Conducteurs et équilibre électrostatique

Chapitre I : Électrostatique

Étude des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent.

1. La Charge Électrique

• Définition: Propriété intrinsèque de la matière, unité le Coulomb (C). e = C.

• Types de charges:

  • Positive (+): Proton ()

  • Négative (-): Électron ()

• Conducteurs et isolants:

  • Conducteurs: Charges libres se déplacent facilement.

  • Isolants: Charges se déplacent difficilement.

  • Semi-conducteurs: Propriétés intermédiaires (ex: silicium).

• Quantification et conservation:

  • Quantification: , où .

  • Conservation: Dans un système isolé, la charge totale est constante ().

• Distributions continues de charges (à l'échelle macroscopique):

  • Densité volumique: ().

  • Densité superficielle: ().

  • Densité linéique: ().

2. Force Électrostatique - Loi de Coulomb

Décrit la force entre deux charges ponctuelles.

• Formule: .

  • (constante de Coulomb).

  • (permittivité du vide).

• Principe de superposition: Pour plusieurs charges, la force résultante est la somme vectorielle des forces individuelles: .

3. Champs Électrostatiques

L'espace autour d'une charge où une autre charge subirait une force.

• Définition: .

• Lignes de champ:

  • Partent des charges positives et arrivent aux charges négatives.

  • La densité des lignes indique l'intensité du champ.

  • Ne se croisent jamais.

• Principe de superposition: Le champ total est la somme vectorielle des champs individuels: .

• Champ créé par une distribution continue: .

4. Potentiel Électrostatique

Fonction scalaire liée au champ, utile pour les calculs d'énergie.

• Relation champ-potentiel:

  • .

  • .

  • Le champ électrostatique est un champ conservatif.

5. Dipôles Électriques

Deux charges égales et opposées séparées par une distance.

• Moment dipolaire: (orienté de vers ), unité C.m.

• Champ produit par un dipôle (pour ):

  • En un point sur l'axe du dipôle: .

  • En un point sur la médiatrice du dipôle: .

  • Cas général: .

• Moment de force (couple) sur un dipôle (dans un champ uniforme ): .

• Énergie potentielle électrique d'un dipôle: .

6. Théorème de Gauss

Relie le flux électrique à travers une surface fermée à la charge interne.

• Flux électrique: .

• Énoncé: Le flux électrique total à travers toute surface fermée () est proportionnel à la charge totale () enfermée dans cette surface.

  • .

Chapitre II : Les Conducteurs

Étude des matériaux permettant le mouvement libre des charges.

1. Conducteurs en Équilibre Électrostatique

État où les charges libres ont cessé de se déplacer.

• Définition: Corps avec des charges libres qui se déplacent jusqu'à annulation des forces.

• Conditions d'équilibre:

  1. Le champ électrique est nul à l'intérieur: .

  2. Le potentiel électrique est constant à l'intérieur: .

  3. Les charges se répartissent uniquement à la surface.

  4. Le champ électrique est perpendiculaire à la surface: .

2. Théorème de Coulomb

Champ juste à l'extérieur d'un conducteur.

• Formule: . La direction du champ est perpendiculaire à la surface.

3. Pression Électrostatique

Force par unité de surface sur la surface d'un conducteur.

• Formule: .

4. Influence Électrostatique (ou Induction Électrostatique)

Déplacement des charges dans un conducteur neutre sous l'action d'un champ externe.

• Influence partielle: Certaines lignes de champ n'atteignent pas le conducteur influencé. Un champ opposé se crée à l'intérieur.

• Influence totale: Toutes les lignes de champ d'un conducteur () aboutissent sur un autre () qui l'entoure complètement.

  • Pour isolé et initialement neutre: .

  • Si a une charge totale : .

5. Les Condensateurs

Dispositifs stockant de l'énergie électrique, composés de deux conducteurs (armatures) séparés par un diélectrique.

• Capacité (C): , unité le Farad (F).

• Exemples de capacité:

  • Sphère isolée de rayon R (dans le vide): .

  • Condensateur plan (surface , distance , diélectrique ): .

• Énergie électrostatique stockée: .

• Capacité équivalente:

  • En parallèle: .

  • En série: .

Chapitre III : Électrocinétique

Étude des charges électriques en mouvement (courant électrique).

1. L'Intensité du Courant

Déplacement ordonné des charges.

• Définition: (Ampère, A).

  • Sens conventionnel: Du pôle positif au pôle négatif (opposé au sens des électrons).

  • Circule du potentiel le plus élevé vers le moins élevé.

• Régime permanent: .

2. Vitesse de Dérive et Densité de Courant

• Vitesse de dérive (): Vitesse moyenne orientée des porteurs de charge.

  • (: densité volumique d'électrons libres, : section du conducteur).

• Densité de courant (): Courant par unité de surface.

  • .

  • (: densité volumique de charge mobile).

  • Loi d'Ohm microscopique: (: conductivité électrique).

  • Pour plusieurs types de porteurs: .

3. La Loi d'Ohm

Relation entre tension, courant et résistance.

• Formule: (Volt, V; Ampère, A; Ohm, ).

  • Résistance du fil: .

4. La Puissance en Électrocinétique

Taux de transfert d'énergie.

• Formule: (Watt, W).

  • : Dipôle reçoit de l'énergie.

  • : Dipôle fournit de l'énergie.

5. Association de Résistances

• En série: .

• En parallèle: .

6. Association de Sources

• Tension en série: .

• Tension en parallèle: La tension reste (nécessite des sources de même valeur).

• Courant en parallèle: .

• Courant en série: Interdit (provoque des conflits).

7. Lois de Kirchhoff

Outils fondamentaux pour l'analyse des circuits.

• Loi des nœuds: La somme algébrique des courants arrivant à un nœud est nulle ().

• Loi des mailles: La somme algébrique des tensions le long d'une maille fermée est nulle ().

8. Théorèmes de Thévenin et Norton

Simplification de circuits complexes à deux bornes.

• Théorème de Thévenin: Un circuit linéaire peut être remplacé par une source de tension en série avec une résistance .

• Théorème de Norton: Un circuit linéaire peut être remplacé par une source de courant en parallèle avec une résistance .

  • 关系: et .

Chapitre IV : Magnétostatique

Étude des champs magnétiques produits par des courants électriques constants ou des aimants permanents.

Le champ magnétique ne dépend pas du temps: .

1. Équations Fondamentales de la Magnétostatique

1.1. Force de Lorentz

Force exercée par un champ magnétique sur une charge en mouvement ou un courant.

• Sur une particule chargée ():

  • Force magnétique seule: .

  • Avec champ électrique: .

  • La force est toujours perpendiculaire à et .

  • Module: .

• Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme (si ):

  • Mouvement circulaire uniforme.

  • Force centripète: .

• Sur un conducteur parcouru par un courant (): Force de Laplace.

  • Formule générale: .

  • Pour un fil rectiligne de longueur : .

1.2. Loi d'Ampère

Relie le champ magnétique à la somme des courants qu'il entoure.

• Formule: .

• Cas particuliers:

  • Fil rectiligne infini: .

  • Force entre deux fils conducteurs parallèles (: longueur d'interaction, : distance): .

    • Attraction si courants de même sens, répulsion si sens opposés.

1.3. Loi de Biot-Savart

Permet de calculer le champ magnétique créé par un élément de courant.

• Formule: (: perméabilité du vide).

• Module: .

• Cas particuliers:

  • Fil rectiligne de longueur finie: .

  • Fil infini: (retrouve Ampère).

  • Fil semi-infini: .

  • Autre forme (angles par rapport à la perpendiculaire): .

  • Boucle de courant (au centre, rayon , spires): .

    • Sur l'axe, à distance : .

    • Pour un arc de cercle: ( est la fraction de cercle).

1.4. Équations de Maxwell (Forme Magnétostatique)

Fondements de l'électromagnétisme.

• Équation de Conservation du Flux (Divergence du champ magnétique):

  • .

  • Signification: Il n'existe pas de monopôles magnétiques isolés. Les lignes de champ sont toujours fermées.

• Rotationnel du Champ Magnétique (Loi d'Ampère-Maxwell Simplifiée):

  • .

  • Relie le champ magnétique à la densité de courant.