Differential Equations: Concepts and Solutions

Équations Différentielles en Biomathématiques

Les équations différentielles sont centrales en Biomathématiques pour la modélisation de phénomènes biologiques (biologie des populations, physiologie, génomique, pharmacologie).

Une équation différentielle d'ordre est une équation impliquant une fonction inconnue et ses dérivées jusqu'à l'ordre . L'inconnue est une fonction, pas une variable.

Forme générique: .

Une solution est une fonction , fois dérivable sur un intervalle , qui vérifie l'équation.

1. Généralités et Définitions Clés

• Ordre d'une équation différentielle: Le plus haut ordre de dérivation de la fonction inconnue.

  • Ex: (ordre 1), (ordre 2).

• Résoudre : Trouver les primitives de .

  • L'intervalle de résolution est fondamental car il peut modifier l'ensemble des solutions. Si non spécifié, on considère .

• Équation différentielle d'ordre un à variables séparables: Forme ou .

• Équations différentielles linéaires d'ordre :

  • et sont des fonctions continues sur un intervalle , avec .

  • Homogène: .

  • À coefficients constants: Tous les sont des constantes.

• Une équation n'est pas linéaire si ou ses dérivées apparaissent avec des puissances ou sont multipliées entre elles (ex: , ).

• Solution particulière: Toute fonction qui vérifie l'équation.

2. Principes Fondamentaux de Résolution

2.1. Théorèmes Clés

• Théorème de Superposition (pour équations linéaires):

  • Si solution de (second membre ) et solution de (second membre ), alors est solution de (second membre ).

  • Si solution de , alors est solution de (second membre ).

• Principe de Linéarité (pour équations homogènes): Si et sont solutions de l'équation homogène, alors est aussi solution.

• Structure de l'ensemble des solutions: Les solutions d'une équation linéaire complète sont de la forme où est une solution particulière de l'équation complète et est une solution générale de l'équation homogène associée.

• Théorème de Cauchy-Lipschitz (pour équations linéaires): Pour une ED linéaire d'ordre , sous certaines conditions de continuité des coefficients et du second membre, et si , il existe une unique solution vérifiant conditions initiales données ().

2.2. Méthodes de résolution

Le principe général est de trouver une solution particulière et de résoudre l'équation homogène associée .

3. Équations Différentielles du Premier Ordre

3.1. À variables séparables ()

• Méthode: Intégrer les deux côtés après séparation.

• Ex: Pour , solutions .

3.2. Linéaires ()

• Équation homogène ( avec ):

  • Solutions sont de la forme , où est une primitive de .

  • Si est une constante , .

• Équation complète ():

  • Cas 1: Solution particulière connue (par évidence ou autre moyen). Les solutions totales sont .

  • Cas 2: Méthode de variation de la constante.

    • Chercher , où est une solution non nulle de l'équation homogène.

    • Substituer dans l'équation complète: , d'où .

    • Intégrer pour trouver et déterminer .

4. Équations Différentielles Linéaires du Second Ordre à Coefficients Constants

Forme: avec et .

4.1. Résolution de l'équation homogène ()

• Associer le polynôme caractéristique: de discriminant .

• Les solutions générales dépendent des racines:

  Discriminant	Racines
  	(réelles distinctes)
  	(réelle double)
  	(complexes conjuguées)

4.2. Résolution de l'équation complète ()

• Solution particulière facile (par identification):

  • Si (où est un polynôme de degré ):

    • Chercher où est un polynôme de degré .

    • est la multiplicité de comme racine du polynôme caractéristique ( si non racine, si racine simple, si racine double).

  • Si :

    • Chercher , où sont des polynômes de degré .

    • si est racine du polynôme caractéristique, sinon.

    • On peut utiliser la forme complexe (prendre la partie réelle/imaginaire d'une sol. de ).

• Méthode de variation des constantes (générale):

  • Si et sont deux solutions non proportionnelles de l'homogène.

  • Chercher .

  • Les fonctions et sont solutions du système:

  • Résoudre le système pour et , puis intégrer pour obtenir et . Choisir des constantes d'intégration nulles.