Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

En algèbre linéaire, les concepts d'espace vectoriel et de sous-espace vectoriel sont fondamentaux pour comprendre la structure des ensembles sur lesquels les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire sont définies.

Espace Vectoriel

Un espace vectoriel (ou espace linéaire) est un ensemble non vide $V$ d'objets appelés vecteurs, muni de deux opérations :

• L'addition de vecteurs : une opération interne qui à deux vecteurs $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ associe un vecteur $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$.
• La multiplication par un scalaire : une opération externe qui à un scalaire $k \in K$ (où $K$ est un corps, généralement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) et un vecteur $\mathbf{u} \in V$ associe un vecteur $k\mathbf{u} \in V$.

Ces opérations doivent satisfaire dix axiomes (huit pour l'addition et deux pour la multiplication par un scalaire) :

Axiomes de l'Addition

1. Commutativité : $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$ pour tous $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$.
2. Associativité : $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ pour tous $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$.
3. Élément neutre : Il existe un vecteur $\mathbf{0} \in V$, appelé vecteur nul, tel que $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$ pour tout $\mathbf{u} \in V$.
4. Opposé : Pour tout $\mathbf{u} \in V$, il existe un vecteur $-\mathbf{u} \in V$, appelé opposé de $\mathbf{u}$, tel que $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$.

Axiomes de la Multiplication par un Scalaire

5. Distributivité par rapport à l'addition de vecteurs : $k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$ pour tout $k \in K$ et tous $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$.
6. Distributivité par rapport à l'addition de scalaires : $(k + l)\mathbf{u} = k\mathbf{u} + l\mathbf{u}$ pour tous $k, l \in K$ et tout $\mathbf{u} \in V$.
7. Associativité de la multiplication par un scalaire : $k(l\mathbf{u}) = (kl)\mathbf{u}$ pour tous $k, l \in K$ et tout $\mathbf{u} \in V$.
8. Élément neutre de la multiplication par un scalaire : $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$ pour tout $\mathbf{u} \in V$, où $1$ est l'élément neutre de la multiplication dans $K$.

Exemples d'Espaces Vectoriels

• L'ensemble $\mathbb{R}^n$ des $n$-uplets de nombres réels, avec l'addition composante par composante et la multiplication par un scalaire composante par composante, est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.
• L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, noté $P_n(\mathbb{R})$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.
• L'ensemble des matrices $m \times n$, noté $M_{m,n}(\mathbb{R})$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.

Sous-Espace Vectoriel

Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel sous les mêmes opérations. Pour qu'un sous-ensemble $W$ d'un espace vectoriel $V$ soit un sous-espace vectoriel, il doit satisfaire trois conditions :

1. $W$ est non vide (il contient le vecteur nul de $V$).
2. $W$ est fermé sous l'addition de vecteurs : si $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$, alors $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$.
3. $W$ est fermé sous la multiplication par un scalaire : si $\mathbf{u} \in W$ et $k \in K$, alors $k\mathbf{u} \in W$.

Ces trois conditions peuvent être résumées en une seule : pour tous $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$ et tout $k \in K$, l'expression $k\mathbf{u} + \mathbf{v}$ appartient à $W$.

Exemples de Sous-Espaces Vectoriels

• L'ensemble des vecteurs de la forme $(x, y, 0)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. Il représente le plan $xy$.
• L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ est un sous-espace vectoriel appelé noyau de la matrice $A$.
• L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n-1$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$.

Contre-Exemples

• L'ensemble des vecteurs de la forme $(x, y, 1)$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ car il ne contient pas le vecteur nul $(0,0,0)$.
• L'ensemble des vecteurs de $\mathbb{R}^2$ dont les composantes sont positives n'est pas un sous-espace vectoriel car il n'est pas fermé sous la multiplication par un scalaire négatif (par exemple, si $\mathbf{u} = (1,1)$, alors $(-1)\mathbf{u} = (-1,-1)$ qui n'est pas dans l'ensemble).

Synthèse et Points Clés

La compréhension des espaces et sous-espaces vectoriels est cruciale pour l'algèbre linéaire. Ils fournissent le cadre pour étudier des concepts tels que la base, la dimension, les transformations linéaires et les valeurs propres.

Concept	Définition	Conditions Clés
Espace Vectoriel	Ensemble de vecteurs avec addition et multiplication par scalaire satisfaisant 8 axiomes.	8 axiomes (commutativité, associativité, neutre, opposé, distributivité, associativité scalaire, neutre scalaire).
Sous-Espace Vectoriel	Sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel.	1. Non vide ($\mathbf{0} \in W$). 2. Fermé sous l'addition. 3. Fermé sous la multiplication par un scalaire.

En résumé, un sous-espace vectoriel est un "mini-espace vectoriel" contenu dans un espace vectoriel plus grand, partageant les mêmes opérations et conservant toutes les propriétés structurelles.