Calcul différentiel et intégral en RN

Notes de Cours sur la Trigonométrie, le Calcul Vectoriel, les Équations du Second Degré, les Fonctions et le Calcul Différentiel et Intégral

Ce document est une synthèse structurée des concepts fondamentaux en mathématiques, couvrant la trigonométrie, le calcul vectoriel, les fonctions d'une variable réelle, les équations du second degré, ainsi que le calcul différentiel et intégral pour les fonctions d'une et de deux variables.

1. Trigonométrie plane

La trigonométrie plane est l'étude des relations entre les angles et les longueurs des côtés des triangles.

1.1. Mesure d'angles, radian

Les angles peuvent être mesurés en degrés ou en radians.

• Le degré: Un tour complet est égal à .

• Le radian: Un tour complet est égal à radians.

La conversion entre degrés et radians est basée sur l'équivalence radians.

Si est un angle en degrés, sa valeur en radians est .
Si est un angle en radians, sa valeur en degrés est .

La longueur d'un arc de cercle d'angle radians et de rayon est donnée par .

1.2. Triangles rectangles et nombres trigonométriques

Dans un triangle rectangle, les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, cotangente) sont définies par les rapports des longueurs des côtés.

Soit un angle aigu dans un triangle rectangle.

• Sinus:

• Cosinus:

• Tangente:

• Cotangente:

Ces définitions s'appliquent uniquement aux angles aigus dans les triangles rectangles.
Elles ne dépendent que de l'angle (Théorème de Thalès).

Le Théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés: .

SOHCAHTOA et le Théorème de Pythagore sont valables uniquement dans un triangle rectangle.

Conséquence importante: .

Valeurs particulières (exemples):

• Pour un triangle rectangle isocèle (angles de ): .

• Pour un triangle équilatéral (angles de ) divisé en deux:

1.3. Cercle trigonométrique et formules usuelles de trigonométrie

Le cercle trigonométrique permet de généraliser les définitions du sinus et du cosinus à tout angle réel.

Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l'origine et de rayon 1, orienté dans le sens anti-horaire.

1. À un angle donné correspond un point sur le cercle trigonométrique.

2. Le cosinus de est la coordonnée du point .

3. Le sinus de est la coordonnée du point .

4. La tangente de est la longueur signée du segment vertical joignant le point (intersection de avec la droite ) à l'axe horizontal, soit .

Propriétés générales:

• Les fonctions et sont périodiques de période : et pour tout .

• La fonction est périodique de période : pour tout .

• Les valeurs de et sont toujours comprises entre -1 et 1. La tangente peut prendre n'importe quelle valeur réelle, mais n'est pas définie pour (car ).

Signe des fonctions trigonométriques selon le quadrant:

Formules de symétrie:

• Angles opposés: et

• Angles supplémentaires: et

• Symétrie centrale: et

• Angles complémentaires: et

Formules d'addition et de duplication:

Formules de transformation somme-produit:

Ces formules sont utiles pour transformer des sommes en produits (pour résoudre des équations) ou des produits en sommes (pour l'intégration).

1.4. Triangles quelconques et triangulation

La triangulation vise à déterminer toutes les longueurs et angles d'un triangle quelconque à partir de certaines informations connues. La somme des angles d'un triangle est toujours égale à ().

Théorème de Pythagore généralisé (Loi des cosinus):

Cette loi permet de trouver un côté si deux côtés et l'angle inclus sont connus, ou un angle si les trois côtés sont connus.

Loi des sinus:

Cette loi est utile pour résoudre des triangles quand on connaît deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux.

Attention: Lorsque l'on utilise la loi des sinus pour déterminer un angle, il faut être prudent car il existe deux angles entre et qui ont le même sinus (angles supplémentaires). La calculatrice renvoie le plus petit des deux.

Aire d'un triangle quelconque: L'aire d'un triangle peut être calculée avec la formule . Par exemple, .

2. Calcul vectoriel et repères dans le plan et l'espace

Le calcul vectoriel fournit des outils pour décrire et manipuler des grandeurs possédant une direction et un sens.

2.1. Vecteurs dans le plan ou l'espace

Un vecteur est un segment orienté, caractérisé par:

1. Sa direction: la droite qui contient le vecteur.

2. Son sens.

3. Sa norme (ou longueur) notée .

Le vecteur nul est un vecteur de norme nulle (ex: ). C'est le seul vecteur dont la norme est nulle.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.

Les vecteurs sont très utilisés en physique pour représenter des forces, vitesses, accélérations.

2.2. Opérations sur les vecteurs

2.2.1. Addition de vecteurs

La somme de deux vecteurs () peut être construite via:

• La règle du triangle: Le vecteur résultant va de l'origine du premier vecteur à l'extrémité du second.

• La règle du parallélogramme: Les deux vecteurs forment les côtés adjacents d'un parallélogramme, et la somme est la diagonale issue de leur point commun.

L'addition de vecteurs est commutative: .

2.2.2. Multiplication d'un vecteur par un scalaire

Un scalaire est un nombre réel. Pour un vecteur et un scalaire , le produit est un vecteur:

• De norme .

• De même direction que .

• De même sens que si , de sens opposé si .

Si ou , alors .

Propriétés:

4. Si , alors .

Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires s'il existe tel que . Cela signifie qu'ils ont la même direction.

2.2.3. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs et est un nombre réel: , où est le plus petit angle entre les vecteurs ().

Propriétés:

1. Si ou alors .

2. Le produit scalaire est commutatif: .

3. , d'où .

4. Deux vecteurs non nuls et sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si . On note .

5. est positif si est aigu, négatif si est obtus.

6. Linéarité: .

7. Distributivité: .

2.2.4. Produit vectoriel (en 3D)

Le produit vectoriel de deux vecteurs et dans , noté , est un vecteur caractérisé par:

• Sa norme: .

• Sa direction: est perpendiculaire à la fois à et à .

• Son sens: donné par la règle de la main droite (ou règle du tire-bouchon).

Propriétés:

1. Si ou alors .

2. Anti-commutativité: .

3. Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires si et seulement si (ce qui équivaut à ou ).

4. Linéarité: .

5. Distributivité: .

2.3. Repère orthonormé et coordonnées cartésiennes

2.3.1. Dans le plan ()

Un repère orthonormé dans le plan est défini par:

• Une origine .

• Deux vecteurs unitaires () et orthogonaux ().

Tout vecteur du plan peut être décomposé de manière unique en .

1. Les scalaires et sont les coordonnées cartésiennes du vecteur . On note .

2. Les coordonnées du point sont celles du vecteur . On note . est l'abscisse, est l'ordonnée.

Propriétés des coordonnées:

• , , .

• Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.

• Si et , les coordonnées de sont .

Opérations en coordonnées:

• Addition vectorielle: Si et , alors .

• Multiplication par un scalaire: Si et , alors .

• Produit scalaire: Si et , alors .

• Norme d'un vecteur: (Théorème de Pythagore).

2.3.2. Dans l'espace ()

Un repère orthonormé dans l'espace est défini par:

• Une origine .

• Trois vecteurs unitaires () et orthogonaux deux à deux.

• (pour un repère direct).

Tout vecteur de se décompose de manière unique en .

Les nombres réels sont les coordonnées cartésiennes du vecteur . On note . est la cote.

Propriétés des coordonnées:

• , , , .

• Si et , les coordonnées de sont .

Opérations en coordonnées:

• Addition vectorielle: .

• Multiplication par un scalaire: .

• Produit scalaire: .

• Norme d'un vecteur: .

• Produit vectoriel: Si et , alors . Cette formule peut être mémorisée comme le déterminant d'une matrice : $

2.4. Applications

2.4.1. Milieu d'un segment

Le milieu d'un segment est le point tel que .

En coordonnées, si et , alors .

2.4.2. Centre de gravité d'un triangle

Le centre de gravité d'un triangle (non alignés) est le point d'intersection des médianes. Il satisfait .

En coordonnées, si , et , alors .

2.4.3. Équation d'une droite dans le plan

Une droite non verticale dans le plan a pour équation .

• est la pente (ou coefficient directeur).

• est l'ordonnée à l'origine (point d'intersection avec l'axe ).

• La pente représente le déplacement vertical pour un déplacement horizontal d'une unité.

On peut retrouver l'équation d'une droite connaissant deux de ses points et en résolvant un système d'équations pour et . La pente , où est l'angle de pente.

Propriétés liées à la pente:

1. La droite est croissante si , décroissante si , horizontale si ().

2. La pente de correspond à celle de son vecteur directeur .

3. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente ().

4. Une droite verticale est d'équation .

2.4.4. Distance d'un point à une droite

La distance d'un point à une droite est la longueur du plus petit segment joignant à un point de . Ce segment est perpendiculaire à la droite .

Si et est perpendiculaire à , alors la pente de est (si ).

Pour calculer :

1. Déterminer l'équation de la droite passant par et perpendiculaire à .

2. Calculer le point d'intersection de et .

3. La distance est .

3. Équations du second degré et paraboles

Cette section explore la résolution des équations quadratiques et les propriétés des paraboles.

3.1. Équation où et

Pour résoudre l'équation quadratique, on utilise le discriminant .

Trois cas possibles:

1. Si : Deux solutions réelles distinctes: et .

2. Si : Une unique solution réelle (double): .

3. Si : Aucune solution réelle.

3.2. Fonctions paraboliques

Une parabole est une courbe plane d'équation (avec ).

Caractéristiques d'une parabole:

1. La concavité est "vers le haut" si et "vers le bas" si .

2. Le sommet a pour abscisse . La droite verticale est l'axe de symétrie.

3. La parabole intersecte l'axe au point .

4. Elle intersecte l'axe aux points et , où et sont les solutions de (si elles existent).

Pour caractériser une parabole, il faut généralement connaître trois points distincts par lesquels elle passe. On résout alors un système de trois équations à trois inconnues ().

• Si les trois points sont alignés, la "parabole" est une droite (on trouve ).

• Si deux points sont sur la même verticale, aucune parabole de la forme ne peut les relier.

3.3. Problèmes d'optimisation

Les paraboles sont utiles pour résoudre des problèmes d'optimisation (maximisation ou minimisation).

Si la concavité est vers le bas (), le sommet correspond à un maximum. Si la concavité est vers le haut (), le sommet correspond à un minimum.

Exemple: Maximiser le produit sachant que . On a , donc . La parabole est concave vers le bas. Le maximum est au sommet: . Donc , et le produit maximal est $2500$.

3.4. Point de vue géométrique

Une parabole peut être définie comme l'ensemble des points équidistants d'un point fixe (le foyer) et d'une droite fixe (la directrice).

Propriétés géométriques:

• L'axe de symétrie de la parabole est la perpendiculaire à la directrice qui passe par le foyer.

• Le sommet de la parabole se situe sur cet axe, à égale distance du foyer et de la directrice.

• La distance focale est la distance entre le foyer et le sommet. Pour une parabole , la distance focale est .

4. Fonctions d'une variable réelle

Cette section traite de la définition, du domaine, de la représentation graphique et des transformations de fonctions réelles.

4.1. Définition, domaine et image

Une fonction d'une variable réelle associe à tout nombre réel un et un seul nombre réel (son image).

• Le domaine est l'ensemble des pour lesquels existe.

• L'image est l'ensemble des qui sont l'image d'au moins un .

Un n'a qu'une seule image par , mais un peut avoir plusieurs antécédents.

Pour déterminer le , il faut considérer les contraintes:

1. Problèmes de division par zéro (dénominateur ).

2. Racines paires de quantités négatives (argument ).

3. Logarithmes de quantités non positives (argument ).

4.2. Représentation graphique

Le graphe d'une fonction est l'ensemble des points dans le plan où .

Intersections avec les axes:

• Axe vertical (): Au point , si .

• Axe horizontal (): Résoudre pour trouver les abscisses des points d'intersection.

Types de fonctions

1. Fonctions affines (linéaires): . Leur graphe est une droite (non verticale).

2. Fonctions quadratiques (paraboliques): (). Leur graphe est une parabole.

3. Fonctions puissances: . La nature du graphe dépend de la parité de .

4. Fonctions trigonométriques: , , , etc.

Transformations de graphes

Soit une fonction et .

4.3. Composée de deux fonctions et fonction réciproque

4.3.1. Composée de fonctions

Si et sont telles que , alors la composée de par est la fonction: .

En général, . Une des composées peut exister sans l'autre.

4.3.2. Fonction réciproque

La fonction est la fonction réciproque de , notée , si , où est la fonction identité.

Si existe, elle est unique.

Le graphe de est l'image du graphe de par une symétrie orthogonale par rapport à la droite .

Exemples:

• .

• (restreinte à ) .

• .

5. Calcul différentiel et optimisation

Le calcul différentiel étudie le taux de changement des fonctions.

5.1. Dérivée d'une fonction, définition et règles de calcul

La dérivée d'une fonction en un point , notée , généralise la notion de vitesse instantanée.

La variation moyenne de sur est . C'est la pente de la sécante.

La dérivée est la limite de cette variation moyenne quand : (si la limite existe).

Si est dérivable en , est la pente de la tangente au graphe de au point .

La fonction dérivée est la fonction qui associe à chaque point où est dérivable la valeur de . La dérivée seconde est . La -ième dérivée est .

Règles de dérivation de base

1. Fonction affine: .

   • (pour constante).

   • (fonction identité).

2. Fonction puissance: (pour ).

   • .

   • .

3. Fonction exponentielle: .

4. Fonctions trigonométriques: et .

5. Fonction logarithme naturel: .

Règles de dérivation avancées

Soient et des fonctions dérivables, .

1. Linéarité:

   • .

   • .

2. Règle du produit (Leibniz): .

3. Règle du quotient: Si , . Par exemple, .

4. Règle de la chaîne (Chain Rule): Si est définie, .

   • .

   • .

   • .

   • .

   • .

5.2. Croissance, décroissance, points critiques d'une fonction

La dérivée première renseigne sur la croissance et la décroissance d'une fonction.

Pour une fonction dérivable sur un intervalle :

• est croissante sur si pour tout .

• est décroissante sur si pour tout .

Un point est un point critique de si . À ces points, la tangente est horizontale.

La nature d'un point critique (maximum local, minimum local, point d'inflexion) dépend du signe de autour de .

Un point d'inflexion est un point où et change de signe en . La concavité du graphe de s'inverse à cet endroit.

Test de la dérivée seconde pour la nature des points critiques: Soit un point critique de ():

• Si , alors est un minimum local.

• Si , alors est un maximum local.

• Si , on ne peut pas conclure avec ce test.

5.3. Problèmes d'optimisation

Les techniques de calcul différentiel sont utilisées pour trouver les valeurs maximales ou minimales d'une fonction.

Étapes pour résoudre un problème d'optimisation:

1. Identifier la fonction à optimiser (minimiser ou maximiser).

2. Déterminer le domaine de cette fonction.

3. Calculer la dérivée première de la fonction et trouver les points critiques (où ).

4. Utiliser la dérivée seconde ou l'étude des signes de pour déterminer la nature des points critiques.

5. Conclure en donnant la valeur optimale et les conditions correspondantes.

6. Calcul intégral et calcul d'aires

Le calcul intégral est utilisé pour trouver des primitives et calculer des aires sous des courbes ou entre des courbes.

6.1. Primitives d'une fonction

Une primitive de est une fonction telle que .

Si est une primitive de , alors toutes les autres primitives de sont de la forme , où est une constante d'intégration. On écrit .

Primitives de base

1. .

2. .

3. (pour ).

4. .

5. .

6. .

7. .

Propriétés de l'intégration

Soient des fonctions intégrables et :

• .

• .

L'intégrale d'un produit n'est PAS le produit des intégrales: .

6.2. Intégrales définies, valeur moyenne et calculs d'aires

6.2.1. Intégrale définie

Pour une fonction continue sur un intervalle et une primitive de : .

et sont les bornes de l'intégrale.

Propriétés des intégrales définies:

• Le résultat est indépendant du choix de la primitive.

• .

• Relation de Chasles: pour .

6.2.2. Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne d'une fonction intégrable sur un intervalle est: .

6.2.3. Calcul d'aires

L'intégrale définie permet de calculer l'aire de surfaces dans le plan.

• Si sur : L'aire sous le graphe de est .

• Si sur : L'aire entre le graphe de et l'axe est .

• Si change de signe sur : L'intégrale représente l'aire signée (aires positives au-dessus de , négatives en dessous). Pour l'aire totale, il faut segmenter l'intervalle et prendre les valeurs absolues des intégrales correspondantes: .

• Aire entre deux courbes: Si sur , l'aire entre leurs graphes est .

7. Introduction aux intégrales doubles

Les intégrales doubles étendent le concept d'intégration aux fonctions de plusieurs variables, permettant de calculer des volumes ou des aires de régions planes.

7.1. Fonctions de deux variables réelles

Une fonction de deux variables réelles associe à un couple un unique nombre réel .

Le graphe d'une telle fonction est l'ensemble , représentant une surface dans l'espace .

Exemples de graphes:

• : paraboloïde de révolution.

• : paraboloïde hyperbolique ("selle de cheval").

7.2. Intégrales doubles et applications

Calculer une intégrale double est une succession de deux intégrales simples. Lorsque l'on intègre par rapport à une variable, l'autre est traitée comme une constante.

7.2.1. Intégration sur un domaine rectangulaire

Pour une fonction continue sur un rectangle : .

L'ordre d'intégration peut être choisi indifféremment.

7.2.2. Intégration sur un domaine non rectangulaire

Si le domaine n'est pas rectangulaire, il doit être décrit par des bornes de fonction:

• Si : .

• Si : .

Dans ce cas, l'ordre d'intégration est crucial et ne peut pas toujours être interverti facilement. Si le domaine est complexe, il peut être nécessaire de le diviser en plusieurs sous-régions.

7.2.3. Applications des intégrales doubles

Si sur : L'intégrale double représente le volume entre le graphe de et le plan .

Si : Alors représente l'aire de la surface .

Moment statique et centre de gravité: Pour une surface d'aire :

• Moments statiques: (par rapport à ) et (par rapport à ).

• Coordonnées du centre de gravité : et .

• Alternativement, et peuvent être trouvés en résolvant: et .

Annexe A: Prérequis

A.1. Notations et priorités des opérations

Ensembles de nombres:

• : Nombres naturels.

• : Nombres entiers ().

• : Nombres rationnels ().

• : Nombres réels (inclut les rationnels et les irrationnels comme , ).

Priorité des opérations (PEMDAS/BIDMAS):

1. Parenthèses

2. Exposants

3. Multiplications et Divisions (de gauche à droite)

4. Additions et Soustractions (de gauche à droite)

A.2. Somme et produit de fractions

Soient avec :

• Addition: .

• Multiplication: .

• Division: (avec ).

A.3. Puissances entières et rationnelles

Définitions:

1. pour ; .

2. pour (). Ex: , .

3. pour et . Ex: , .

Règles de calcul: Soient et :

1. et ().

2. et ().

3. .

Identités remarquables:

• .

• .

• .

• .

• .

Important: En général, . En particulier, et .

A.4. Équations du premier degré (et systèmes)

Une équation du premier degré est de la forme . La résolution implique d'isoler la variable .

Les systèmes d'équations à plusieurs variables peuvent être résolus par substitution ou combinaison linéaire pour trouver les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations simultanément.

Toujours vérifier les solutions après avoir résolu une équation ou un système.

Annexe B: Matière complémentaire

B.1. Changement de repère dans le plan

Un changement de repère par translation de l'origine vers sans rotation des axes: . Si un point a les coordonnées dans et dans :

Inversement: et .

Si une droite est exprimée dans le nouveau repère, son équation devient: . La pente reste inchangée, ce qui est cohérent avec la translation.

B.2. Méthodes d’intégration

Des méthodes spécifiques sont nécessaires pour intégrer des produits de fonctions ou des fonctions composées.

B.2.1. Intégration par parties

Dérivée de Leibniz: . En intégrant les deux côtés, on obtient la formule d'intégration par parties: .

Cette méthode est utile lorsque l'on peut choisir de manière que simplifie l'intégrale. On choisit pour la partie qui se simplifie par dérivation, et pour la partie facile à intégrer.

B.2.2. Intégration par substitution (ou changement de variable)

Basée sur la règle de la chaîne: . Donc: .

La méthode consiste à poser une nouvelle variable , ce qui implique . L'intégrale se transforme en .

Pour les intégrales définies avec changement de variable, il est impératif d'adapter les bornes d'intégration en fonction de la nouvelle variable .

B.2.3. Transformation de produits trigonométriques en sommes

Les formules de transformation somme-produit (voir Section 1.3) sont très utiles pour intégrer des produits de fonctions trigonométriques en les convertissant en sommes, qui sont plus faciles à intégrer.

Exemple: .

B.3. Intégrales doubles, moment statique et centre de gravité d'une surface

Cette section approfondit les applications des intégrales doubles pour calculer les propriétés physiques des surfaces.

Les moments statiques d'une surface d'aire par rapport aux axes et sont:

Les coordonnées du centre de gravité d'une surface sont:

Si l'aire n'est pas connue ou si l'on souhaite une méthode alternative, on peut utiliser les propriétés des moments statiques par rapport aux axes passant par le centre de gravité. Si un repère est centré en , les moments statiques par rapport à ces nouveaux axes sont nuls:

Ces équations peuvent être résolues pour trouver et .