Probabilités et Variables Aléatoires

50 cartes

Introduction aux concepts fondamentaux des probabilités, incluant les épreuves aléatoires, les événements, les distributions de probabilité, le calcul des probabilités, les probabilités conditionnelles, l'indépendance, et les variables aléatoires discrètes et continues, avec leurs lois usuelles.

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Question

Qu'est-ce qu'une épreuve aléatoire?

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Réponse

Une situation, action ou processus avec divers résultats possibles, dont on ne peut prédire lequel se produira.

Question

Comment est généralement noté l'ensemble des résultats possibles d'une épreuve aléatoire?

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Réponse

L'ensemble des résultats possibles d'une épreuve aléatoire est généralement noté $\Omega$ .

Question

Quelle est la formule de la probabilité d'un événement A lorsque tous les résultats possibles sont équiprobables?

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Réponse

Pour un événement $A$ avec $N_A$ résultats favorables sur un total de $N$ résultats équiprobables:

Question

Quelle est la propriété fondamentale de la probabilité d'un événement A?

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Réponse

La probabilité $IP(A)$ d'un événement $A$ est comprise entre 0 et 1, $0 \%5Cleq IP(A) \%5CLEQ 1$ .

Question

Étant donné un événement A, comment se note son événement contraire?

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Réponse

L'événement contraire de $A$ se note $\overline{A}$ .

Question

Quelle est la formule de la probabilité de l'événement contraire d'un événement A?

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Réponse

La formule de la probabilité de l'événement contraire $\overline{A}$ d'un événement $A$ est : $IP(\overline{A}) = 1 - IP(A)$ .

Question

Si A et B sont deux événements mutuellement exclusifs, quelle est la formule de IP(A ou B)?

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Réponse

Pour des événements mutuellement exclusifs, <span data-latex=

Question

Quelle est la formule de la loi d'addition pour deux événements A et B?

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Réponse

Question

Que signifie le terme événements mutuellement exclusifs?

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Réponse

Deux événements A et B sont mutuellement exclusifs s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Ensemblistement, leurs parties $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont disjointes : $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \emptyset$ .

Question

Que signifie qu'un événement A implique un événement B?

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Réponse

Si $A$ est réalisé, alors $B$ l'est aussi, y compris pour des résultats potentiellement supplémentaires. Formellement, $\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$ .

Question

Quelle est la formule de la probabilité d'un événement A si B₁, B₂, ..., B_r est une partition?

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Réponse

P(A) = \sum_{i=1}^{r} P(A \text{ et } B_i) = \sum_{i=1}^{r} P(A | B_i) P(B_i)

Question

Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle de A sachant B?

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Réponse

Question

Quand un ensemble d'événements A₁, A₂, ..., A_r forme-t-il un système complet d'événements mutuellement exclusifs?

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Réponse

Ils forment un système complet d'événements mutuellement exclusifs si leur union est certaine et s'ils sont mutuellement exclusifs deux à deux.

Question

Quelle est la deuxième formule de Bayes pour une partition B₁, ..., B_r?

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Réponse

<span data-latex=

Question

Quand dit-on que deux événements A et B sont indépendants?

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Réponse

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si $IP(A \text{ et } B) = IP(A)IP(B)$ .

Question

Si X suit une loi discrète uniforme sur {x₁, ..., x_n}, quelle est la probabilité IP(X = x_i)?

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Réponse

Pour une loi discrète uniforme sur $n$ valeurs équiprobables, $P(X = x_i) = \frac{1}{n}$ .

Question

Quelle est la formule de l'espérance E(X) pour une variable aléatoire discrète X?

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Réponse

L'espérance $E(X)$ est la somme des produits de chaque valeur possible $x_i$ par sa probabilité $p_{x_i}$ : $E(X) = \sum_{x_i} x_i p_{x_i}$ .

Question

Quelle est la formule de la variance V(X) pour une variable aléatoire discrète X?

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Réponse

La formule de la variance $V(X)$ est $\sum_{x_i} (x_i - \mu)^2 p_{x_i}$ , où $\mu = E(X)$ .

Question

Quelle est la formule de l'écart-type σ(X) pour une variable aléatoire discrète X?

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Réponse

V(X) = E[(X - μ)²] = Σ(xᵢ - μ)² p(xᵢ) or V(X) = Σxᵢ² p(xᵢ) - μ². Then, σ(X) = √V(X).

Question

Quelle est la formule de l'espérance E(X) pour une variable aléatoire continue X?

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Réponse

L'espérance d'une variable aléatoire continue X est donnée par :

Question

Quelle est la formule de la variance V(X) pour une variable aléatoire continue X?

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Réponse

Pour une variable aléatoire continue X, la variance V(X) est donnée par : <span data-latex=

Question

Quelle est la formule de l'espérance d'une fonction g(X) d'une variable aléatoire discrète X?

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Réponse

Dans le cas discret, l'espérance de $g(X)$ est $\sum_{x_i} g(x_i)p_{x_i}$ . Dans le cas continu, c'est $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)dx$ .

Question

Quelle est la formule de la variance d'une fonction linéaire Y = a + bX d'une variable aléatoire X?

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Réponse

La variance de <span data-latex=

Question

Quelle est la formule de l'espérance d'une fonction g(X) d'une variable aléatoire continue X?

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Réponse

L'espérance d'une fonction g(X) d'une variable aléatoire continue X est :
<span data-latex=

Question

Comment définit-on la loi jointe d'un couple de variables aléatoires discrètes (X,Y)?

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Réponse

La loi jointe d'un couple de variables aléatoires discrètes (X,Y) est un ensemble de couples $\left((x_i,y_j),p_{x_iy_j}\right)$ , où $p_{x_iy_j} = \mathbb{P}(X = x_i \text{ et } Y = y_j)$ et $0 \leq p_{x_iy_j} \leq 1$ , avec $\sum_{x_i} \sum_{y_j} p_{x_iy_j} = 1$ .

Question

Comment calcule-t-on la densité conditionnelle de X sachant Y=y pour des variables continues?

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Réponse

Pour des variables continues, la densité conditionnelle de $X$ sachant $Y=y$ est $f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ , où $f(x,y)$ est la densité jointe et $f_Y(y)$ est la densité marginale de $Y$ .

Question

Comment calcule-t-on la densité marginale de X à partir de la densité jointe f(x,y)?

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Réponse

Pour obtenir la densité marginale de X, on intègre la densité jointe f(x,y) par rapport à y : <span data-latex=

Question

Quand dit-on que deux variables aléatoires continues X et Y sont indépendantes?

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Réponse

Deux variables aléatoires continues X et Y sont indépendantes si leur loi jointe f(x, y) est le produit de leurs lois marginales f_X(x) et f_Y(y). Formellement : <span data-latex=

Question

Quelle est la formule de l'espérance d'une fonction linéaire Z = a + bX + cY?

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Réponse

E(Z) = E(a + bX + cY) = a + bE(X) + cE(Y)

Question

Quelle est la formule de la covariance entre deux variables aléatoires X et Y?

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Réponse

La covariance est la moyenne du produit des écarts de chaque variable à leur espérance : <span data-latex=

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Quand dit-on que deux variables aléatoires discrètes X et Y sont indépendantes?: Elles sont indépendantes si leur loi jointe est le produit de leurs lois marginales, soit $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j)$ .
Quelle est la formule du coefficient de corrélation linéaire entre X et Y?: $\rho(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$
Quelle est la formule de la variance d'une fonction linéaire Z = a + bX + cY?: Pour une fonction linéaire $Z = a + bX + cY$ , la variance est $V(Z) = b^2 V(X) + c^2 V(Y) + 2bc \text{Cov}(X, Y)$ .
Si X suit une loi de Bernoulli B(p), quelles sont son espérance et sa variance?: Pour une loi de Bernoulli $B(p)$ , l'espérance est $E(X) = p$ et la variance est $V(X) = p(1-p)$ .
Quelle est la formule de V(a + bX + cY) si X et Y sont non-corrélées?: V(a + bX + cY) = b^2 V(X) + c^2 V(Y) car Cov(X, Y) = 0
Si X suit une loi binomiale B(n;p), quelles sont son espérance et sa variance?: L'espérance est <span data-latex=
Si X suit une loi de Poisson P(λ), quelles sont son espérance et sa variance?: L'espérance et la variance d'une loi de Poisson <span data-latex=
Quelle est la fonction de densité d'une variable aléatoire X suivant une loi continue uniforme sur [a,b]?: f(x) = 1/(b-a) pour a <= x <= b, et 0 sinon.
Si X suit une loi continue uniforme sur [a,b], quelle est sa fonction de répartition F(x)?: Pour $a ", " x \leq b$ , $F(x) = \frac{x-a}{b-a}$ . Pour $x < a$ , $F(x) = 0$ . Pour $x > b$ , $F(x) = 1$ .
Si X suit une loi exponentielle E(λ), quelle est sa fonction de densité?: La fonction de densité est $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$ , et $0$ ailleurs.
Si X suit une loi normale N(m; σ²), quelles sont son espérance et sa variance?: L'espérance est m et la variance est σ².
Si X suit une loi normale N(m; σ²), comment la transformer en une loi normale centrée réduite?: Pour transformer $X \sim \mathcal{N}(m; \sigma^2)$ en une loi normale centrée réduite $Z$ , utilisez la formule : $Z = \frac{X - m}{\sigma}$ .
Si X suit une loi exponentielle E(λ), quelle est sa fonction de répartition F(x)?: La fonction de répartition est F(x) = 1 - e^-λx pour x ≥ 0.
Quelle est la formule de la loi de multiplication pour deux événements A et B?: ou .
Quelle est la première formule de Bayes?: Pour tout événement $A, B$ , on a :
<span data-latex=
Si X suit une loi exponentielle E(λ), quelles sont son espérance et sa variance?: L'espérance est <span data-latex=
Quelle est la fonction de densité d'une loi normale N(m; σ²)?: La fonction de densité d'une loi normale $\mathcal{N}(m; ̄²)$ est : <span data-latex=
Comment calcule-t-on la loi marginale de X à partir de la loi jointe p_{x_iy_j}?: La loi marginale de X se calcule en sommant les probabilités de la loi jointe p_{x_iy_j} sur toutes les valeurs possibles de Y : <span data-latex=
Quelle est la formule de la probabilité d'un événement A lorsque les résultats possibles ne sont pas équiprobables?: La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des résultats possibles qui le réalisent : $IP(A) = \sum_{i \in A} p_i$ .
Quelle est la formule de l'espérance conditionnelle de Y sachant X=x_i pour des variables discrètes?: L'espérance conditionnelle de $Y$ sachant $X=x_i$ est $\sum_{y_j} y_j p_{y_j|x_i}$ .

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Théorie des Probabilités et Statistiques

Ce document explore les concepts fondamentaux de la théorie des probabilités et des statistiques, en se basant sur les principes des épreuves aléatoires, des événements, des variables aléatoires et de leurs distributions, ainsi que des lois usuelles.

Chapitre 1 : L'Aléatoire et les Probabilités

Épreuve Aléatoire

Une épreuve aléatoire est une situation, une action ou un processus dont le résultat ne peut être prédit avec certitude à l'avance, mais pour lequel l'ensemble de tous les résultats possibles est connu.

Exemples :
- Le sexe des enfants d'un couple ayant 3 enfants.
- Le lancer de 2 dés.
- La durée de vie d'une ampoule.

Ensemble des Résultats Possibles ()

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une épreuve aléatoire est noté .

Exemples :
- Lancer d'un dé : .
- Lancer de deux dés : , soit 36 couples possibles.
- Sexe de 2 enfants : .
Le nombre de résultats peut être fini ou infini (comme la durée de vie d'une ampoule, ).

Distribution de Probabilité

Une distribution de probabilité sur est un ensemble de couples pour résultats possibles, où représente la probabilité du résultat . Les conditions suivantes doivent être remplies :

Exemple : Pièce équilibrée

Résultats possibles pile face

Probabilités
Exemple : Dé truqué

Résultats possibles 1 2 3 4 5 6

Probabilités

Résultats possibles	pile	face
Probabilités

Événement et Probabilité d'un Événement

Un événement est une proposition logique relative à l'issue d'une épreuve aléatoire. Il se réalise si, au vu du résultat, la proposition est vraie.

Événements élémentaires : Corresponde à un unique résultat possible (ex: "obtenir un 6" lors du lancer d'un dé).
Calcul de la probabilité d'un événement :
1. Cas équiprobable (Définition 1.4.2) : Si tous les résultats sont équiprobables : où est le nombre de résultats pour lesquels se réalise.
  - Exemple : "Obtenir un nombre pair" avec un dé non truqué : ({2,4,6}), . Donc .
2. Cas général (Définition 1.4.3) : Pour une distribution de probabilité : où la somme est effectuée sur tous les résultats pour lesquels se réalise.
  - Exemple : "Obtenir un nombre pair" avec le dé truqué ci-dessus : .
Propriété 1.4.4 : La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1 : .

Chapitre 2 : Le Calcul des Probabilités – I

Ce chapitre établit les règles pour calculer les probabilités d'événements complexes à partir de probabilités d'événements plus simples, en se basant sur une représentation ensembliste.

Représentation Ensembliste d'un Événement

Un événement est associé à un sous-ensemble de , contenant tous les résultats possibles pour lesquels est réalisé. Ces représentations peuvent être visualisées par des diagrammes de Venn.

Exemple : Lancer d'un dé.
- = "obtenir un nombre pair" .
- = "obtenir un multiple de 3" .

Événements Équivalents

Deux événements sont équivalents () si l'un se réalise chaque fois que l'autre se réalise. En termes ensemblistes, ils correspondent au même sous-ensemble de .

Propriété 2.2.2 : Deux événements équivalents ont la même probabilité.

Événement Certain et Événement Impossible

Définition 2.3.1 :
- Un événement certain () se réalise toujours.
- Un événement impossible () ne se réalise jamais.
Propriété 2.3.2 : et .

Événement Contraire

L'événement contraire (ou complémentaire) de , noté , se réalise si et seulement si ne se réalise pas. Il correspond au complémentaire de dans ().

Propriété 2.4.2 : .
Démonstration : .

Événement "A ou B", Événement "A et B" et Loi d'Addition

Définition 2.5.1 ("A ou B") : L'événement "A ou B" se réalise si au moins l'un des deux événements ou se réalise. Ensemblistement, c'est l'union .
Définition 2.5.2 ("A et B") : L'événement "A et B" se réalise si et se réalisent tous les deux. Ensemblistement, c'est l'intersection .
Loi de De Morgan (Propriété 2.5.3) :
Propriété 2.5.4 (Distributivité) :
Propriété 2.5.5 (Loi d'addition) : Pour deux événements quelconques : Pour trois événements :

Événements Mutuellement Exclusifs

Deux événements sont mutuellement exclusifs (ou incompatibles) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps ().

Propriété 2.6.2 : Si sont mutuellement exclusifs, alors , ce qui simplifie la loi d'addition à : Cette loi s'étend à événements mutuellement exclusifs : .

Système Complet d'Événements Mutuellement Exclusifs

Des événements forment un système complet d'événements mutuellement exclusifs (ou partition) si :

(l'événement "A1 ou ... ou Ar" est certain).
pour (les événements sont mutuellement exclusifs).

Propriété 2.7.2 : Pour une partition, .
Propriété 2.7.3 : Pour une partition et un événement quelconque :
Propriété 2.7.4 : Cas particulier pour et :

Implication

L'événement implique l'événement ( ou ) si chaque fois que est réalisé, l'est aussi.

Propriété 2.8.2 : Si , alors .

Remarque sur les Opérations

Il est crucial de distinguer les opérations logiques sur les événements ("ou", "et") des opérations arithmétiques sur les probabilités (nombres) ("+", "x").

Chapitre 3 : Le Calcul des Probabilités – II

Probabilité Conditionnelle

La probabilité conditionnelle de sachant que est réalisé est notée .

Définition 3.1.1 : , avec . En cas d'équiprobabilité des résultats : .
Interprétation : est la probabilité que se réalise, en reconsidérant comme étant uniquement l'événement .
Propriétés (similaires aux probabilités a priori) :
1. .
2. Si sont équivalents, alors .
3. Si , alors . En particulier, .
4. Si sont mutuellement exclusifs, alors .
5. Si , alors . En particulier, .
6. .
7. .
8. Si sont mutuellement exclusifs : .
9. Si forment une partition : .
10. Si : .

Loi de Multiplication

Propriété 3.1.12 : Pour deux événements :
Propriété 3.1.13 : Pour trois événements : Extension générale : .
Loi de multiplication pour probabilités conditionnelles (Propriété 3.1.14) :

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes permet de "retourner" une probabilité conditionnelle.

Formule de Bayes I (Propriété 3.1.15) : Pour tout événement () :
Formule de Bayes II (Propriété 3.1.16) : Pour un événement et une partition :
Propriété 3.1.18 (Loi des probabilités totales) : Pour un événement et une partition :

Dépendance et Indépendance

La relation entre événements peut être caractérisée par la dépendance ou l'indépendance.

Définition 3.2.1 (Indépendance conditionnelle) : est indépendant de si (avec ). Cela signifie que la connaissance de n'altère pas la probabilité de .
Définition 3.2.2 (Indépendance générale) : Les événements sont indépendants si : Cette définition est symétrique et ne requiert pas ou .
Propriété 3.2.3 : Si et sont indépendants, alors les paires , et sont également indépendantes.
Événements mutuellement exclusifs et indépendants :
- Propriété 3.2.4 : Deux événements mutuellement exclusifs avec des probabilités non nulles sont toujours dépendants (car mais ).
Indépendance pour plus de deux événements :
- Définition 3.2.5 (Indépendance deux à deux) : sont indépendants deux à deux si , et .
- Définition 3.2.6 (Indépendance dans leur ensemble) : Les événements sont indépendants dans leur ensemble s'ils sont indépendants deux à deux ET si .
- Définition 3.2.7 (Généralisation) : sont indépendants dans leur ensemble si pour toute sélection de événements, le produit de leurs probabilités marginales est égal à la probabilité de leur intersection.
Indépendance et loi de multiplication : Si des événements sont indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités individuelles.

Chapitre 4 : Variables Aléatoires

Une variable aléatoire () est une fonction qui associe une valeur numérique à chaque résultat d'une épreuve aléatoire. Elle prend différentes valeurs suivant une certaine distribution de probabilité. Les valeurs spécifiques sont notées par des minuscules ().

Variables Aléatoires Discrètes

Définition 4.1.1 : Une variable aléatoire discrète prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs .
Définition 4.1.2 (Loi de probabilité) : Ensemble de couples où , tel que :
Fonction de répartition (Définition 4.1.3) : F(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p_{x_i}. C'est une fonction en escalier, croissante, de 0 à 1.
Espérance (Définition 4.1.4) : E(X) = \sum_{x_i} x_i p_{x_i}. C'est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités.
Variance (Définition 4.1.5) : V(X) = \sum_{x_i} (x_i - \mu)^2 p_{x_i}, où . L'écart-type est .
- Propriété 4.1.6 (Formule de Koenig-Huygens) : V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \sum_{x_i} x_i^2 p_{x_i} - \mu^2.

Variables Aléatoires Continues

Définition 4.2.1 : Une variable aléatoire continue prend un continuum de valeurs dans un (ou plusieurs) intervalle(s).
Définition 4.2.2 (Densité de probabilité) : Une densité de probabilité est une fonction telle que : La probabilité qu'une variable prenne une valeur dans est .
Propriété 4.2.3 : Pour une variable aléatoire continue, pour toute valeur .
Propriété 4.2.4 : etc.
Fonction de répartition (Définition 4.2.5) : F(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt. C'est une fonction continue, croissante, de 0 à 1, et .
Propriété 4.2.6 : .
Espérance (Définition 4.2.7) : E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx.
Variance (Définition 4.2.8) : V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x) \, dx, où .
Propriété 4.2.9 (Formule de Koenig-Huygens) : V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx - \mu^2.

Fonction d'une Variable Aléatoire

Si est une variable aléatoire et une fonction de , alors est aussi une variable aléatoire.

Loi d'une fonction (cas discret) : Pour chaque valeur , .
Loi d'une fonction (cas continu, Propriété 4.3.1) : Si avec strictement monotone et différentiable, la densité de est : .
Espérance et variance d'une fonction :
- Propriété 4.3.2 :
  - Discret : .
  - Continu : .
- Propriété 4.3.3 : .
- Propriété 4.3.5 (Linéarité de l'espérance) : Si , alors .
- Propriété 4.3.6 (Variance d'une transformation linéaire) : Si , alors et .
Standardisation (centrage-réduction) : Une variable aléatoire a une espérance de 0 et une variance de 1.

Chapitre 5 : Couples et Vecteurs de Variables Aléatoires

Un couple de variables aléatoires (ou un vecteur de variables) décrit une épreuve aléatoire dont les résultats sont des couples (ou -uplets) de valeurs.

Couples de Variables Aléatoires Discrètes

Définition 5.1.1 : Prend un nombre fini ou dénombrable de couples de valeurs .
Définition 5.1.2 (Loi jointe) : Ensemble de couples où , tel que : Représentée souvent par un tableau à double entrée.
Définition 5.1.3 (Lois marginales) : Probabilités de seule ou seule. (somme sur les colonnes du tableau) (somme sur les lignes du tableau)
Définition 5.1.4 (Lois conditionnelles) :
Propriété 5.1.5 : .
Définition 5.1.6 (Espérance et variance conditionnelles) :

Couples de Variables Aléatoires Continues

Définition 5.2.1 : Prend un continuum de couples de valeurs .
Définition 5.2.2 (Densité de probabilité jointe) : Fonction telle que : .
Définition 5.2.3 (Densités marginales) :
Définition 5.2.4 (Densités conditionnelles) :
Propriété 5.2.5 : .
Définition 5.2.6 (Espérance et variance conditionnelles) :

Indépendance de Deux Variables Aléatoires

Définition 5.3.1 : Deux variables aléatoires et sont indépendantes si :
- Discret : pour tout , ou ou .
- Continu : pour tout , ou ou .
Intuitivement, la connaissance de l'une n'apporte aucune information sur l'autre.

Fonction de Deux Variables Aléatoires

Si est une fonction de deux variables aléatoires.

Loi d'une fonction (cas discret) : .
Propriété 5.4.1 (Espérance d'une fonction) :
- Discret : .
- Continu : .
Propriété 5.4.3 (Linéarité de l'espérance) : . En particulier, .

Covariance et Corrélation entre Deux Variables Aléatoires

Définition 5.4.4 (Covariance) : .
- Discret : .
- Continu : .
- Propriété 5.4.5 (Formule simplifiée) : .
- Propriété 5.4.6 (Variance d'une combinaison linéaire) : . Si , alors .
Définition 5.4.8 (Coefficient de corrélation linéaire) : .
- Mesure le degré de dépendance linéaire. (Propriété 5.4.10).
- indique une relation linéaire positive exacte ( avec ).
- indique une relation linéaire négative exacte ( avec ).
Indépendance et non-corrélation :
- Propriété 5.4.13 : Si sont indépendantes, alors .
- Propriété 5.4.14 : Si sont indépendantes, alors et (non-corrélation). Attention : La réciproque est fausse en général (sauf pour la loi normale bivariée).

Vecteurs de Variables Aléatoires

Généralisation à variables aléatoires .

Définition 5.5.5 (Indépendance) : sont indépendantes si leur loi jointe est le produit de leurs lois marginales respectives.
- Discret : .
- Continu : .
Propriété 5.5.6 (Espérance et variance d'une combinaison linéaire) : Pour : .
Propriété 5.5.7 (Combinaison linéaire de variables indépendantes) : Si sont indépendantes, alors pour , donc : .

Chapitre 6 : Lois Discrètes Usuelles

Les lois paramétriques sont des familles de lois définies par des paramètres, chaque valeur de paramètre donnant une loi spécifique.

La Loi Discrète Uniforme

Définition 6.1.1 : Une variable si (fini) et pour tout .

La Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire avec seulement deux résultats : succès (1) ou échec (0).
Définition 6.2.1 : Une variable suit une loi de Bernoulli de paramètre () si : et .
Propriété 6.2.2 : et .

La Loi Binomiale

Analyse combinatoire (préalable) :
- Permutations () : Nombre de façons d'ordonner objets. .
- Arrangements () : Nombre de façons d'ordonner objets parmi . .
- Combinaisons () : Nombre de façons de choisir objets parmi sans ordre. .
Définition 6.3.1 (Processus de Bernoulli) : variables indépendantes et identiquement distribuées selon .
Définition 6.3.2 (Variable aléatoire binomiale) : La somme est une variable aléatoire binomiale. Elle compte le nombre de succès en épreuves indépendantes.
Définition 6.3.4 (Loi binomiale) : suit une loi binomiale de paramètres et () si : .
Propriété 6.3.5 : et .
Propriété 6.3.6 : Si et sont indépendantes, alors .

La Loi de Poisson

Un processus de Poisson (Définition 6.4.1) décrit l'occurrence aléatoire et indépendante d'événements dans le temps.
Définition 6.4.2 : Une variable suit une loi de Poisson de paramètre () si : .
Propriété 6.4.3 : et . est l'espérance du nombre d'événements par période .
Propriété 6.4.4 : Si et sont indépendantes, alors .
Approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson (6.4.3) : Si est grand, petit et pas trop grand (ex: ), alors .

Chapitre 7 : Lois Continues Usuelles

La Loi Continue Uniforme

Définition 7.1.1 : Une variable suit une loi continue uniforme sur () si sa densité est :
Propriété 7.1.2 : et .
Propriété 7.1.3 (Fonction de répartition) :

La Loi Normale

La loi normale (ou gaussienne) est très importante en statistique. Sa densité est en forme de cloche, unimodale et symétrique.

Définition 7.2.1 : Une variable suit une loi normale de paramètres et () si sa densité est : .
Propriété 7.2.2 : et .
Loi normale centrée réduite () :
- Définition 7.2.3 : Variable avec et . Sa densité est .
- Sa fonction de répartition est , consultable via des tables.
- (par symétrie).
- Définition 7.2.4 (Quantile) : est tel que .
Loi normale quelconque et loi normale centrée réduite :
- Propriété 7.2.5 : Si et , alors .
- Propriété 7.2.6 : Si , alors . Réciproquement, si , alors .
- .
Autres propriétés :
- Approximation de Poisson par Normale (7.2.4) : Si et grand (ex: ), alors . Correction de continuité : .
- Approximation binomiale par Normale (7.2.4) : Si et grand, pas trop petit/grand (ex: ), alors . Correction de continuité similaire.
- Propriété 7.2.8 (Combinaison linéaire de normales indépendantes) : Si sont indépendantes, alors .

Lois Liées à la Loi Normale

La loi du Khi-carré () :
- Définition 7.3.1 : Si sont indépendantes, alors .
- Propriété 7.3.2 : et .
- Propriété 7.3.4 : La somme de variables indépendantes est une avec degrés de liberté sommés.
La loi de Student () :
- Définition 7.3.6 : Si , et indépendantes, alors .
- Propriété 7.3.7 : et pour .
- Tend vers lorsque augmente.
La loi de Fisher-Snedecor () :
- Définition 7.3.9 : Si , et indépendantes, alors .
- Propriété 7.3.10 : pour .

La Loi Exponentielle

Décrit le temps entre deux apparitions successives d'événements dans un processus de Poisson.

Définition 7.4.1 : Une variable suit une loi exponentielle de paramètre () si sa densité est :
Propriété 7.4.2 : et .
Propriété 7.4.3 (Fonction de répartition) :

La Loi Normale Bivariée

Généralisation de la loi normale univariée pour deux variables.

Définition 7.5.1 : suit une loi normale bivariée () avec une densité jointe complexe dépendant de 5 paramètres : espérances , variances et corrélation .
Propriété 7.5.2 : Les paramètres correspondent directement à .
Propriété 7.5.3 : Si suit une loi normale bivariée, alors les lois marginales de et sont normales. Une combinaison linéaire est aussi normale.
Propriété 7.5.4 : Les lois conditionnelles et sont aussi normales.
Propriété 7.5.5 : Pour la loi normale bivariée, indépendance non-corrélation ().

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Fiche de révision

Théorie des Probabilités et Statistiques

Chapitre 1 : L'Aléatoire et les Probabilités

Épreuve Aléatoire

Ensemble des Résultats Possibles ()

Distribution de Probabilité

Événement et Probabilité d'un Événement

Chapitre 2 : Le Calcul des Probabilités – I

Représentation Ensembliste d'un Événement

Événements Équivalents

Événement Certain et Événement Impossible

Événement Contraire

Événement "A ou B", Événement "A et B" et Loi d'Addition

Événements Mutuellement Exclusifs

Système Complet d'Événements Mutuellement Exclusifs

Implication

Remarque sur les Opérations

Chapitre 3 : Le Calcul des Probabilités – II

Probabilité Conditionnelle

Loi de Multiplication

Théorème de Bayes

Dépendance et Indépendance

Chapitre 4 : Variables Aléatoires

Variables Aléatoires Discrètes

Variables Aléatoires Continues

Fonction d'une Variable Aléatoire

Chapitre 5 : Couples et Vecteurs de Variables Aléatoires

Couples de Variables Aléatoires Discrètes

Couples de Variables Aléatoires Continues

Indépendance de Deux Variables Aléatoires

Fonction de Deux Variables Aléatoires

Covariance et Corrélation entre Deux Variables Aléatoires

Vecteurs de Variables Aléatoires

Chapitre 6 : Lois Discrètes Usuelles

La Loi Discrète Uniforme

La Loi de Bernoulli

La Loi Binomiale

La Loi de Poisson

Chapitre 7 : Lois Continues Usuelles

La Loi Continue Uniforme

La Loi Normale

Lois Liées à la Loi Normale

La Loi Exponentielle

La Loi Normale Bivariée

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