Le réflexe et l’arc réflexe

Le réflexe transforme un stimulus en réaction par un trajet nerveux, de récepteurs sensoriels aux organes effecteurs.
Les nombres réels comprennent les rationnels et les irrationnels ; les racines carrées interviennent dans leurs calculs.
Simplifier, développer, comparer et encadrer des expressions avec radicaux prépare aussi à rendre rationnels certains dénominateurs.

Le réflexe est une réaction rapide et involontaire, reliée à un trajet nerveux précis.

Il s’oppose à l’acte volontaire, qui est conscient et voulu.

Acte volontaire et acte involontaire

1. Le stimulus est capté par les récepteurs sensoriels.
2. Le message nerveux sensitif atteint le centre nerveux.
3. Un message nerveux moteur est conduit vers les organes effecteurs.
4. Les effecteurs produisent la réaction.

Les réflexes innés sont communs à une même espèce ou à plusieurs espèces : fermeture de la paupière devant un danger. Les réflexes conditionnels s’acquièrent avec la pratique, la répétition et l’entraînement : conduite de vélo.

La réaction réflexe mobilise des organes reliés par des messages nerveux sensitifs puis moteurs.

• Récepteur sensoriel : capte le stimulus.
• Nerfs sensitifs : conduisent le message nerveux sensitif du récepteur au centre nerveux.
• Centre nerveux : moelle épinière ou bulbe rachidien ; traite l’information nerveuse et envoie un message mo kiteur à l’effecteur.
• Nerfs moteurs : conduisent le message nerveux moteur du centre nerveux aux organes effecteurs.
• Effecteur : effectue la réaction.

Le nerf sciatique comporte des fibres sensitives et motrices : c’est un nerf mixte.

Les nombres réels comprennent notamment $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $-6$, $\pi$ et $12$.

Notation

• L’ensemble des nombres réels : $\mathbb{R}$.
• Les réels positifs : $\mathbb{R}^{+}$.
• Les réels négatifs : $\mathbb{R}^{-}$.
• Les réels non nuls : $\mathbb{R}^{*}$.

Les ensembles sont inclus les uns dans les autres ainsi :

Les produits et les quotients de racines carrées se ramènent à une seule racine.

Propriétés ki

où $a\geq 0$ et $b\geq 0$.

Pour le quotient, $a\geq 0$ et $b>0$.

Conséquence de la définition

Par exemple, $\sqrt{13}\times\sqrt{13}=13$. On a aussi $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$ et $\sqrt{36}=6$.

Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers.

Ainsi, $4=\frac41$, $9=\frac91$ et $13=\frac{13}{1}$. De même, $\sqrt4=2$ et $\sqrt9=3$ sont rationnels. En revanche, $\sqrt{13}$ ne peut pas s’écrire sous cette forme : c’est un nombre irrationnel. Les irrationnels forment $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

Propriétés des racines

La somme de deux racines ne se sépare pas en somme de racines : $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$. Par exemple, $\sqrt{16\times4}=8$, et $\sqrt{121/25}=11/5$.

Développement

Somme algébrique

Pour des réels $a,b,c$, avec $a$ positif :

Il faut d’abord réduire les radicaux : $3\sqrt{50}-2\sqrt{32}+6\sqrt{18}+2\sqrt{72}=37\sqrt2$ ; $4\sqrt{27}-2\sqrt{48}-6\sqrt3=-2\sqrt3$ ; $5\sqrt{27}+3\sqrt{63}-2\sqrt{112}=15\sqrt3+\sqrt7$.

Réduire un radical permet d’écrire un réel sous la forme $a\sqrt b$, avec $b$ le plus petit possible.

Nombres inverses

Deux réels sont inverses si leur produit vaut $1$. Ainsi, $(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=1$. En revanche, $(4\sqrt3-7)(4\sqrt3+7)=-1$ : ces deux nombres ne sont pas inverses.

Comparaison de réels comportant des radicaux

Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés ; deux réels négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs carrés. Par exemple, $3\sqrt5>\sqrt{30}$, car leurs carrés sont $45$ et $30$. De plus, $2\sqrt6<5$, donc $2\sqrt6-5<0$.
Par exemple, $-3\sqrt5<-2\sqrt5$ : leurs carrés sont $45$ et $20$, et l’ordre est contraire pour ces deux réels négatifs.

La multiplication de racines permet de calculer des produits simples : $\sqrt{90}\times\sqrt5=\sqrt{450}$ et $\sqrt9\times\sqrt{18}=\sqrt{162}$. Les exemples de carrés parfaits donnent notamment $\sqrt4=2$, $\sqrt9=3$, $\sqrt{16}=4$ et $\sqrt{36}=6$.
Ainsi, $\sqrt{90}\times\sqrt5=\sqrt{450}=15\sqrt2$ et $\sqrt9\times\sqrt{18}=\sqrt{162}=9\sqrt2$.

La valeur absolue donne un résultat positif ou nul selon le signe du réel.

Ainsi, $|3|=3$ et $|1+\sqrt2|=1+\sqrt2$. Comme $5<3\sqrt3$, $|5-3\sqrt3|=-5+3\sqrt3$.

La racine carrée d’un carré restitue la valeur absolue du nombre.

Propriété

Pour encadrer $14-4\sqrt2$, on utilise $1,414<\sqrt2<1,415$. La multiplication par $-4$ inverse l’ordre, puis l’ajout de $14$ donne :

On applique les opérations aux bornes de l’encadrement connu : si $1,414<\sqrt2<1,415$, alors $9,242<3\sqrt2+5<9,245$. De même, si $1,73<\sqrt3<1,74$, alors $2,73<\sqrt3+1<2,74$.

On rend rationnel le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par son expression conjuguée.

• La conjuguée de $a+\sqrt b$ est $a-\sqrt b$.
• La conjuguée de $\sqrt a-b$ est $\sqrt a+b$.

Par exemple, $\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}$ et $\frac{\sqrt7}{\sqrt5}=\frac{\sqrt{35}}5$. Pour $\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2+1}$, on multiplie par $\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$.