Fiches : Codage Numérique et Bases

Voici des fiches structurées reprenant les informations fournies, en respectant les consignes de formatage HTML et de contenu.

Codage des Nombres en Informatique

Ce cours aborde les différentes méthodes de codage des nombres, qu'ils soient entiers relatifs ou à virgule flottante, ainsi que les unités de mesure en informatique et les changements de base.

1. Le Codage des Entiers Relatifs

En informatique, les nombres signés (positifs ou négatifs) nécessitent une représentation binaire spécifique. Historiquement, la méthode du signe-magnitude était utilisée, mais elle a été remplacée par le complément à deux pour son efficacité.

1.1. Représentation Signe-Magnitude (Historique)

Cette méthode utilisait le bit de poids fort (le plus à gauche) pour indiquer le signe : 0 pour positif et 1 pour négatif. Les bits restants représentaient la valeur absolue du nombre.

• Exemple (sur 9 bits implicites) :

  • +14 : 0000 01110 (0 pour le signe, 14 en binaire)

  • -14 : 1000 01110 (1 pour le signe, 14 en binaire)

• Inconvénients :

  • Peu pratique : Coûts élevés en circuits, temps de calcul et mémoire.

  • Double représentation du zéro : Par exemple, 0000 0000 pour +0 et 1000 0000 pour -0 (sur 8 bits).

1.2. Le Complément à Deux (Méthode Actuelle)

La méthode du complément à deux est la norme actuelle pour représenter les entiers relatifs. Elle permet de déplacer les nombres négatifs au-delà des nombres positifs en utilisant le bit de poids fort comme indicateur de signe, mais de manière intégrée aux opérations arithmétiques.

• Principe :

  • Pour un nombre positif N > 0, le codage est normal.

  • Pour un nombre négatif N < 0, on ajoute 2nombre_de_bits à la valeur absolue du nombre.

• Plage de valeurs (sur 16 bits) :

  • De -32 768 à 32 767.

  • Cela correspond à 216 nombres uniques.

• Exemples (sur 16 bits) :

  • 5d (décimal) : 0000 0000 0000 0101b (binaire)

  • -5d (décimal) : 1111 1111 1111 1011b (binaire)

• Méthode simplifiée pour obtenir le complément à deux d'un nombre négatif :

  1. Prendre la représentation binaire de la valeur absolue du nombre.

  2. Inverser tous les bits (les 0 deviennent des 1 et les 1 deviennent des 0).

  3. Ajouter 1 au résultat.

1.3. Exercice : Représentation sur 8 bits

Calculez la représentation sur 8 bits des entiers suivants en complément à deux :

2. Le Codage des Nombres à Virgule Flottante

Le codage des nombres réels (avec virgule) en binaire est une approximation. Il s'inspire de l'écriture scientifique décimale classique (± m × 10n).

2.1. Norme IEEE 754

La norme IEEE 754 est la référence internationale pour la représentation des nombres à virgule flottante. Elle définit des formats en simple précision (32 bits) et en double précision (64 bits).

• Structure générale : Un nombre à virgule flottante est décomposé en trois parties :

  1. 1 bit de signe : 0 pour positif, 1 pour négatif.

  2. Exposant (n) : 8 bits en simple précision, 11 bits en double précision.

  3. Mantisse (partie décimale seule) : 23 bits en simple précision, 52 bits en double précision.

• Exemple de représentation sur 32 bits :

  1 10000110 10101101100000000000000

  • 1 : Bit de signe (négatif)

  • 10000110 : Exposant

  • 10101101100000000000000 : Mantisse (partie décimale)

2.2. Détails sur la Mantisse et l'Exposant

• Mantisse :

  • Elle représente un nombre compris entre 1 et 2.

  • Lorsqu'on divise un nombre par 2 successivement, on finit par obtenir une valeur entre 1 et 2 (ex: 214 / 27 = 1,677).

  • Comme le chiffre avant la virgule est toujours 1 (implicite), seule la partie fractionnaire (après la virgule) est stockée. Par exemple, pour 1,677, seule 0,677 est encodée.

• Exposant :

  • L'exposant est décalé (ou biaisé) d'une certaine valeur pour permettre de représenter des exposants négatifs sans utiliser de bit de signe pour l'exposant lui-même.

  • Le décalage est de 127 pour le format 32 bits et de 1023 pour le format 64 bits.

3. Les Unités de Mesure en Informatique

Comprendre les unités de mesure est fondamental pour évaluer la taille des données et la capacité de stockage.

Rappel : 1 octet = 8 bits

4. La Numération Hexadécimale

La numération hexadécimale (base 16) est très utilisée en informatique pour sa compacité et sa facilité de conversion avec le binaire.

• Chiffres utilisés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

  • A = 1010

  • B = 1110

  • ...

  • F = 1510

• Applications :

  • Adressage en mémoire (ex: BBAC 000F)

  • Codage des couleurs (ex: #FF0000 pour le rouge)

  • Adresses IP (représentation IPv6)

• Exemples de conversion :

  • 27510 = 11316 (et non 10B16 comme indiqué dans l'exemple original qui semble être une erreur de calcul ou de transcription).

    • 275 / 16 = 17 reste 3

    • 17 / 16 = 1 reste 1

    • 1 / 16 = 0 reste 1

    • Donc 11316

  • 2A3B16 = 1081110

    • 2 × 163 + 10 × 162 + 3 × 161 + 11 × 160

    • 2 × 4096 + 10 × 256 + 3 × 16 + 11 × 1

    • 8192 + 2560 + 48 + 11 = 1081110

4.1. Codage des Couleurs en Hexadécimal

Les couleurs sont souvent représentées par un code hexadécimal de 6 chiffres, où chaque paire de chiffres représente l'intensité d'une composante (Rouge, Vert, Bleu).

Rappel : 1 octet = FF16 = 1111 11112

5. Changement de Base

La conversion entre différentes bases numériques est une compétence fondamentale en informatique.

5.1. De la Base 'b' à la Base 10

Pour convertir un nombre d'une base b quelconque vers la base 10, on utilise la somme des produits de chaque chiffre par la puissance de la base correspondant à sa position.

Un nombre (an-1an-2...a2a1a0)b est égal à :
an-1 × bn-1 + an-2 × bn-2 + ... + a2 × b2 + a1 × b1 + a0 × b0

• Exemple : 25678 (base octale)

  • 2 × 83 + 5 × 82 + 6 × 81 + 7 × 80

  • 2 × 512 + 5 × 64 + 6 × 8 + 7 × 1

  • 1024 + 320 + 48 + 7 = 139910

• Essai :

  • 764018 = 3200110

    • 7 × 84 + 6 × 83 + 4 × 82 + 0 × 81 + 1 × 80

    • 7 × 4096 + 6 × 512 + 4 × 64 + 0 × 8 + 1 × 1

    • 28672 + 3072 + 256 + 0 + 1 = 3200110

  • BA986512 = 28612910

    • B (11) × 125 + A (10) × 124 + 9 × 123 + 8 × 122 + 6 × 121 + 5 × 120

    • 11 × 248832 + 10 × 20736 + 9 × 1728 + 8 × 144 + 6 × 12 + 5 × 1

    • 2737152 + 207360 + 15552 + 1152 + 72 + 5 = 296129310 (Note : Le résultat fourni dans l'image semble incorrect, le calcul donne 2961293)

5.2. De la Base 10 à la Base 'b'

La méthode la plus courante pour convertir un nombre de la base 10 vers une base b est la division euclidienne successive par b jusqu'à obtenir un quotient de 0. Les restes, lus de bas en haut, forment le nombre dans la nouvelle base.

• Exemple : Convertir 178910 en base 5.

  1. 1789 ÷ 5 = 357 reste 4

  2. 357 ÷ 5 = 71 reste 2

  3. 71 ÷ 5 = 14 reste 1

  4. 14 ÷ 5 = 2 reste 4

  5. 2 ÷ 5 = 0 reste 2

  En lisant les restes de bas en haut : 241245

5.3. De la Base 2 (Binaire) à la Base 16 (Hexadécimal)

Cette conversion est très pratique car 16 = 24. Chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de 4 bits binaires.

• Processus :

  1. Décomposer le nombre binaire en groupes de 4 bits, en commençant par la droite.

  2. Ajouter des zéros non significatifs à gauche si le dernier groupe n'a pas 4 bits.

  3. Convertir chaque groupe de 4 bits en son chiffre hexadécimal équivalent.

• Correspondances 4 bits - Hexadécimal :

  Binaire	Hexadécimal
  0000	0
  0001	1
  ...	...
  0111	7
  1000	8
  1001	9
  1010	A
  1011	B
  1100	C
  1101	D
  1110	E
  1111	F

• Exemple : Convertir 1111012 en hexadécimal.

  • Groupes de 4 bits (de droite à gauche) : 0011 | 1101 (ajout de zéros à gauche)

  • Conversion : 00112 = 316 et 11012 = D16

  • Résultat : 3D16

5.4. De la Base 16 (Hexadécimal) à la Base 2 (Binaire)

C'est l'opération inverse de la précédente, tout aussi simple.

• Processus :

  1. Convertir chaque chiffre hexadécimal en son équivalent binaire sur 4 bits.

  2. Concaténer les groupes de 4 bits pour former le nombre binaire complet.

• Exemple : Convertir 23D516 en binaire.

  • 216 = 00102

  • 316 = 00112

  • D16 = 11012

  • 516 = 01012

  • Résultat : 0010 0011 1101 01012

Points Clés à Retenir

• Le complément à deux est la méthode standard pour représenter les entiers relatifs, résolvant les problèmes du signe-magnitude.

• Les nombres à virgule flottante sont codés selon la norme IEEE 754, utilisant un bit de signe, un exposant et une mantisse.

• Les unités de stockage utilisent des préfixes binaires (Kio, Mio, Gio) basés sur des puissances de 2, distincts des préfixes décimaux (Ko, Mo, Go) basés sur des puissances de 10.

• La numération hexadécimale est essentielle pour l'adressage mémoire et le codage des couleurs, facilitant les conversions avec le binaire.

• Maîtriser les changements de base (base b vers base 10 et inversement, binaire vers hexadécimal et inversement) est crucial en informatique.