Determinant Calculations and Properties

Algèbre Linéaire : Déterminants, Vecteurs et Systèmes Linéaires

Cette fiche récapitulative aborde les concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire, incluant le calcul des déterminants, les propriétés des vecteurs (colinéarité, produit vectoriel), la représentation des droites et plans, et la résolution de systèmes d'équations linéaires.

Calcul des Déterminants

Le déterminant est une valeur scalaire associée à une matrice carrée. Il fournit des informations cruciales sur l'inversibilité de la matrice et les propriétés de l'application linéaire associée.

• Pour une matrice , le déterminant est . (Exercice 1, partie 1 - non fourni)
• Pour une matrice :
  • Méthode de développement par rapport à une ligne ou une colonne: (développement par rapport à la première ligne). (Exercice 1.1)
  • Opérations sur les lignes/colonnes:
    • Permuter deux lignes/colonnes change le signe du déterminant. (Exercice 2.3)
    • Additionner un multiple d'une ligne/colonne à une autre ne change pas le déterminant. (Exercice 1.1)
    • Multiplier une ligne/colonne par un scalaire multiplie le déterminant par . Si une matrice est multipliée par (chaque élément), alors pour une matrice . (Exercice 2.1)
    • Si deux lignes ou deux colonnes sont identiques (ou proportionnelles), le déterminant est nul. (Exercice 1.4, 2.3, 7)
  • Matrices triangulaires (supérieure ou inférieure): Le déterminant est le produit des éléments diagonaux. (Exercice 6.1, 6.2)
• Propriétés importantes:
  • . (Exercice 10.1, 10.2, 10.3)
  • si est inversible. (Exercice 10.2)
  • . (Exercice 6.2)
  • Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. (Exercice 8, 9, 10.4, 12.1, 17.1)
• Comment calculer astucieusement:
  • Chercher les colonnes/lignes proportionnelles ou nulles.
  • Utiliser les opérations élémentaires pour faire apparaître des zéros.
  • Développer selon la ligne/colonne contenant le plus de zéros. (Exercice 5)

Vecteurs dans

Produit Vectoriel ()

• Le produit vectoriel de et est . (Exercice 3, 14)
• Propriétés géométriques:
  • Le vecteur est orthogonal à et à . Donc, et . (Exercice 14.1)
  • Si et sont colinéaires, alors . (Exercice 3, 14.2)
  • Le module de donne l'aire du parallélogramme formé par et .
• Lien avec le déterminant: . (Exercice 14)
• Volume du parallélépipède: Le volume engendré par trois vecteurs est . (Exercice 8, 15.2)

Produit Scalaire

• Le produit scalaire de et est . (Exercice 13.1)
• Orthogonalité: Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. (Exercice 4.1, 13.2, 13.3)

Droites et Plans

Équations paramétriques et cartésiennes

Règle générale :

• Une droite dans (dimension 1) nécessite 1 paramètre.
• Un plan dans (dimension 2) nécessite 2 paramètres.
• Une droite dans (dimension 1) nécessite 1 paramètre.

Méthodes :

1. Droite vectorielle portée par un vecteur :
   • Équation paramétrique: . (Exercice 4.1.a, 4.1.b, 4.1.c, 4.2.b, 16.1)
   • Équation cartésienne (en ): Si , un vecteur orthogonal est . L'équation cartésienne est ou . (Exercice 4.1.a)
   • Système d'équations cartésiennes (en ): Une droite est l'intersection de deux plans. Si est le vecteur directeur, trouver deux vecteurs orthogonaux à et non colinéaires entre eux. La droite est définie par et . (Exercice 4.2.b)
2. Plan vectoriel engendré par deux vecteurs non colinéaires:
   • Équation paramétrique: . (Exercice 4.2.a)
   • Équation cartésienne (en ): Calculer le vecteur normal . L'équation cartésienne est . (Exercice 4.2.a)
3. Plan défini par une équation cartésienne :
   • Équation paramétrique: Résoudre l'équation pour une des variables (e.g., ). Choisir deux vecteurs générateurs en donnant des valeurs simples aux deux autres variables (e.g., puis ). (Exercice 4.2.c)
4. Intersection de plans:
   • Équation cartésienne: Le système des équations des plans. (Exercice 4.2.d)
   • Équation paramétrique: Si les plans sont définis par leurs vecteurs normaux et , le vecteur directeur de la droite d'intersection est . (Exercice 4.2.d)

Systèmes d'Équations Linéaires

• Forme matricielle: Un système linéaire peut s'écrire , où est la matrice des coefficients, le vecteur des inconnues et le vecteur du second membre. (Exercice 18.1.a, 18.2.a)
• Nombre de solutions:
  • Si , le système a une solution unique. (Exercice 12.1, 18.1.b)
  • Si , le système a soit aucune solution, soit une infinité de solutions. (Exercice 18.2.b)
• Règle de Cramer (pour solution unique): Si , alors , où est la matrice dont la -ième colonne a été remplacée par le vecteur . (Exercice 12.2)
• Existence d'une solution: Le système a une solution si et seulement si appartient à l'image de l'application linéaire associée à , i.e., . (Exercice 18.2.c)