Mécanique : Mouvement dans un champ électrique

Fiche de Rappel : Mouvement de Particules Chargées & Oscilloscope

Ce document résume les points clés concernant le mouvement des particules chargées dans un champ électrique et le fonctionnement de l'oscilloscope, tel qu'enseigné par M. KAMISSOKO.

1. Force Électrostatique et Champ Électrique Uniforme

• Champ Électrostatique ($\vec{E}$): Région où une particule chargée est soumise à une force électrostatique.
• Champ Électrostatique Uniforme: Lignes de champ parallèles, orientées du positif vers le négatif.
• Caractéristiques du Champ Électrique (dans un condensateur plan):
  • Point d'application: N'importe quel point entre les plaques.
  • Direction: Perpendiculaire aux armatures.
  • Sens: Dirigé vers le potentiel négatif.
  • Intensité ($E$): $E = \frac{U}{d}$ (où U est la tension entre les plaques et d leur distance).
• Force Électrique ($\vec{F}$): $\vec{F} = q\vec{E}$
  • Point d'application: Centre d'inertie de la particule.
  • Direction: Celle de $\vec{E}$.
  • Sens:
    • Si $q > 0$: $\vec{F}$ et $\vec{E}$ ont le même sens.
    • Si $q < 0$: $\vec{F}$ et $\vec{E}$ sont de sens contraires.
  • Norme ($F$): $F = |q|.E$ (F en Newton (N), E en V.m${}^{-1}$).
• Exemples de Particules Chargées:
  • Électron: $q = -e$ ($\vec{F} = -e\vec{E}$)
  • Proton: $q = +e$ ($\vec{F} = +e\vec{E}$)
  • Particule $\alpha$ ($He^{2+}$): $q = 2e$ ($\vec{F} = 2e\vec{E}$)
  Charge élémentaire $e = 1,6 \times 10^{-19}$ C (Coulomb).

2. Étude du Mouvement d'une Particule dans un Champ Électrique Uniforme

2.1. Cas d'une Accélération Initiale

• Contexte: Une particule (charge $q$) est émise sans vitesse initiale d'une cathode et accélérée par une tension $U$ vers une anode.
• Théorème de l'Énergie Cinétique (T.E.C): $\Delta E_C = \sum W_{\vec{F}_{ext}}$
  • $E_{C(A)} - E_{C(C)} = W_{\vec{F}}$
  • Avec $E_{C(C)} = 0$ et $E_{C(A)} = \frac{1}{2}mV_0^2$ (où $V_0$ est la vitesse à l'anode).
  • Le travail de la force électrique est $W_{\vec{F}} = |q|.U$.
• Expression de la Vitesse $V_0$:

  $\frac{1}{2}mV_0^2 = |q|.U \implies V_0 = \sqrt{\frac{2|q|.U}{m}}$

  m : masse (kg), U : tension (V).

2.2. Mouvement dans un Condensateur Plan (Vitesse Initiale Perpendiculaire)

• Conditions: Particule (ex: électron) pénètre avec une vitesse $\vec{V}_0$ dans un champ électrique uniforme. Poids négligeable.
• Principe Fondamental de la Dynamique (PFD): $\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a} \implies \vec{F} = m\vec{a}$
  • $\vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m}$. Pour un électron ($q = -e$), $\vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m}$.
• Coordonnées de l'Accélération:
  • Si $\vec{E}$ est vertical et descendant: $E_x = 0$, $E_y = -E$.
  • Alors: $a_x = 0$, $a_y = \frac{-e(-E)}{m} = \frac{eE}{m}$ (constante).
• Conditions Initiales (à $t=0$):
  • Position: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$.
  • Vitesse: $V_{0x} = V_0$, $V_{0y} = 0$.
• Équations Horaires du Mouvement:
  • Suivant OX: $a_x = 0 \implies$ Mouvement rectiligne uniforme.

    $x(t) = V_0 . t$

  • Suivant OY: $a_y = \frac{eE}{m} = \frac{eU}{md} \implies$ Mouvement rectiligne uniformément varié.

    $y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{eU}{2md} t^2$

• Équation Cartésienne de la Trajectoire:
  • En substituant $t = \frac{x}{V_0}$ dans l'équation de $y(t)$:

    $y(x) = \frac{eUx^2}{2mdV_0^2}$

  • Nature: Trajectoire parabolique.
• Condition de Sortie du Champ:
  • Pour que le faisceau sorte des plaques (de longueur $l$, distance $d$):

    $y_s = \frac{eUl^2}{2mdV_0^2} < \frac{d}{2}$

    Implique $U < \frac{md^2V_0^2}{el^2}$.
• Déviation Angulaire ($\tan \alpha$):
  • Angle de déviation du faisceau à la sortie du condensateur.

    $\tan \alpha = \frac{eUl}{mdV_0^2}$

• Déflexion Électrique (Y):
  • Déviation du spot lumineux sur l'écran (situé à distance $D$ du milieu du condensateur).

    $Y = D \tan \alpha = \frac{DeUl}{mdV_0^2}$

2.3. Mouvement dans un Condensateur Plan (Vitesse Initiale non Perpendiculaire)

• Contexte: Électron lancé avec $\vec{V}_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'axe OX.
• Coordonnées de l'Accélération:
  • Si $\vec{E}$ est vertical et ascendant: $E_x = 0$, $E_y = E$.
  • Pour un électron ($q = -e$): $a_x = 0$, $a_y = -\frac{eE}{m} = -\frac{eU}{md}$ (constante).
• Conditions Initiales:
  • Position: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$.
  • Vitesse: $V_{0x} = V_0 \cos \alpha$, $V_{0y} = V_0 \sin \alpha$.
• Équations Horaires du Mouvement:
  • Suivant OX: $a_x = 0 \implies$ Mouvement rectiligne uniforme.

    $x(t) = (V_0 \cos \alpha) . t$

  • Suivant OY: $a_y = -\frac{eU}{md} \implies$ Mouvement rectiligne uniformément varié.

    $y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2 + V_{0y} t = -\frac{eU}{2md} t^2 + (V_0 \sin \alpha) . t$

• Équation Cartésienne de la Trajectoire:
  • En éliminant $t = \frac{x}{V_0 \cos \alpha}$:

    $y(x) = \frac{-eU}{2mdV_0^2\cos^2\alpha} x^2 + (\tan \alpha) x$

3. L'Oscilloscope Électronique

• Définition: Appareil de mesure permettant de visualiser les variations d'une tension électrique.
• Description (Composants Clés):
  • Canon à électrons: Produit, accélère et focalise un faisceau d'électrons.
  • Plaques de déflexion: Horizontales et verticales pour dévier le faisceau.
  • Écran fluorescent: Pour visualiser les courbes.
• Principe de Fonctionnement:
  • Les électrons sont émis (par chaleur), puis accélérés par une tension $U_0$.
  • Ils passent entre les plaques de déflexion où leur trajectoire est modifiée par des tensions appliquées.
  • La combinaison d'une tension sinusoïdale sur les plaques horizontales et d'une tension "en dents de scie" sur les plaques verticales permet de tracer la variation de la tension sinusoïdale sur l'écran.