Introduction à l'électronique numérique

Introduction aux Systèmes Numériques et de Numération

Les systèmes numériques (digitaux) sont omniprésents et en pleine expansion, comme en témoigne la prolifération de la micro-informatique dans notre environnement quotidien (télévisions, voitures, machines à laver, calculatrices scientifiques, etc.).

Monde Réel vs. Monde Numérique

Le monde réel est continu, tandis que le monde numérique est discrétisé. Cette discrétisation est essentielle pour plusieurs raisons :

• Elle permet de se prémunir du bruit.

• Elle offre la possibilité de quantifier les erreurs.

• Elle facilite la mise en œuvre d'une arithmétique basée sur la logique.

Division des Systèmes Digitaux

L'avènement du microprocesseur a conduit à une division claire dans le domaine des systèmes digitaux :

• Le département matériel (hardware).

• Le département logiciel ou programmation (software).

Le développement numérique a réduit l'importance du matériel au profit du logiciel, exigeant des programmeurs une connaissance approfondie du hardware pour optimiser les applications.

Quantités Analogiques vs. Numériques

La plupart des grandeurs mesurables dans la nature se présentent sous forme analogique (continue). Pour qu'une machine digitale puisse les comprendre, un système de numération est indispensable.

Une quantité analogique possède des valeurs continues. Pour la numériser, on prend des échantillons périodiques de cette valeur continue, puis on affecte un code numérique à chaque échantillon.

• Exemple : Si on utilise 8 bits pour représenter une valeur, on obtient $2^8 = <strong>256</strong>$ valeurs différentes. Avec 10 bits, on a $2^{10} = <strong>1024</strong>$ valeurs différentes.

Conversion Analogique-Numérique (CAN)

La conversion analogique-numérique (CAN) transforme une grandeur électrique analogique en une grandeur numérique exprimée sur N bits. Ce processus implique trois étapes clés :

• Échantillonnage : Prise périodique de valeurs du signal. Il est crucial de respecter le théorème de Shannon qui stipule que la fréquence d'échantillonnage () doit être supérieure à deux fois la fréquence du signal ().

• Quantification : Association d'une mesure (valeur discrète) à la valeur échantillonnée. Cette étape est une fonction de mémorisation. Échantillonnage-blocage ou échantillonnage-mémorisation sont des termes équivalents.

• Codage : Représentation de la valeur quantifiée dans un alphabet interprétable par un circuit numérique.

Les capteurs convertissent le monde réel en grandeurs électriques analogiques, rendant la conversion analogique-numérique nécessaire. L'inverse, la conversion numérique-analogique (CNA), est également utilisée pour reproduire des signaux analogiques à partir de données numériques (ex: lecteur CD).

Avantages du Numérique

Les données numériques peuvent être traitées, transmises et stockées avec une efficacité et une fiabilité supérieures aux données analogiques.

Paramètres de Conversion

• Résolution : Amplitude de la plus petite variation détectable, correspondant au LSB (Least Significant Bit).

• Temps de conversion : Temps nécessaire pour que la donnée de sortie se stabilise.

• Erreur de quantification : Incertitude inhérente à la conversion.

• Pleine Échelle : Étendue de la grandeur analogique d'entrée.

Types de Conversion Analogique-Numérique

Il existe plusieurs méthodes de conversion, notamment :

• La conversion à rampe.

• La conversion à double rampe.

• La conversion à approximation successive.

• La conversion Flash.

• La conversion Sigma-Delta.

Systèmes de Numération et Codes

Un code est une correspondance arbitraire entre un ensemble de symboles et un ensemble d'objets (lettres, chiffres, signes de ponctuation). Le système de numération binaire est le plus fondamental pour les circuits numériques.

Vers la fin des années 1930, Claude Shannon a démontré qu'il était possible d'effectuer des opérations logiques en associant le 1 (vrai) et le 0 (faux) à des contacteurs (interrupteurs) fermés et ouverts, respectivement.

Dans les codes binaires, les symboles utilisés sont le "0" et le "1", correspondant aux deux états stables des circuits électroniques. C'est le fondement du fonctionnement des ordinateurs.

Utilité des Codes

Les codes servent à :

• Adapter le langage humain au langage machine et vice-versa.

• Détecter et potentiellement corriger les erreurs.

• Éviter les états transitoires parasites.

• Visualiser commodément chiffres et lettres.

• Effectuer des calculs grâce à leurs propriétés arithmétiques.

Représentation des Nombres

Le nombre de symboles utilisés définit la base du système de numération.

• Base 10 (décimal) : 10 symboles (0, 1, ..., 9).

• Base 2 (binaire) : 2 symboles (0, 1).

• Base 3 : 3 symboles (0, 1, 2).

• Base 16 (hexadécimal) : 16 symboles (0-9, A-F).

Système Décimal (Base 10)

Le système décimal utilise 10 chiffres (0-9). Un nombre N en base 10 est représenté par sa forme polynomiale :

où .
Ex: .

Système Binaire (Base 2)

Le système binaire utilise deux symboles, 0 et 1. L'équivalent en base décimale est calculé comme suit :

avec .
Ex: .

• Un élément d'information binaire est appelé bit (contraction de binary digit).

• Les puissances de 2 (1, 2, 4, 8, ...) sont les poids binaires. Le poids du bit de rang est .

• Le MSB (Most Significant Bit) est le bit de poids le plus fort.

• Le LSB (Least Significant Bit) est le bit de poids le plus faible.

• Un message ou mot de 8 bits est un octet (ou byte en anglais).

• Un octet peut représenter 256 valeurs différentes (de 0 à 255).

Multiples de l'Octet

• Un kilooctet (ko) = octets = 1024 octets.

• Un Mégaoctet (Mo) = octets = 1024 ko.

• Un Gigaoctet (Go) = octets = 1024 Mo.

• Un Téraoctet (To) = octets = 1024 Go.

Notez que "byte" (kB, MB, GB, TB) est le terme international, avec une majuscule (B) pour différencier des bits (kb, Mb, Gb, Tb).

Système Octal (Base 8)

Le système octal utilise 8 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). L'équivalent décimal est :

avec .
Ex: .

Système Hexadécimal (Base 16)

Le système hexadécimal utilise 16 symboles (0-9 et A-F, où A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). L'équivalent décimal est :

avec .
Ex: .

Numération en Base Quelconque (Base B)

Pour une base B quelconque, les symboles utilisés sont . L'équivalent décimal est :

où .

Techniques de Changement de Bases

Pour passer d'une base B à une base B', on passe généralement par la base 10 comme intermédiaire. Les conversions de la partie entière et de la partie fractionnaire se font séparément.

Conversion d'une Base Quelconque à la Base 10

Cette conversion s'effectue en utilisant la forme polynomiale du nombre, en sommant les produits de chaque chiffre par la base élevée à la puissance de son rang (ex: voir systèmes binaire, octal, hexadécimal à la base 10 ci-dessus).

Ex:

Conversion de la Base 10 à une Base Quelconque (Méthode des Divisions Successives pour la Partie Entière)

Pour convertir la partie entière d'un nombre décimal vers une base B, on utilise la méthode des divisions successives par B. Les restes successifs, lus de bas en haut, donnent le nombre dans la nouvelle base.

Ex: Conversion de en binaire :
45 / 2 = 22 R 1
22 / 2 = 11 R 0
11 / 2 = 5 R 1
5 / 2 = 2 R 1
2 / 2 = 1 R 0
1 / 2 = 0 R 1
Donc, .

Conversion de la Base 10 à une Base Quelconque (Méthode des Multiplications Successives pour la Partie Fractionnaire)

Pour convertir la partie fractionnaire d'un nombre décimal vers une base B, on multiplie successivement la partie fractionnaire par B. Les parties entières obtenues, lues de haut en bas, donnent la partie fractionnaire dans la nouvelle base.

Ex: Conversion de en binaire :
(partie entière = 0)
(partie entière = 1)
(partie entière = 1)
Donc, .

La précision de la conversion fractonnée dépend du nombre de chiffres après la virgule. L'erreur maximale est pour chiffres après la virgule dans la base B. Pour une précision équivalente à , il faut que .

Conversions Rapides entre Bases

Conversion Octal-Binaire et Binaire-Octal

Chaque chiffre octal correspond à un groupe de 3 bits binaires.

• Ex: .

• Ex: . (On ajoute des zéros à gauche pour former des groupes de 3 bits si nécessaire).

Conversion Hexadécimal-Binaire et Binaire-Hexadécimal

Chaque chiffre hexadécimal correspond à un groupe de 4 bits binaires. Ce système offre une représentation abrégée des nombres binaires.

• Ex: .

• Ex: . (On ajoute des zéros à gauche pour former des groupes de 4 bits si nécessaire).

Code Décimal Codé Binaire (BCD)

Le code BCD (Binary Coded Decimal) représente chaque chiffre d'un nombre décimal par son équivalent binaire sur 4 bits. Il est couramment utilisé pour l'affichage des nombres.

• Seuls les groupes binaires 0000 à 1001 sont utilisés.

• Les combinaisons 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 et 1111 sont "inadmissibles" en BCD et signalent généralement une erreur si elles apparaissent.

Ex: .
Ex: .

Conclusion

La compréhension des systèmes numériques et des différentes bases de numération, ainsi que les méthodes de conversion, est fondamentale en électronique numérique. Ces concepts permettent de manipuler et d'interpréter les informations sous la forme que les machines digitales peuvent traiter efficacement.