Mathématiques : Algèbre et Analyse

Chapitre 2 : Polynômes

Un polynôme est une fonction de dans de la forme , où les sont des réels appelés coefficients. L'ensemble des polynômes à coefficients réels est noté . L'ensemble des polynômes de degré au plus est noté .

Degré et Coefficient Dominant

Le degré d'un polynôme , noté , est la plus grande puissance de dont le coefficient est non nul. Si avec , alors et est le coefficient dominant.

Exemple : Pour , et le coefficient dominant est 1.

Convention : Le degré du polynôme nul est .

Propriété : si et seulement si est un polynôme constant non nul.

Opérations sur les Polynômes

• Produit : Le produit de deux polynômes et , noté , est un polynôme. La propriété des degrés est : .
• Somme : La somme de deux polynômes et , notée , est un polynôme.
  • .
  • Si , alors .

Exemple :

• et . Alors et .
• et . Alors et .

Racines et Factorisation

Une valeur est une racine d'un polynôme si .

Théorème : Si est une racine de , alors est factorisable par .

Exemple : Factoriser .

On remarque que . Donc est une racine, et est divisible par . On peut écrire où .

Méthodes pour trouver :

1. Identification des coefficients :

   On pose .

   .

   En égalant les coefficients de :

   Ainsi, .

2. Division euclidienne :

   On divise par :

   x³ + 2x² - 6x + 3  | x - 1
   -(x³ -  x²)         | x² + 3x - 3
   -----------
       3x² - 6x
     -(3x² - 3x)
     -----------
          -3x + 3
        -(-3x + 3)
        -----------
              0
   

   Le quotient est .

Théorème : Tout polynôme de degré admet au plus racines réelles. Si un polynôme de admet racines distinctes, alors c'est le polynôme nul.

Multiplicité d'une Racine

Une racine d'un polynôme est d'ordre de multiplicité si est divisible par mais pas par .

Théorème : est une racine de d'ordre de multiplicité si et seulement si il existe un polynôme tel que et .

Dérivées et Formule de Taylor pour les polynômes

On peut définir la dérivée d'ordre d'un polynôme, notée .

Exemple : Si , alors , , et pour tout .

Formule de Taylor pour un polynôme : Soit un polynôme de degré inférieur ou égal à , et un réel. Alors :

Chapitre 3 : Systèmes Linéaires et Matrices

1. Systèmes Linéaires

Un système linéaire est un ensemble d'équations où les inconnues sont de degré 1. Il peut se présenter sous la forme : C'est un système à inconnues () et équations.

Exemple : Déterminer sachant que , et .

Les conditions se traduisent par le système :

Méthode du Pivot de Gauss

Elle utilise des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer le système en une forme triangulaire, plus facile à résoudre :

• Échanger deux lignes :
• Multiplier une ligne par un réel non nul : ()
• Remplacer une ligne par une combinaison linéaire : ()

Application à l'exemple :

En résolvant par substitution :

Donc .

Types de Systèmes Linéaires

• Système de Cramer : Un système de équations à inconnues est de Cramer s'il admet une solution unique.
• Système Homogène : Si tous les , le système est homogène.
  • La solution nulle () est toujours une solution.
  • Si un système homogène est de Cramer, la solution nulle est l'unique solution.
  • Un système homogène a soit une solution unique, soit une infinité de solutions.
• Général : Un système linéaire a soit une solution unique, soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

2. Calcul Matriciel

21. Matrices. Définitions

Une matrice est un tableau de nombres, noté , avec lignes et colonnes. L'ensemble de ces matrices est noté . est l'indice de ligne, est l'indice de colonne.

Exemple : .

Exemple 2 : Matrice avec :

22. Matrices Particulières

• Matrice Nulle : Tous les éléments sont nuls.
• Matrice Colonne : Matrice de (une seule colonne).
• Matrice Ligne : Matrice de (une seule ligne).
• Matrice Carrée : Matrice de (même nombre de lignes et de colonnes), souvent notée .

Matrices carrées particulières :

• Matrice Diagonale : si .
• Matrice Identité () : Matrice diagonale avec des 1 sur la diagonale principale. .
• Matrice Symétrique : pour tout (nécessairement carrée).
• Matrice Anti-symétrique : pour tout (nécessairement carrée).
• Matrice Triangulaire Supérieure : si (zéros sous la diagonale).
• Matrice Triangulaire Inférieure : si (zéros au-dessus de la diagonale).

23. Opérations dans

• Addition : où . et doivent avoir les mêmes dimensions.
• Multiplication par un réel : où .
• Produit de deux matrices : . Si et , alors et .
  • Le produit n'est généralement pas commutatif ().
  • Le produit est associatif : .
  • Distributivité : et .
• Transposée : La transposée de , notée , est la matrice . Les lignes de deviennent les colonnes de .

3. Calculs dans les Matrices Carrées

31. Puissances de Matrices. Équations dans

Pour , (p fois), avec .

• Si est diagonale, , alors .
• Si , cela n'implique pas ou .

  Exemple : et . Alors .

• Les équations du second degré matricielles peuvent avoir plus de 2 solutions.

  Exemple : a pour solutions et , mais aussi ou .

Formule du binôme : Si , alors .

32. Matrices Carrées Inversibles

Une matrice est inversible s'il existe une matrice telle que (ou ). Cette matrice est unique et notée .

• est inversible et .
• Si et sont inversibles, alors est inversible et .
• Si est inversible, l'équation a une solution unique : .
• Si avec et , alors et sont non inversibles.
• Si pour un et , alors est non inversible.
• Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls.
• Une matrice est inversible si et seulement si sa forme triangulaire obtenue par pivot de Gauss n'a pas de zéros sur la diagonale.
• Une matrice est non inversible si elle a : une ligne (ou colonne) de zéros, ou deux lignes (ou colonnes) proportionnelles.
• Si est inversible, alors est inversible et .

Exemple : La matrice est-elle inversible ?

Par opérations élémentaires :

La matrice triangulaire obtenue n'a pas de zéros sur la diagonale, donc est inversible.

33. Calcul de l'inverse d'une matrice (par résolution de système)

Pour calculer , on résout le système , où est la matrice des inconnues et une matrice quelconque. Si le système admet une solution unique, alors est inversible et .

Exemple : . Chercher .

On pose le système avec et :

Par opérations élémentaires :

Le système est triangulaire, sans zéros sur la diagonale, donc est inversible. En remontant les substitutions :

Ce qui s'écrit matriciellement :

D'où .

34. Cas Particulier : Matrice d'ordre deux

Pour , est inversible si et seulement si (le déterminant).

Si est inversible, son inverse est :

Exemple : Pour , le déterminant est , donc est inversible. Son inverse est .

Chapitre 7 : Intégration sur un Segment

1. Primitive d'une Fonction Continue sur un Intervalle

11. Définitions et Propriétés

Une fonction est une primitive de sur un intervalle si est dérivable sur et pour tout .

• Exemple : est une primitive de sur . est une autre primitive.
• Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive.
• Théorème : Si est une primitive de sur , l'ensemble de toutes les primitives est .
• Propriété : Si une condition initiale est imposée, la primitive est unique.

Exemple : Trouver la primitive de sur qui s'annule en 1.

La forme générale est .

.

Donc .

12. Calculs de Primitives

Règles : Si est une primitive de et une primitive de :

• est une primitive de .
• est une primitive de .

Tableau des primitives usuelles (pour ) :

Fonction	Primitive
(réel)
()
	(sur ou )
()

Exemples de calcul :

• . Primitive : .
• . Primitive : .
• . Primitive : .

2. Intégration sur un Segment

21. Définition et Propriétés

Soit continue sur . L'intégrale de sur est le réel , où est une primitive quelconque de .

Exemple : .

Théorème : La fonction est la primitive de qui s'annule en . Elle est dérivable sur et .

Exemple : Pour tout , .

22. Interprétation Géométrique

Si est continue et positive sur , l'intégrale représente l'aire de la région délimitée par la courbe de , l'axe des abscisses, et les droites et .

23. Propriétés de l'Intégrale

1. Relation de Chasles : .
2. Linéarité : .
3. Positivité et Comparaison (pour ) :
   • Si sur , alors .
   • Si sur et , alors sur .
   • Si sur , alors .
   • Inégalité triangulaire : .
4. Intégrale d'une constante : . Ceci représente l'aire d'un rectangle.

3. Intégration par Parties (IPP)

Théorème : Si et sont de classe sur un segment , alors : L'IPP permet de transformer une intégrale difficile en une autre potentiellement plus simple.

Exemple 1 : . (Lorsqu'on a un polynôme et un logarithme, on dérive le logarithme).

On pose () et ().

Exemple 2 : . (Lorsqu'on a une exponentielle et un polynôme, on dérive le polynôme).

On pose () et ().

Exemple 3 : Calculer . (On peut considérer ).

On pose () et ().

4. Changement de Variable

41. Technique (sur un exemple)

Cette méthode permet de simplifier l'intégrande en remplaçant la variable d'intégration par une nouvelle variable liée à la première par une fonction bijective et .

Exemple : Calculer avec le changement de variable .

1. Calculer : Si , alors .

   Ici, , donc .

2. Changer l'écriture de la fonction pour n'avoir que des :

   . On remplace par et par .

   On obtient : .

3. Changer les bornes d'intégration :

   Si varie de 1 à 2, alors varie de à .

   L'intégrale devient .

4. Terminer le calcul : On décompose en éléments simples : . .

42. Parité

Ces propriétés simplifient le calcul d'intégrales sur des intervalles symétriques .

• Si est une fonction paire (c-à-d ), continue sur :
• Si est une fonction impaire (c-à-d ), continue sur :

5. Sommes de Riemann

Les sommes de Riemann sont utilisées pour définir l'intégrale et pour calculer la limite de certaines sommes.

51. Méthode des rectangles

Pour une fonction continue sur , on divise l'intervalle en sous-intervalles de même longueur . On encadre par son minimum et son maximum sur chaque sous-intervalle. L'intégrale est encadrée par les sommes des aires des rectangles inférieurs et supérieurs.

52. Sommes de Riemann (général)

Théorème : Si est continue sur , alors : Une version simplifiée, souvent utilisée pour et :

Exemple : Déterminer la limite de .

On réécrit . C'est une somme de Riemann pour sur .

Donc .

Chapitre 8 : Probabilités et Variables Aléatoires

1. Vocabulaire lié aux Probabilités. Définitions

11. Expérience Aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est dû au hasard.

Exemples : Lancer un dé, lancer deux dés, lancer une pièce de monnaie plusieurs fois.

12. Évènements

Un évènement est un fait particulier qui peut se réaliser ou non lors d'une expérience aléatoire.

• L' évènement impossible ne se réalise jamais (ex: obtenir 7 avec un dé à 6 faces).
• L' évènement certain se réalise à coup sûr (ex: la somme de deux dés est inférieure à 13).

13. Univers

L'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Chaque évènement est une partie de .

Exemple : Lancer un dé. . L'évènement "obtenir 6" est .

Exemple : Lancer deux dés. est l'ensemble des couples . . L'évènement "la somme fait 5" est .

14. Vocabulaire lié aux Évènements

• Évènement contraire : (ou ) est l'évènement qui se réalise si ne se réalise pas.
• Intersection : "A et B" correspond à .
• Union : "A ou B" correspond à .
• Évènements incompatibles : (ils ne peuvent pas se réaliser simultanément).
• Évènement élémentaire : Un singleton de (un évènement qui ne contient qu'un seul résultat possible).

2. Espace Probabilisé Fini

21. Définition

Un espace probabilisé fini est défini par trois éléments :

• L'univers (ensemble fini non vide).
• L'ensemble des évènements (l'ensemble de toutes les parties de ).
• Une probabilité , une application de telle que :
  • .
  • Pour tout couple d'évènements disjoints , .

22. Détermination d'une Probabilité

Si est fini, la probabilité d'un évènement est la somme des probabilités de ses évènements élémentaires. Il suffit de connaître pour définir la probabilité sur .

23. Équiprobabilité

Il y a équiprobabilité si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité. Dans ce cas :

Exemple : Lancer un dé à 6 faces.

1. Dé normal (équiprobabilité) : Probabilité de sortir un nombre pair ?

   . .

2. Dé truqué : La probabilité de chaque face est proportionnelle au numéro qu'elle porte.

   . .

   .

24. Système Complet d'Évènements (SCE)

Un système complet d'évènements est une famille d'évènements qui partitionne :

• .
• pour (les évènements sont deux à deux incompatibles).

25. Propriétés des Probabilités

• et
• Si alors
• Si les sont incompatibles,
• Formule du crible (ou principe d'inclusion-exclusion) :

3. Coefficients Binomiaux. Parties d'un Ensemble

31. Permutations d'un ensemble. Listes.

Soit un ensemble. Une p-liste (ou p-uplet) est un élément de (p fois). L'ordre des éléments compte et la répétition est autorisée.

• Le nombre de p-listes d'un ensemble à éléments est .
• Le nombre de p-listes d'éléments distincts (appelées arrangements) d'un ensemble à éléments est .
• Une permutation d'un ensemble à éléments est une n-liste d'éléments tous distincts. Le nombre de permutations est .

Rappel : et .

32. Coefficients Binomiaux

Soit un ensemble à éléments. Une combinaison de éléments parmi est une partie de contenant éléments. L'ordre ne compte pas et les éléments sont distincts.

Le nombre de combinaisons est noté et est donné par :

Exemple : Pour , les combinaisons de 2 éléments sont , soit .

4. Probabilités Conditionnelles

41. Définition

La probabilité conditionnelle de B sachant A est notée ou . Si , alors : Cette formule implique que .

Propriétés : est une probabilité, donc :

42. Formule des Probabilités Totales

Soit un système complet d'évènements. Pour tout évènement :

43. Formule de Bayes

Soit un système complet d'évènements et un évènement tel que . Alors :

44. Exemple d'Application

1/4 d'une population est vaccinée (). Parmi les vaccinés, 1/12 sont malades (). Parmi les malades, il y a 4 non vaccinés pour 1 vacciné, ce qui signifie . Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade, ?

On a .

D'après la formule des probabilités totales : .

On sait aussi que . Donc .

.

Maintenant, on calcule .

45. Formule des Probabilités Composées

Si , alors .

Généralisation : Si , alors :

5. Indépendance

Deux évènements et sont indépendants si et seulement si (pour ), ce qui est équivalent à .

Propriété : Si et sont indépendants, alors :

• et sont indépendants.
• et sont indépendants.
• et sont indépendants.

Définition : Une famille d'évènements est mutuellement indépendante si pour toute famille d'indices de :

Par exemple, pour 3 évènements , cela implique :

6. Variables Aléatoires (VA)

61. Loi d'une VA. Fonction de Répartition

Une variable aléatoire est une application de dans . L'ensemble des valeurs prises par est noté .

• Si est un ensemble fini ou dénombrable de réels, est une VA discrète.
• Si est une réunion d'intervalles de , est une VA à densité.

La loi de probabilité de est l'ensemble des couples où et .

Conditions pour une loi de probabilité : pour tout et .

Exemple : Urne avec 2 boules noires (N), 4 boules blanches (B). Tirage sans remise jusqu'à n'avoir qu'une seule couleur restante. est le nombre de tirages.

.

• (pour finir avec N)
• (pour finir avec N ou B) : (finir avec N) ou (impossible ici) ... C'est plus simple de calculer les probabilités des séquences où il reste une couleur: (impossible); (impossible, 4 B, 2 N).
  Il s'agit des séquences et (terminant en N) ou , (terminant en B).
  Le calcul donné dans le document pour est .
• .

Tableau de la loi de :

	2	3	4	5
	1/15	2/15	4/15	8/15

La fonction de répartition de la VA est l'application définie par .

Propriétés de pour une VA discrète :

• est croissante sur .
• est continue à droite en tout point.
• et .

Exemple de fonction de répartition pour la loi précédente :

• Si , .
• Si , .
• Si , .
• Si , .
• Si , .

On peut aussi définir la loi d'une fonction d'une VA . Si , la loi de est obtenue en regroupant les probabilités pour les mêmes valeurs de .

Exemple : Loi de :

	-1	1	2

Pour : les valeurs possibles sont , , .

.

.

Loi de :

	1	4

62. Espérance

L'espérance d'une VA discrète prenant les valeurs avec les probabilités est : L'espérance représente la moyenne des valeurs possibles pondérées par leurs probabilités.

Propriétés de l'espérance (linéarité) :

• pour .
• .
• Généralisation : .
• .
• . Une VA est centrée si . est la VA centrée associée à .

Théorème du transfert : Si est une VA de loi et une fonction, alors :

Exemple : Calculer pour la loi de :

	-1	1	2

1. Avec la formule du transfert () :
2. En déterminant d'abord la loi de :

   Loi de :

   	1	4

63. Variance

La variance mesure la dispersion des valeurs de autour de son espérance.

La formule de Koenig-Huygens simplifie le calcul :

Démonstration : .

Propriétés de la variance :

• (car c'est l'espérance d'une VA positive).
• Si est une constante (), alors .
• (la variance n'est pas linéaire).

L'écart type est . Il a la même unité que la variable aléatoire.

Propriété : .

Une VA est réduite si (ou ). Si , la VA centrée réduite associée à est .

(centrée).

(réduite).

7. Lois Discrètes Usuelles (finies)

71. Loi certaine

Une VA suit une loi certaine égale à si et .

Alors et .

72. Loi de Bernoulli :

Une VA suit une loi de Bernoulli de paramètre si elle modélise une expérience à deux issues ("succès" ou "échec").

(succès) et (échec).

Alors et .

Démonstration de : . Donc .

73. Loi binomiale :

Une VA suit une loi binomiale de paramètres et si elle compte le nombre de succès lors de expériences de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune avec une probabilité de succès .

.

La probabilité d'obtenir succès est : .

Alors et .

74. Loi uniforme :

Une VA suit la loi uniforme sur si chaque valeur a la même probabilité d'être tirée :

pour tout .

Alors et .

Loi uniforme peut aussi être définie sur (entiers relatifs). et .

Chapitre 10 : Compléments d'analyse

1. Étude asymptotique des suites

L'étude asymptotique compare le comportement de suites lorsque .

• Équivalence : . Cela signifie que et ont le même comportement principal.
• Négligeabilité : . Cela signifie que est négligeable devant .

Propriété : .

Les équivalences sont compatibles avec le produit, le quotient et l'élévation à une puissance, mais pas avec l'addition ou la composition en général.

Croissance comparée (pour ) :

• (le logarithme est négligeable devant toute puissance).
• (toute puissance est négligeable devant l'exponentielle).
• (l'exponentielle est négligeable devant la factorielle).

2. Comparaison des fonctions au voisinage d'un point

• Négligeabilité : au voisinage de si .
• Équivalence : au voisinage de si .

Équivalents usuels au voisinage de 0 :

• (ou au voisinage de 1)
• pour .

Propriété : Deux fonctions équivalentes au voisinage de ont la même limite en ce point (la réciproque est fausse).

3. Séries Numériques

31. Définitions

Pour une suite réelle , la série associée est la suite des sommes partielles .

• La série converge si la suite tend vers une limite finie . est la somme de la série.
• Le reste d'ordre n est , tel que .

Propriété : Si une série converge, alors son terme général tend vers zéro (la réciproque est fausse, ex: série harmonique).

Une série converge absolument si la série de terme général converge.

Théorème : Une série absolument convergente est convergente (la réciproque est fausse).

32. Séries de Référence

321. Séries géométriques

Les séries de terme général , , convergent si .

• .
• .
• .

322. Série exponentielle

.

323. Série de Riemann

La série de terme général (série de Riemann) converge si et seulement si .

33. Critères de convergence des séries à termes positifs

Soient et deux suites positives (à partir d'un certain rang).

• Critère de comparaison : Si à partir d'un certain rang :
  • Si converge, alors converge.
  • Si diverge, alors diverge.
• Critère de négligeabilité : Si et converge, alors converge.
• Critère d'équivalence : Si , alors les séries et sont de même nature (convergent ou divergent ensemble).

4. Intégrales sur un intervalle quelconque (Impropres)

Une intégrale est dite impropre si l'intervalle d'intégration est infini ou si la fonction n'est pas bornée sur l'intervalle.

L'intégrale converge si et seulement si la limite de l'intégrale définie sur un sous-intervalle existe et est finie.

Exemple 1 : (impropre en 0 car diverge en 0).

. Quand , la limite est 2. Donc (converge).

Exemple 2 : (impropre en ).

. Quand , la limite est 1. Donc (converge).

Intégrales de Riemann :

• converge .
• converge .

Théorèmes de comparaison (pour continues, positives sur , ) :

• Si converge, alors converge.
• Si diverge, alors diverge.

Critère de négligeabilité : Si au voisinage du point problématique, et converge (avec positive), alors converge.

Critère d'équivalence : Si au voisinage du point problématique, et sont de signe constant, alors et sont de même nature.

Convergence absolue : converge absolument si converge. La convergence absolue entraîne la convergence simple.

5. Dérivées successives

Une fonction est n fois dérivable si sa dérivée est dérivable. . Une fonction est de classe sur si elle est fois dérivable et sa dérivée est continue. Une fonction est de classe si elle est indéfiniment dérivable (ex: polynômes, exponentielle, , ).

Formule de Leibniz : Si et sont fois dérivables, alors :

6. Formules de Taylor

Formule de Taylor avec reste intégral : Si est de classe sur , pour tout :

Inégalité de Taylor-Lagrange : Si est de classe et est majorée par sur un intervalle, alors :

Formule de Taylor-Young : Si est de classe sur , au voisinage de :

7. Développements limités (DL)

71. Principe

Un développement limité d'ordre d'une fonction en est une approximation polynomiale de au voisinage de .

• est la partie principale.
• est le reste.

L'existence d'un pour une fonction de classe est garantie par la formule de Taylor-Young. Le DL est unique.

DL usuels au voisinage de 0 :

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .

Opérations sur les DL :

• Somme : Si et sont les parties régulières des de et en , alors a pour partie régulière .
• Produit : La partie régulière du de est la troncature à l'ordre du produit .

72. Utilisation des développements limités

721. Équivalents

Le premier terme non nul d'un DL donne un équivalent de la fonction au voisinage du point.

722. Étude d'une fonction au voisinage d'un point

Si :

• (continuité).
• . L'équation de la tangente est .
• Le signe de donne la position relative de la courbe par rapport à la tangente : si , la courbe est au-dessus ; si , elle est en dessous.

Exemple : Étudier au voisinage de 0.

On utilise le de : .

Donc .

La tangente en (0,0) est . Le terme d'ordre 2 est , qui est positif, donc la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0.

723. Asymptote oblique

Si au voisinage de l'infini, , alors la droite est une asymptote oblique.

La position relative de la courbe par rapport à l'asymptote est donnée par le signe de : .

Exemple : . Asymptotes en .

On utilise le de en : .

En posant , au voisinage de l'infini : .

.

La droite est asymptote oblique en et .

. En , , donc la courbe est en dessous de . En , , donc la courbe est au-dessus de .

8. Extremum

Rappels : Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes (min et max).

Théorème : Si est dérivable en et admet un extremum local en (où est un point intérieur à l'intervalle), alors . est alors un point critique.

Condition suffisante d'extremum : Si est un point critique de et :

• Si , admet un minimum local en .
• Si , admet un maximum local en .

9. Fonctions convexes

Une fonction est convexe si pour tout et tout , . Elle est concave si est convexe, ou si l'inégalité est inversée.

Propriété : Le graphe d'une fonction convexe est toujours en dessous de ses cordes.

Inégalité de convexité généralisée (Inégalité de Jensen) : Pour une fonction convexe et des , et des tels que :

Caractérisation des fonctions convexes de classe : est convexe si et seulement si est croissante, ou si la courbe de est toujours située au-dessus de chacune de ses tangentes.

Caractérisation des fonctions convexes de classe : est convexe si et seulement si .

Condition suffisante pour un minimum global : Si est convexe, dérivable en un point critique , alors admet un minimum global en .

Point d'inflexion : Un point est un point d'inflexion si et change de signe en (la concavité de la fonction change).

Chapitre 11 : Probabilités sur un ensemble quelconque

1. Introduction

Un ensemble est dénombrable infini s'il est en bijection avec (ses éléments peuvent être numérotés). Ex : est dénombrable, ne l'est pas.

2. Probabilité

Pour un univers , une probabilité (où est un ensemble d'événements, typiquement une tribu) vérifie :

• .
• Pour toute famille finie ou dénombrable d'événements deux à deux incompatibles : (additivité dénombrable).

3. Théorèmes

Une suite d'événements est croissante si pour tout . Elle est décroissante si .

Théorème de la limite monotone :

• Si est une suite croissante d'événements, alors .
• Si est une suite décroissante d'événements, alors .

4. Évènement négligeable, presque certain

Un évènement est dit négligeable si . Il est dit presque sûr ou presque certain si .

Attention : un évènement négligeable n'est pas forcément l'évènement impossible . Exemple : Lancer une pièce indéfiniment. L'évènement "obtenir que des faces" a une probabilité 0 mais n'est pas impossible.

5. Probas conditionnelles

La formule des probabilités totales se généralise pour une union dénombrable : où est un SCE d'événements non négligeables.

La formule des probabilités composées pour une intersection infinie se calcule en passant à la limite d'un produit fini.

6. Variables aléatoires

61. Propriétés (cas où est infini)

Espérance : Si la série converge absolument, alors admet une espérance : .

Propriétés de l'espérance (croissance et domination) :

• Si (presque sûrement), alors , avec égalité si et seulement si (presque sûrement).
• Si (presque sûrement), alors .
• Si et admet une espérance, alors admet une espérance et .

Variance : . si et seulement si (presque sûrement) pour un réel .

62. Variables aléatoires infinies discrètes

621. Loi géométrique

Modélise le nombre de répétitions d'expériences de Bernoulli indépendantes jusqu'à obtenir le premier succès (probabilité ).

.

, où .

Alors et .

622. Loi de Poisson

Modélise le nombre d'événements survenant dans un intervalle de temps ou d'espace donné, si ces événements se produisent avec une fréquence moyenne connue et indépendamment les uns des autres. Paramètre .

.

.

Alors et .

Théorème : Si et sont indépendantes, alors .

7. Propriétés de la loi binomiale

Stabilité de la loi binomiale : Si et sont indépendantes, alors .

Théorème : Si VA sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi de Bernoulli , alors leur somme suit la loi binomiale .

8. Couple de VA

La loi conjointe d'un couple de VA est la donnée de pour tout et .

Les lois marginales de et peuvent être déduites de la loi conjointe :

Deux VA et sont indépendantes si :

Théorème : Si et sont indépendantes, alors toute fonction de est indépendante de toute fonction de .

Formule du transfert : Pour une fonction , si la somme converge absolument :

Propriété : Si et sont indépendantes et admettent une espérance, alors . La réciproque est fausse.

Covariance : . Si et sont indépendantes, .

Propriété : .

Si et sont indépendantes, alors .

9. Convergence et Approximations

91. Inégalité de Markov et conséquences

Inégalité de Markov : Soit une VA positive admettant une espérance. Pour :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (BT) : Soit une VA admettant un moment d'ordre 2 (donc une variance). Pour tout :

Cette inégalité permet d'estimer la probabilité qu'une VA s'écarte de sa moyenne, même sans connaître sa loi exacte.

Loi faible des grands nombres : Soit une suite de VA indépendantes et identiquement distribuées (iid), de même espérance et variance .

On pose (moyenne empirique).

Alors, pour tout , tend vers 0 quand .

Interprétation : La moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance . Pour un grand nombre d'expériences, la moyenne des résultats est proche de la valeur attendue.

92. Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson

Théorème : Soit une suite de VA suivant la loi . Alors pour tout entier , où suit la loi de Poisson . Ceci signifie que la loi de Poisson est une bonne approximation de la loi binomiale lorsque est grand et est petit (avec constant).