</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="3"><pstyle="text−align:left;">Biologie(invitro)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Iode125(<spandata−latex="125I"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">60jours</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Tritium(<spandata−latex="3H"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">12ans</p></td></tr><tr><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">Carbone14(<spandata−latex="14C"data−type="inline−math"></span>)</p></td><tdcolspan="1"rowspan="1"><pstyle="text−align:left;">5730ans</p></td></tr></tbody></table><h3style="text−align:left;">Activiteˊd′uneSourceRadioactive</h3><pstyle="text−align:left;">L′<strong>activiteˊ</strong>(<spandata−latex="A"data−type="inline−math"></span>)d′unesourceradioactiveestlenombrededeˊsinteˊgrationsparuniteˊdetemps.Pardeˊfinition,elleesttoujourspositive:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">La constante radioactive <span data-latex="\lambda" data-type="inline-math"></span> caractérise la "vitesse" de décroissance. Une période plus courte indique une décroissance plus rapide (valeur de <span data-latex="\lambda" data-type="inline-math"></span> plus élevée).</p><p style="text-align: left;">Exemples de Périodes Radioactives en Médecine</p><table style="min-width: 75px;"><colgroup><col style="min-width: 25px;"><col style="min-width: 25px;"><col style="min-width: 25px;"></colgroup><tbody><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;"><strong>Applications</strong></p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;"><strong>Radionucléide</strong></p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;"><strong>Période</strong></p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="3"><p style="text-align: left;">Imagerie scintigraphique conventionnelle</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Technétium 99m (<span data-latex="^{99\mathrm{m}}\mathrm{Tc}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">6 heures</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Iode 123 (<span data-latex="^{123}\mathrm{I}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">13 heures</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Thallium 201 (<span data-latex="^{201}\mathrm{Tl}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">3 jours</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="3"><p style="text-align: left;">Tomographie par Émission de Positons (TEP)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Gallium 68 (<span data-latex="^{68}\mathrm{Ga}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">68 minutes</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Carbone 11 (<span data-latex="^{11}\mathrm{C}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">20 minutes</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Fluor 18 (<span data-latex="^{18}\mathrm{F}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">110 minutes</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="3"><p style="text-align: left;">Thérapie (radiothérapie métabolique)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Yttrium 90 (<span data-latex="^{90}\mathrm{Y}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">3 jours</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Iode 131 (<span data-latex="^{131}\mathrm{I}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">8 jours</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Strontium 90 (<span data-latex="^{90}\mathrm{Sr}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">28 ans</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="3"><p style="text-align: left;">Biologie (in vitro)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Iode 125 (<span data-latex="^{125}\mathrm{I}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">60 jours</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Tritium (<span data-latex="^{3}\mathrm{H}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">12 ans</p></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">Carbone 14 (<span data-latex="^{14}\mathrm{C}" data-type="inline-math"></span>)</p></td><td colspan="1" rowspan="1"><p style="text-align: left;">5730 ans</p></td></tr></tbody></table><h3 style="text-align: left;">Activité d'une Source Radioactive</h3><p style="text-align: left;">L'<strong>activité</strong> (<span data-latex="A" data-type="inline-math"></span>) d'une source radioactive est le nombre de désintégrations par unité de temps. Par définition, elle est toujours positive :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" A = \frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">L′activiteˊdiminueaucoursdutempsdelame^memanieˋrequelenombredenoyauxradioactifs,c′est−aˋ−diresuivantune<em>loiexponentielleneˊgative</em>.</p><pstyle="text−align:left;">Uniteˊsd′Activiteˊ</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;">Le<strong>becquerel(Bq)</strong>estl′uniteˊSI(SysteˋmeInternational).Unbecquerelcorrespondaˋ<strong>unedeˊsinteˊgrationparseconde</strong>.</p></li><li><pstyle="text−align:left;">LeBqestuneuniteˊtreˋsfaible,c′estpourquoidesmultiplessontcourammentutiliseˊs:</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;">kBq(kilo−becquerel):<spandata−latex="103"data−type="inline−math"></span>Bq</p></li><li><pstyle="text−align:left;">MBq(meˊga−becquerel):<spandata−latex="106"data−type="inline−math"></span>Bq</p></li><li><pstyle="text−align:left;">GBq(giga−becquerel):<spandata−latex="109"data−type="inline−math"></span>Bq</p></li></ul></li><li><pstyle="text−align:left;">Le<strong>curie(Ci)</strong>estuneuniteˊhistorique,correspondantaˋl′activiteˊd′uneˊtalonderadium.C′estuneuniteˊtreˋseˊleveˊe:</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="1 Ci=3,7⋅1010 Bq"data−type="inline−math"></span></p></li></ul></li><li><pstyle="text−align:left;">Dessous−multiplesducuriesontplussouventutiliseˊs:</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;"></p><p style="text-align: left;">L'activité diminue au cours du temps de la même manière que le nombre de noyaux radioactifs, c'est-à-dire suivant une <em>loi exponentielle négative</em>.</p><p style="text-align: left;">Unités d'Activité</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;">Le <strong>becquerel (Bq)</strong> est l'unité SI (Système International). Un becquerel correspond à <strong>une désintégration par seconde</strong>.</p></li><li><p style="text-align: left;">Le Bq est une unité très faible, c'est pourquoi des multiples sont couramment utilisés :</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;">kBq (kilo-becquerel) : <span data-latex="10^3" data-type="inline-math"></span> Bq</p></li><li><p style="text-align: left;">MBq (méga-becquerel) : <span data-latex="10^6" data-type="inline-math"></span> Bq</p></li><li><p style="text-align: left;">GBq (giga-becquerel) : <span data-latex="10^9" data-type="inline-math"></span> Bq</p></li></ul></li><li><p style="text-align: left;">Le <strong>curie (Ci)</strong> est une unité historique, correspondant à l'activité d'un étalon de radium. C'est une unité très élevée :</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="1 \text{ Ci} = 3,7 \cdot 10^{10} \text{ Bq}" data-type="inline-math"></span></p></li></ul></li><li><p style="text-align: left;">Des sous-multiples du curie sont plus souvent utilisés :</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;">1 \text{ mCi} = 37 \text{ MB

q}</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="1 μCi"data−type="inline−math"></span></p></li></ul><pstyle="text−align:left;">CalculduNombred′AtomesetdelaMasse</p><pstyle="text−align:left;">Laconnaissancedel′activiteˊ(<spandata−latex="A"data−type="inline−math"></span>)etdelapeˊrioderadioactive(<spandata−latex="T"data−type="inline−math"></span>)permetdecalculerlenombredenoyaux<spandata−latex="N"data−type="inline−math"></span>preˊsentsdanslasource:</p><pstyle="text−align:left;">Comme<spandata−latex="A=λ⋅N"data−type="inline−math"></span>et<spandata−latex="λ=0,693T"data−type="inline−math"></span>,onpeuteˊcrire:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;"><span data-latex="1 \text{ } \mu\text{Ci}" data-type="inline-math"></span></p></li></ul><p style="text-align: left;">Calcul du Nombre d'Atomes et de la Masse</p><p style="text-align: left;">La connaissance de l'activité (<span data-latex="A" data-type="inline-math"></span>) et de la période radioactive (<span data-latex="T" data-type="inline-math"></span>) permet de calculer le nombre de noyaux <span data-latex="N" data-type="inline-math"></span> présents dans la source :</p><p style="text-align: left;">Comme <span data-latex="A = \lambda \cdot N" data-type="inline-math"></span> et <span data-latex="\lambda = \frac{0,693}{T}" data-type="inline-math"></span>, on peut écrire :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" A = \frac{0,693}{T} \cdot N " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">D′ouˋlenombredenoyaux<spandata−latex="N"data−type="inline−math"></span>:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">D'où le nombre de noyaux <span data-latex="N" data-type="inline-math"></span> :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" N = \frac{A \cdot T}{0,693} " data-type="inline-math">$

Exemple de Calcul

Combien y a-t-il d'atomes de dans une seringue contenant 320,9 MBq ? (Avec heures = 2160021600 secondes)

</p><pstyle="text−align:left;">Quellemassede<spandata−latex="99mTc"data−type="inline−math"></span>celarepreˊsente−t−il(massemolaire<spandata−latex="M=99 g/mol"data−type="inline−math"></span>)?(Nombred′Avogadro<spandata−latex="NA=6,02⋅1023 mol−1"data−type="inline−math"></span>)</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">Quelle masse de <span data-latex="^{99\mathrm{m}}\mathrm{Tc}" data-type="inline-math"></span> cela représente-t-il (masse molaire <span data-latex="M = 99 \text{ g/mol}" data-type="inline-math"></span>)? (Nombre d'Avogadro <span data-latex="N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}" data-type="inline-math"></span>)</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" \text{Masse} = \frac{N \cdot M}{N_A} = \frac{10^{13} \cdot 99 \text{ g}}{6,02 \cdot 10^{23}} \approx 1,6 \cdot 10^{-9} \text{ g} = 1,6 \text{ ng} " data-type="inline-math"></p><h3style="text−align:left;">ProbleˋmeReˊsolu:DeˊterminationdelaPeˊriodeetdel′ActiviteˊFuture</h3><pstyle="text−align:left;">Onmesurelaradioactiviteˊd′uneˊleˊmentinconnuenfonctiondutemps:</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;">H0=10200MBq</p></li><li><pstyle="text−align:left;">H1=9517MBq</p></li><li><pstyle="text−align:left;">H5=7212MBq</p></li><li><pstyle="text−align:left;">H10=5100MBq</p></li><li><pstyle="text−align:left;">H20=2550MBq</p></li><li><pstyle="text−align:left;">H30=1275MBq</p></li></ul><pstyle="text−align:left;"><strong>Question:</strong>Quelleestlapeˊriodeduradioeˊleˊmentetquelleseral′activiteˊaˋH100?</p><pstyle="text−align:left;">1.DeˊterminationdelaPeˊriode(T)</p><pstyle="text−align:left;">Enobservantlesdonneˊes,onremarquequel′activiteˊestdiviseˊepardeuxtoutesles10heures:</p><ulclass="tight"data−tight="true"><li><pstyle="text−align:left;">DeH0(10200MBq)aˋH10(5100MBq),l′activiteˊestdiviseˊepar2.</p></li><li><pstyle="text−align:left;">DeH10(5100MBq)aˋH20(2550MBq),l′activiteˊestdiviseˊepar2.</p></li><li><pstyle="text−align:left;">DeH20(2550MBq)aˋH30(1275MBq),l′activiteˊestdiviseˊepar2.</p></li></ul><pstyle="text−align:left;">Parsimpleobservation,lapeˊrioderadioactive<spandata−latex="T=10"data−type="inline−math"></span>heures.</p><pstyle="text−align:left;">Onpeutaussilecalculerenutilisantlaformuled′activiteˊ<spandata−latex="A(t)=A0⋅e−ln⁡2Tt"data−type="inline−math"></span>.Prenonsparexemple<spandata−latex="A0=10200"data−type="inline−math"></span>MBqaˋ<spandata−latex="t=0"data−type="inline−math"></span>et<spandata−latex="A(20)=2550"data−type="inline−math"></span>MBqaˋ<spandata−latex="t=20"data−type="inline−math"></span>heures:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><h3 style="text-align: left;">Problème Résolu : Détermination de la Période et de l'Activité Future</h3><p style="text-align: left;">On mesure la radioactivité d'un élément inconnu en fonction du temps :</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;">H0 = 10200 MBq</p></li><li><p style="text-align: left;">H1 = 9517 MBq</p></li><li><p style="text-align: left;">H5 = 7212 MBq</p></li><li><p style="text-align: left;">H10 = 5100 MBq</p></li><li><p style="text-align: left;">H20 = 2550 MBq</p></li><li><p style="text-align: left;">H30 = 1275 MBq</p></li></ul><p style="text-align: left;"><strong>Question :</strong> Quelle est la période du radioélément et quelle sera l'activité à H100 ?</p><p style="text-align: left;">1. Détermination de la Période (T)</p><p style="text-align: left;">En observant les données, on remarque que l'activité est divisée par deux toutes les 10 heures :</p><ul class="tight" data-tight="true"><li><p style="text-align: left;">De H0 (10200 MBq) à H10 (5100 MBq), l'activité est divisée par 2.</p></li><li><p style="text-align: left;">De H10 (5100 MBq) à H20 (2550 MBq), l'activité est divisée par 2.</p></li><li><p style="text-align: left;">De H20 (2550 MBq) à H30 (1275 MBq), l'activité est divisée par 2.</p></li></ul><p style="text-align: left;">Par simple observation, la période radioactive <span data-latex="T = 10" data-type="inline-math"></span> heures.</p><p style="text-align: left;">On peut aussi le calculer en utilisant la formule d'activité <span data-latex="A(t) = A_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{T} t}" data-type="inline-math"></span>. Prenons par exemple <span data-latex="A_0 = 10200" data-type="inline-math"></span> MBq à <span data-latex="t=0" data-type="inline-math"></span> et <span data-latex="A(20) = 2550" data-type="inline-math"></span> MBq à <span data-latex="t=20" data-type="inline-math"></span> heures :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" 2550 = 10200 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{T} \cdot 20} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" \frac{2550}{10200} = e^{-\frac{20 \cdot \ln 2}{T}} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" \frac{1}{4} = e^{-\frac{20 \cdot \ln 2}{T}} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">Prenonslelogarithmenaturel:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">Prenons le logarithme naturel :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{20 \cdot \ln 2}{T} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" -\ln 4 = -\frac{20 \cdot \ln 2}{T} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">Puisque<spandata−latex="ln⁡4=ln⁡(22)=2ln⁡2"data−type="inline−math"></span>:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">Puisque <span data-latex="\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2" data-type="inline-math"></span> :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" -2 \ln 2 = -\frac{20 \cdot \ln 2}{T} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">Ensimplifiant<spandata−latex="ln⁡2"data−type="inline−math"></span>desdeuxco^teˊsetlessignesneˊgatifs:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">En simplifiant <span data-latex="\ln 2" data-type="inline-math"></span> des deux côtés et les signes négatifs :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" 2 = \frac{20}{T} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{20}{2} = 10 \text{ heures} " data-type="inline-math"></p><pstyle="text−align:left;">2.ActiviteˊaˋH100</p><pstyle="text−align:left;">Puisquelapeˊriode<spandata−latex="T=10"data−type="inline−math"></span>heures,aˋH100,<spandata−latex="100/10=10"data−type="inline−math"></span>peˊriodesseseronteˊcouleˊes.</p><pstyle="text−align:left;">L′activiteˊrestantesera<spandata−latex="A(10T)=A0⋅2−10"data−type="inline−math"></span>:</p><pstyle="text−align:left;"><spandata−latex="</p><p style="text-align: left;">2. Activité à H100</p><p style="text-align: left;">Puisque la période <span data-latex="T = 10" data-type="inline-math"></span> heures, à H100, <span data-latex="100/10 = 10" data-type="inline-math"></span> périodes se seront écoulées.</p><p style="text-align: left;">L'activité restante sera <span data-latex="A(10T) = A_0 \cdot 2^{-10}" data-type="inline-math"></span> :</p><p style="text-align: left;"><span data-latex=" A(100) = 10200 \text{ MBq} \cdot 2^{-10} = \frac{10200}{1024} \approx 10 \text{ MBq} " data-type="inline-math">$

Points Clés

  • La décroissance radioactive est un phénomène aléatoire mais prévisible pour une large population de noyaux, suivant une loi exponentielle négative.

  • La période radioactive (T) est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux se désintègrent, liée à la constante radioactive () par la formule .

  • L'activité (A) mesure le nombre de désintégrations par seconde, exprimée en Becquerel (Bq) ou en Curie (Ci).

  • La connaissance de et permet de calculer le nombre de noyaux et la masse d'une source radioactive.

  • Après 10 périodes, la radioactivité est généralement considérée comme négligeable.

Principes des Lois de Décroissance Radioactive

La désintégration nucléaire est un phénomène aléatoire et imprédictible pour un noyau individuel. Cependant, à l'échelle d'une grande population de noyaux, son comportement peut être modélisé avec précision.

Loi Fondamentale de Décroissance

  • La vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs présents.

  • L'équation différentielle qui la décrit est :

  • : Nombre de noyaux désintégrés par unité de temps.

  • : Constante radioactive (s⁻¹), caractéristique de l'isotope.

  • : Nombre de noyaux radioactifs à l'instant .

  • L'intégration de cette équation donne la loi de décroissance exponentielle :

  • Où est le nombre initial de noyaux radioactifs.

Période Radioactive (Demi-vie, T)

  • La période radioactive (T) est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se désintègrent.

  • C'est une caractéristique essentielle de chaque isotope.

  • Relation entre et T :

  • La radioactivité est considérée comme indétectable après 10 périodes, car le nombre de noyaux a été divisé par .

Exemples de Périodes Radioactives en Médecine

Radionucléides

Utilisation

Période

Technétium 99m ()

Imagerie scintigraphique

6 heures

Iode 123 ()

Imagerie scintigraphique

13 heures

Fluor 18 ()

Tomographie par Émission de Positons (TEP)

110 minutes

Yttrium 90 ()

Thérapie (radiothérapie métabolique)

3 jours

Iode 131 ()

Thérapie (radiothérapie métabolique)

8 jours

Activité d'une Source Radioactive (A)

  • L'activité (A) est le nombre de désintégrations par unité de temps.

  • Formule :

  • L'activité suit la même loi de décroissance exponentielle que le nombre de noyaux :

Unités de l'Activité

  • L'unité SI est le Becquerel (Bq) : 1 Bq = 1 désintégration par seconde.

  • Multiples courants : kBq ( Bq), MBq ( Bq), GBq ( Bq).

  • Ancienne unité : le Curie (Ci).

  • Conversion : .

  • Conversion utile : .

Calcul du Nombre d'Atomes et de la Masse

  • À partir de l'activité (A) et de la constante radioactive (), on peut calculer le nombre de noyaux (N) :

  • La masse d'un radioélément peut être calculée en utilisant le nombre d'Avogadro et la masse molaire.

  • Exemple: 320,9 MBq de (T = 6h) représentent atomes, soit une masse de .

Exercice Type

Si l'activité d'un élément est divisée par deux toutes les 10 heures, alors sa période (T) est de 10 heures.

Pour calculer l'activité à un temps futur, utilisez :

Si A₀ = 10200 MBq et T = 10h, à H100 (10 périodes), l'activité sera .

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