Mécanique du point : cinématique, lois de Newton et énergie

Vecteur position : OM = x u_x + y u_y + z u_z

Vecteur vitesse : v = dOM/dt = ẋ u_x + ẏ u_y + ż u_z (ẋ = dx/dt)

Vecteur accélération : a = dv/dt = ẍ u_x + ÿ u_y + z̈ u_z

La base cartésienne est fixe : on dérive seulement les coordonnées

Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire

Position : OM = r u_r, avec r = OM et θ l'angle entre l'axe (Ox) et OM

u_r = cos θ u_x + sin θ u_y ; u_θ = −sin θ u_x + cos θ u_y (u_θ est u_r tourné de +90°)

La base polaire tourne avec le point : du_r/dt = θ̇ u_θ et du_θ/dt = −θ̇ u_r (θ̇ = dθ/dt)

Vitesse : v = ṙ u_r + r θ̇ u_θ

Accélération : a = (r̈ − r θ̇²) u_r + (2 ṙ θ̇ + r θ̈) u_θ

Composante radiale de a : r̈ − r θ̇² ; composante orthoradiale : 2 ṙ θ̇ + r θ̈

Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen

Un référentiel en rotation, ou en translation accélérée, par rapport à un référentiel galiléen ne l'est pas

Une masse m s'exprime en kg ; la force qui donne à 1 kg une accélération de 1 m·s⁻² vaut 1 N

La réaction du support se décompose en une composante normale N et une composante tangentielle T (le frottement)

Sans glissement : T ≤ f N, le solide adhère au support

En glissement : T = f N, et T est opposée à la vitesse de glissement

Le coefficient de frottement f est sans dimension ; il ne dépend ni de l'aire de contact ni de la vitesse (en première approximation)

On distingue parfois un coefficient statique f_s (adhérence, T ≤ f_s N) et un coefficient dynamique f_d (glissement, T = f_d N) ; en général f_d ≤ f_s, souvent un peu inférieur : il faut plus d'effort pour mettre en mouvement que pour entretenir le glissement

Un solide posé sans vitesse sur un plan incliné d'angle α reste immobile tant que tan α ≤ f (le coefficient statique f_s si on les distingue)

Repère : x horizontal, z vertical vers le haut, lancement en O avec une vitesse v₀ faisant l'angle α avec l'horizontale

x(t) = v₀ cos α · t : mouvement horizontal uniforme

z(t) = −½ g t² + v₀ sin α · t : mouvement vertical uniformément varié

Trajectoire (on élimine t) : z = −g x² / (2 v₀² cos² α) + x tan α, une parabole

Flèche (hauteur maximale) : H = v₀² sin² α / (2g)

Portée sur un sol horizontal : R = v₀² sin(2α) / g, maximale pour α = 45°, où R_max = v₀²/g

Deux angles complémentaires (30° et 60°, 15° et 75°) donnent la même portée

Chute sans vitesse initiale d'une hauteur h : v = √(2gh) et durée t = √(2h/g)

Une force est conservative si son travail ne dépend que des positions initiale et finale, pas du chemin suivi

On lui associe une énergie potentielle Ep, définie à une constante près : W(A→B) = Ep(A) − Ep(B) = −ΔEp

À une dimension : F = −dEp/dx ; la force pousse vers les Ep décroissantes

Pesanteur : Ep = mgz + cte, avec z vers le haut ; le travail du poids vaut mg (z_A − z_B)

Élastique : Ep = ½ k x² + cte, avec x = ℓ − ℓ₀ l'allongement

Gravitation : Ep = −G m₁ m₂ / r, nulle à l'infini

Équilibre là où dEp/dx = 0 ; il est stable si Ep y est minimale

Em = Ec + Ep (somme des énergies potentielles de toutes les forces conservatives)

ΔEm = W des forces non conservatives (frottements, forces motrices)

Si les forces non conservatives ne travaillent pas, Em se conserve

Les frottements exercés par un support fixe ont un travail négatif : ils font diminuer Em

x = ℓ − ℓ₀ est l'écart à la position d'équilibre ; le principe fondamental donne m ẍ = −k x

Équation de l'oscillateur harmonique : ẍ + ω₀² x = 0, avec la pulsation propre ω₀ = √(k/m)

Solution : x(t) = X_m cos(ω₀ t + φ), où l'amplitude X_m et la phase φ dépendent des conditions initiales

Période propre T₀ = 2π/ω₀ = 2π√(m/k) ; fréquence f₀ = 1/T₀

Énergie : Em = ½ m ẋ² + ½ k x² = ½ k X_m², constante ; l'énergie passe sans cesse de la forme cinétique à la forme potentielle

Ressort vertical : même pulsation ω₀, seule la position d'équilibre est décalée de mg/k

Masse ponctuelle m au bout d'un fil inextensible de longueur ℓ ; θ = angle avec la verticale

Projection du principe fondamental sur u_θ : m ℓ θ̈ = −m g sin θ (la tension, portée par le fil, ne compte pas)

Petits angles (θ en radians) : sin θ ≈ θ, d'où θ̈ + (g/ℓ) θ = 0

Pulsation propre ω₀ = √(g/ℓ), période T₀ = 2π√(ℓ/g)

La période ne dépend ni de la masse ni, aux petits angles, de l'amplitude

Aux grandes amplitudes, la période augmente : le pendule n'est plus isochrone

Système isolé ou pseudo-isolé : sa quantité de mouvement totale se conserve

Lors d'un choc, bref et dominé par les forces intérieures, la quantité de mouvement totale est conservée

Choc élastique : la quantité de mouvement et l'énergie cinétique totales sont conservées

Choc inélastique : la quantité de mouvement est conservée, une partie de l'énergie cinétique est perdue (déformation, chaleur)

Choc parfaitement inélastique (ou mou) : les objets restent collés, c'est le cas où la perte d'énergie cinétique est maximale

Recul : un système initialement immobile qui éjecte une masse vers l'avant part vers l'arrière (fusée, arme à feu)

Moment cinétique en O : L_O = OM ∧ m v, en kg·m²·s⁻¹

Moment d'une force en O : M_O(F) = OM ∧ F, en N·m

Théorème du moment cinétique (O fixe dans un référentiel galiléen) : dL_O/dt = somme des moments des forces en O

Mouvement circulaire de centre O : L_O = m R v = m R² ω, perpendiculaire au plan du cercle

Force centrale (toujours dirigée vers O) : son moment en O est nul, donc L_O se conserve

Conséquences : le mouvement est plan et la loi des aires s'applique, r² θ̇ = constante (2e loi de Kepler)