Image directe d'un ensemble

Les Applications : Synthèse Essentielle (Cheatsheet)

Une application est une relation fondamentale en mathématiques, définie par un ensemble de départ `E`, un ensemble d'arrivée `F`, et une règle qui associe à chaque élément unique `x` de `E` une image unique `y` de `F`.

Notation : `f: E → F` ou `f: E → F` définie par `∀x ∈ E, f(x) = ...`

$$x \mapsto f(x)$$

Terminologie Clé

• Ensemble de départ (`E`) : L'ensemble de tous les éléments pour lesquels l'application est définie.
• Ensemble d'arrivée (`F`) : L'ensemble où toutes les images possibles de l'application résident.
• Image de `x` par `f` (`f(x)`) : L'unique élément de `F` associé à `x ∈ E`.
• Antécédent de `b` par `f` (`a`) : Si `b ∈ F` et `b = f(a)`, alors `a` est un antécédent de `b`.
  Attention : Un élément de `F` peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Rechercher l'Antécédent (Équation)

Chercher l'antécédent de `b ∈ F` revient à résoudre l'équation :
`x ∈ E / b = f(x)`

• Si l'équation a une solution, `b` a un antécédent.
• Si l'équation n'a pas de solution, `b` n'a pas d'antécédent.

Exemples d'Applications vs. Fonctions

• La fonction `f(x) = 1/x` n'est pas une application de `R` dans `R` car `0` n'a pas d'image. Elle est une application de `R*` dans `R`.
• En général, une fonction numérique `f` est une application de son ensemble de définition (`D_f`) dans `R`.

Cas Particuliers d'Antécédents

Soit `f: R → R` définie par `f(x) = x^2` :

• `-1` n'a pas d'antécédent (car `x^2 ≥ 0`).
• `2` admet deux antécédents (`-√2` et `√2`).

Soit `f: N → N` définie par `f(x) = x^2` :

• `4` admet un unique antécédent (`2`).

Application Identité (Id_E)

• `Id_E: E → E` est définie par `∀x ∈ E, Id_E(x) = x`.
• Elle est toujours injective, surjective et bijective.

Égalité de Deux Applications

Soient `f: E → F` et `g: E → F` deux applications.

• `[f = g sur E] ⇔ [∀x ∈ E, f(x) = g(x)]`.
• `[f ≠ g sur E] ⇔ [∃x ∈ E, f(x) ≠ g(x)]`.

Exemple : `g(x) = √(x^2)` et `h(x) = |x|` sont égales sur `R` car `∀x ∈ R, √(x^2) = |x|`.

ATTENTION : `√(x^2) ≠ x` en général.

Composition des Applications (g ∘ f)

Soient `f: E → F` et `g: F → G` deux applications.

• La composée `g ∘ f: E → G` est définie par `∀x ∈ E, (g ∘ f)(x) = g(f(x))`.
• Condition d'existence : L'ensemble d'arrivée de `f` (`F`) doit être inclus dans l'ensemble de départ de `g` (`F`).
• Non-commutativité : En général, `(g ∘ f) ≠ (f ∘ g)`.
• Associativité : `h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f`, noté `h ∘ g ∘ f`.

Image Directe d'un Ensemble (f(A))

Soit `f: E → F` une application et `A ⊂ E`.

• `f(A) = {f(x) / x ∈ A}`.
• `f(A) = {y ∈ F / ∃x ∈ A, y = f(x)}`.
• Autrement dit : `y ∈ f(A) ⇔ (∃a ∈ A / y = f(a))`.

Propriétés de l'Image Directe

Soient `f: E → F` une application, `A ⊂ E` et `B ⊂ E` :

1. `f(∅) = ∅`
2. `(A ⊂ B) ⇒ (f(A) ⊂ f(B))`
3. `f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)`
4. `f(A ∩ B) ⊂ (f(A) ∩ f(B))`
   ATTENTION : L'inclusion inverse `(f(A) ∩ f(B)) ⊂ f(A ∩ B)` n'est pas vraie en général.

Calcul de f(A) pour un Intervalle

• Si `f` est continue et croissante sur `[a, b]`, alors `f([a, b]) = [f(a), f(b)]`.
• Si `f` est continue et décroissante sur `[a, b]`, alors `f([a, b]) = [f(b), f(a)]`.

Exemple : Pour `f(x) = x^2` sur `R`, si `A = [-1, 2]`, alors `f(A) = [0, 4]`.

Types d'Applications : Injection, Surjection, Bijection

Injection (Injective)

Une application `f: E → F` est injective si :
`∀x ∈ E, ∀y ∈ E, (f(x) = f(y)) ⇒ (x = y)`
(ou de manière équivalente `(x ≠ y) ⇒ (f(x) ≠ f(y))`).

Chaque élément de `F` a au plus un antécédent dans `E`.

Pour prouver qu'une fonction n'est pas injective, il suffit de trouver `x ≠ y` tels que `f(x) = f(y)`.

Exemple : `f(x) = |x|` n'est pas injective sur `R` car `f(-1) = f(1)` et `-1 ≠ 1`.

Surjection (Surjective)

Une application `f: E → F` est surjective si :
`∀y ∈ F, ∃x ∈ E` tel que `y = f(x)`.

Chaque élément de `F` a au moins un antécédent dans `E`.

Pour prouver qu'une fonction n'est pas surjective, il suffit de trouver `y₀ ∈ F` qui n'a aucun antécédent (i.e., l'équation `f(x) = y₀` n'a pas de solution dans `E`).

Équivalence : `f` est surjective de `E` sur `F` `⇔ f(E) = F`.

Exemple : `f(x) = |x|` n'est pas surjective de `R` sur `R` car `-1 ∈ R` n'a pas d'antécédent.

Toujours surjective : `f` est toujours surjective de `E` sur `f(E)`.

Bijection (Bijective)

Une application `f: E → F` est bijective si elle est à la fois injective et surjective de `E` sur `F`.

Autrement dit : `∀y ∈ F, ∃! x ∈ E` (il existe un unique `x`) tel que `y = f(x)`.

Chaque élément de `F` a exactement un antécédent dans `E`.

Pour prouver qu'une fonction n'est pas bijective, il suffit de montrer qu'elle n'est pas injective OU qu'elle n'est pas surjective.

Application Réciproque (f⁻¹)

Si `f: E → F` est bijective, alors il existe une application réciproque `f⁻¹: F → E` telle que :

• `∀x ∈ E, (f⁻¹ ∘ f)(x) = x` (i.e. `f⁻¹ ∘ f = Id_E`)
• `∀y ∈ F, (f ∘ f⁻¹)(y) = y` (i.e. `f ∘ f⁻¹ = Id_F`)
• L'application `f⁻¹` est elle-même bijective de `F` sur `E`.

Comment trouver f⁻¹ ?

1. Poser `y = f(x)`.
2. Exprimer `x` en fonction de `y`. L'expression obtenue est `f⁻¹(y)`.
3. Interchanger `x` et `y` pour obtenir `f⁻¹(x)`.

Exemple : Si `f(x) = 2x + 1`, alors `y = 2x + 1 ⇔ x = (y - 1)/2`. Donc `f⁻¹(x) = (x - 1)/2`.

Propriétés des Compositions

Soient `f: E → F` et `g: F → G` deux applications.

1. Si `f` et `g` sont injectives, alors `g ∘ f` est injective.
2. Si `f` et `g` sont surjectives, alors `g ∘ f` est surjective.
3. Si `f` et `g` sont bijectives, alors `g ∘ f` est bijective.
   De plus : `(g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹`.

Propriétés de Causalité

• Si `(g ∘ f)` est injective, alors `f` est injective.
• Si `(g ∘ f)` est surjective, alors `g` est surjective.

Théorèmes de Bijectivité avec Identité

Soient `f: E → F` et `g: F → E` deux applications.

Théorème 1

Si `g ∘ f = Id_E` ET `f ∘ g = Id_F`, alors :

• `f` est bijective de `E` sur `F`.
• `g` est bijective de `F` sur `E`.
• `g = f⁻¹` et `f = g⁻¹`.

Théorème 2

Si `f: E → F` et `g: F → G` sont bijectives, alors `(g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹`.

Tableau Récapitulatif : Solutions de `b = f(x)`

	Au moins une solution	Au plus une solution	Une solution unique
Application f est :	Surjective	Injective	Bijective