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Variables Aléatoires à Densité : Concepts Clés

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Question

Définir la fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X.

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Réponse

Pour une variable aléatoire X, sa fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) est définie pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} par :
FX(x)=P(X⩽x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x)=\mathbb{P}(\mathrm{X} \leqslant x)

Question

Si X est une variable aléatoire à densité, quelle est la valeur de P(X=a)\mathbb{P}(\mathrm{X}=a) pour tout réel aa?

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Réponse

Pour une variable aléatoire à densité X, la probabilité que X prenne une valeur spécifique a est toujours nulle : P(X=a)=0\mathbb{P}(\mathrm{X}=a) = 0.

Question

Énoncer la formule de König-Huygens pour la variance V(X)\mathbb{V}(\mathrm{X}).

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Réponse

La formule de König-Huygens pour la variance V(X)\mathbb{V}(\mathrm{X}) est :
V(X)=E(X2)−E(X)2\mathbb{V}(\mathrm{X})=\mathbb{E}(\mathrm{X}^{2})-\mathbb{E}(\mathrm{X})^{2}

Question

Quelles sont les trois conditions pour qu'une fonction ff soit une densité de probabilité?

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Réponse

Pour qu'une fonction ff soit une densité de probabilité, elle doit remplir les trois conditions suivantes :
1. Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f(x)≥0f(x) \ge 0.
2. ff est continue par morceaux avec un nombre fini de points de discontinuité.
3. L'intégrale ∫−∞+∞f(t)dt\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t converge et est égale à 1.

Question

Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire X∼U([a;b])\mathrm{X} \sim \mathscr{U}([a ; b])?

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Réponse

L'espérance d'une variable aléatoire X∼U([a;b])\mathrm{X} \sim \mathscr{U}([a ; b]) est :
E(X)=a+b2\mathbb{E}(\mathrm{X})=\frac{a+b}{2}

Question

Quelle est la relation entre Φ(−x)\Phi(-x) et Φ(x)\Phi(x) pour la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite?

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Réponse

Pour la fonction de répartition Φ\Phi de la loi normale centrée réduite, la relation est : Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)

Question

Comment calculer P(a⩽X⩽b)\mathbb{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) en utilisant la fonction de répartition FX\mathrm{F}_{\mathrm{X}}?

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Réponse

P(a⩽X⩽b)=FX(b)−FX(a)\mathbb{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) = \mathrm{F}_{\mathrm{X}}(b) - \mathrm{F}_{\mathrm{X}}(a)

Question

Définir l'espérance E(X)\mathbb{E}(\mathrm{X}) d'une variable aléatoire à densité.

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Réponse

Sous réserve de convergence de l'intégrale, l'espérance d'une variable aléatoire à densité X, notée E(X)\mathbb{E}(\mathrm{X}), est définie par :

E(X)=∫−∞+∞tf(t)dt\mathbb{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \mathrm{d} t

où f(t)f(t) est la densité de probabilité de X.

Question

Donner la densité f(t)f(t) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi uniforme sur [a;b][a; b].

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Réponse

f(t)={1b−a si t∈[a;b]0 si t∉[a;b]f(t)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{1}{b-a} & \text { si } & t \in[a ; b] \\0 & \text { si } & t \notin[a ; b]\end{array}\right.

Question

Quelle est la variance d'une variable aléatoire X∼E(λ)\mathrm{X} \sim \mathscr{E}(\lambda)?

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Réponse

La variance d'une variable aléatoire X∼E(λ)\mathrm{X} \sim \mathscr{E}(\lambda) est V(X)=1λ2\mathbb{V}(\mathrm{X}) = \frac{1}{\lambda^2}.

Question

Comment standardiser une variable aléatoire X∼N(m,σ2)\mathrm{X} \sim \mathscr{N}(m, \sigma^2) pour obtenir une variable suivant la loi N(0,1)\mathscr{N}(0,1)?

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Réponse

Pour standardiser une variable aléatoire X∼N(m,σ2)\mathrm{X} \sim \mathscr{N}(m, \sigma^2) et obtenir une variable suivant la loi N(0,1)\mathscr{N}(0,1), on utilise la formule :
Z=X−mσ\mathrm{Z} = \frac{\mathrm{X}-m}{\sigma}

Question

Donner la fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.

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Réponse

La fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda est donnée par :

FX(x)={1−e−λx si x⩾00 si x<0\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x)=\left\{\begin{array}{cll}1-e^{-\lambda x} & \text { si } & x \geqslant 0 \\0 & \text { si } & x<0\end{array}\right.

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Fiche de révision

Définition d'une Variable Aléatoire à Densité

Une variable aléatoire X est dite à densité (ou continue) si sa fonction de répartition, notée FX(x) = P(X ≤ x), est continue sur ℝ et dérivable sauf en un nombre fini de points. Elle est caractérisée par une densité de probabilité f(x).

Propriétés d'une densité de probabilité f

  • Positivité : Pour tout réel x, f(x) ≥ 0.

  • Continuité : f est continue sur ℝ, sauf éventuellement en un nombre fini de points.

  • Normalisation : L'intégrale de la fonction sur ℝ est égale à 1 : ∫-∞+∞ f(t) dt = 1.

Le lien fondamental entre ces deux fonctions est que la densité est la dérivée de la fonction de répartition : f(x) = F'X(x) là où FX est dérivable.

Calculs de Probabilités

Pour une variable aléatoire à densité X, la probabilité que X prenne une valeur précise est nulle : P(X = a) = 0. Cela implique que P(a < X < b), P(a ≤ X < b), P(a < X ≤ b) et P(a ≤ X ≤ b) sont toutes égales.

  • Probabilité cumulative : P(X ≤ a) = FX(a) = ∫-∞a f(t) dt

  • Probabilité de dépassement : P(X > a) = 1 - FX(a) = ∫a+∞ f(t) dt

  • Probabilité sur un intervalle : P(a ≤ X ≤ b) = FX(b) - FX(a) = ∫ab f(t) dt

Espérance et Variance

L'espérance et la variance sont des indicateurs clés qui décrivent la tendance centrale et la dispersion d'une variable aléatoire.

Espérance E(X)

L'espérance, ou moyenne, d'une variable X de densité f est définie par :
E(X) = ∫-∞+∞ t f(t) dt, sous réserve de convergence de l'intégrale.

Variance V(X)

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Pour la calculer, on utilise souvent la formule de König-Huygens, qui nécessite le calcul du moment d'ordre 2, E(X2).

  • Moment d'ordre 2 : E(X2) = ∫-∞+∞ t2 f(t) dt

Formule de König-Huygens : V(X) = E(X2) - [E(X)]2

L'écart-type, noté σX, est simplement la racine carrée de la variance : σX = √V(X).

Tableau des Lois Usuelles à Densité

Loi

Notation

Espérance E(X)

Variance V(X)

Uniforme sur [a, b]

X ~ U([a, b])

(a + b) / 2

(b - a)2 / 12

Exponentielle

X ~ E(λ)

1 / λ

1 / λ2

Normale (ou de Laplace-Gauss)

X ~ N(m, σ2)

m

σ2

Normale Centrée Réduite

X ~ N(0, 1)

0

1

Points Clés à Retenir

  • La probabilité est représentée par l'aire sous la courbe de la fonction de densité.

  • Pour une variable continue, la probabilité en un point unique est toujours nulle.

  • La loi uniforme modélise une situation où toutes les valeurs sur un intervalle sont équiprobables.

  • La loi exponentielle est souvent utilisée pour modéliser des durées de vie ou des temps d'attente.

  • La loi normale est fondamentale en probabilités et statistiques, notamment grâce au théorème central limite.

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