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Integration over Intervals and Improper Integrals

38 cartes

This note covers the integration of functions over intervals, including reminders of integration on segments, integration over arbitrary intervals, improper integrals of positive-valued functions, integrable functions, and the integration of comparison relations. It also touches upon passing to the limit under the integral sign.

38 cartes

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La répétition espacée te présente chaque carte au moment optimal pour la mémoriser durablement, en espaçant les révisions de façon croissante.
Question
Quel théorème permet de comparer les intégrales de fonctions positives continues par morceaux ?
Réponse
Le théorème des équivalents et les règles du petit-o et du grand-O pour les intégrales.
Question
Quel théorème permet d'intervertir limite et intégrale sous certaines conditions ?
Réponse
Le théorème de convergence dominée permet d'intervertir limite et intégrale sous certaines conditions.
Question
Quand une intégrale est-elle dite absolument convergente ?
Réponse
Une intégrale est dite absolument convergente lorsque l'intégrale de sa valeur absolue converge.
Question
Quand dit-on qu'une intégrale impropre converge en un point b ?
Réponse
L'intégrale impropre ∫abf\int_{a}^{b} f converge si la limite de ∫axf\int_{a}^{x} f quand xx tend vers b−b^{-} est finie.
Question
Quelle est la relation entre \(\int_{x}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t\) et \(\int_{x}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t\) si \(f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x)\) et \(g\) est intégrable ?
Réponse
Si \(f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x)\) et \(g\) est intégrable sur \([a, b[\), alors \(\int_{x}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \underset{x \to b}{\sim} \int_{x}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t\).
Question
Qui sont les mathématiciens à avoir fait le lien entre dérivation et intégration ?
Réponse
Newton et Leibniz sont les premiers à établir le lien entre dérivation et intégration.
Question
Quelle est la condition de convergence pour l'intégrale de référence \(\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) ?
Réponse
L'intégrale converge si et seulement si α>1\alpha > 1.
Question
Quelle est la particularité de la convergence simple d'une suite de fonctions ?
Réponse
La convergence simple signifie que pour chaque point tt de l'intervalle II, la suite de nombres (fn(t))n∈N(f_n(t))_{n \in \mathbb{N}} converge.
Question
Quelle est la définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment [a,b] ?
Réponse
Une fonction ff est continue par morceaux sur [a,b][a,b] si ff est continue sur ]xi,xi+1[]x_i, x_{i+1}[ et prolongeable par continuité en xix_i et xi+1x_{i+1} pour une subdivision (x0,…,xn)(x_0,\dots,x_n) de [a,b][a,b].
Question
Que peut-on dire de la convergence de \(\int_I f\) si \(\int_I |f|\) diverge mais \(\int_I f\) converge ?
Réponse
Dans ce cas, la fonction \(f\) n'est pas absolument convergente mais intégrable.
Question
Quand dit-on qu'une fonction est localement intégrable sur un intervalle [a, b[ ?
Réponse
Une fonction ff est localement intégrable sur [a,b[[a, b[ si elle est continue par morceaux sur cet intervalle.
Question
Quelle propriété est essentielle pour la linéarité de l'intégrale impropre ?
Réponse
La linéarité de l'intégrale impropre requiert l'intégrabilité des fonctions considérées sur l'intervalle d'intégration.
Question
Que signifie la notation x=∫dxx = \int \mathrm{d}x et à qui l'attribue-t-on ?
Réponse
La notation x=∫dxx = \int \mathrm{d}x signifie l'antidérivée d'une fonction, et elle est attribuée à Leibniz.
Question
Quelle est la définition de la convergence simple d'une suite de fonctions ?
Réponse
Une suite de fonctions (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} converge simplement vers ff sur II si, pour tout t∈It \in I, la suite numérique (fn(t))n∈N(f_n(t))_{n \in \mathbb{N}} converge vers f(t)f(t).
Question
Quelle est l'hypothèse clé du théorème de convergence dominée ?
Réponse
L'hypothèse clé est qu'une suite de fonctions (fn)(f_n) converge simplement vers ff et est dominée par une fonction intégrable φ\varphi : ∣fn∣⩽φ|f_n| \leqslant \varphi.
Question
Quelle est la particularité du théorème d'intégration terme à terme pour les fonctions à valeurs positives ?
Réponse
Pour les fonctions positives, l'intégrale ∫abf(t) dt\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t diverge si et seulement si ∫axf(t) dt→+∞\int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \to +\infty quand x→b−x \to b^{-}.
Question
Quand une intégrale est-elle dite semi-convergente ?
Réponse
Une intégrale est semi-convergente si elle converge, mais que l'intégrale de sa valeur absolue diverge.
Question
Quelle est la relation entre ∫xbf(t) dt\int_{x}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t et ∫xbg(t) dt\int_{x}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t si f(x)∼x→bg(x)f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x) lorsque gg n'est pas intégrable ?
Réponse
Si f(x)∼x→bg(x)f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x) et gg n'est pas intégrable, alors ff n'est pas intégrable et ∫xbf(t) dt∼x→b∫xbg(t) dt\int_{x}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \underset{x \to b}{\sim} \int_{x}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t.
Question
Que peut-on dire de \(\int_I f\) si elle est **absolument convergente** ?
Réponse
Si \(\int_I f\) est absolument convergente, alors elle est convergente.
Question
Quand dit-on qu'une fonction est **continue par morceaux** sur un intervalle I ?
Réponse
Une fonction ff est continue par morceaux sur II si elle est continue sur tout segment [a,b]⊂I[a,b] \subset I.
Question
Quelle est l'hypothèse clé du **théorème de convergence dominée** pour intervertir limite et intégrale ?
Réponse
La suite des fonctions doit être dominée par une fonction intégrable φ\varphi : ∣fn∣⩽φ|f_n| \leqslant \varphi.
Question
Que signifie la **convergence simple** d'une suite de fonctions \((f_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ?
Réponse
La suite \((f_n)\) converge simplement vers \(f\) si, pour tout \(t\) dans l'intervalle \(I\), la limite de \(f_n(t)\) quand \(n\) tend vers l'infini est \(f(t)\).
Question
Quelle est la condition de convergence pour l'intégrale de référence \(\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) ?
Réponse
L'intégrale converge si et seulement si α<1\alpha < 1.
Question
Quelle est la particularité du **théorème de comparaison séries/intégrales** ?
Réponse
Pour une fonction ff continue, positive et décroissante, la série ∑f(n)\sum f(n) et l'intégrale ∫f(t)dt\int f(t) dt sont de même nature.
Question
Quel est le critère de convergence d'une intégrale impropre pour une fonction **positive et continue par morceaux** ?
Réponse
L'intégrale converge si la fonction F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t est majorée.
Question
Quand une intégrale \(\int_{a}^{b} f\) est-elle dite **absolument convergente** ?
Réponse
Une intégrale \(\int_{a}^{b} f\) est dite absolument convergente si \(\int_{a}^{b} |f|\) converge.
Question
Si \(f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x)\) et \(f, g\) sont de signe constant, quelle est la relation entre les intégrales \(\int_{a}^{b} f\) et \(\int_{a}^{b} g\) ?
Réponse
Si ff et gg sont de signe constant, alors ∫abf\int_{a}^{b} f et ∫abg\int_{a}^{b} g sont de même nature.
Question
Quel théorème permet d'intervertir **somme et intégrale** pour les séries de fonctions ?
Réponse
Le théorème d'intégration terme à terme, adapté du théorème de convergence dominée.
Question
Quelle est la condition de convergence pour l'intégrale de référence ∫01dttα\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}} ?
Réponse
L'intégrale de référence ∫01dttα\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}} converge si et seulement si α<1\alpha < 1.
Question
Quand une intégrale est-elle dite semi-convergente ?
Réponse
Une intégrale est semi-convergente si elle converge mais que l'intégrale de sa valeur absolue diverge.
Question
Quelle est la particularité du théorème d'intégration terme à terme pour les fonctions à valeurs positives ?
Réponse
Pour les fonctions à valeurs positives, le théorème d'intégration terme à terme se comporte comme les séries à termes positifs, simplifiant l'étude de la convergence.
Question
Quand dit-on qu'une fonction est localement intégrable sur un intervalle [a, b[ ?
Réponse
Une fonction est localement intégrable sur [a,b[[a, b[ si son intégrale sur tout segment &#91;a, \beta&#93; \subset &#91;a, b&#91; existe, généralement garanti par sa continuité par morceaux.
Question
Quelle propriété est essentielle pour la linéarité de l'intégrale impropre ?
Réponse
Pour la linéarité de l'intégrale impropre, la condition essentielle est que les fonctions considérées soient intégrables sur l'intervalle donné.
Question
Que signifie la notation x=∫dxx = \int \mathrm{d}x et à qui l'attribue-t-on ?
Réponse
La notation x=∫dxx = \int \mathrm{d}x représente l'intégrale indéfinie ou l'antidérivée de 1 par rapport à xx. On l'attribue à Leibniz.
Question
Quelle est la définition de la convergence simple d'une suite de fonctions ?
Réponse
La convergence simple d'une suite de fonctions (fn)(f_n) vers ff sur II signifie que, pour chaque t∈It ∈ I, la suite numérique (fn(t))(f_n(t)) converge vers f(t)f(t).
Question
Quelle est la relation entre ∫xbf(t) dt\int_{x}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t et ∫xbg(t) dt\int_{x}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t si f(x)∼x→bg(x)f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x) lorsque gg n'est pas intégrable ?
Réponse
Si f(x)∼x→bg(x)f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x) et gg n'est pas intégrable, alors ff n'est pas intégrable et ∫xbf(t) dt∼x→b∫xbg(t) dt\int_{x}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t \underset{x \to b}{\sim} \int_{x}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t (car les intégrales tendent vers +∞+\infty).
Question
Quelle est l'hypothèse clé du théorème de convergence dominée ?
Réponse
L'hypothèse clé est qu'il existe une fonction intégrable φ\varphi qui domine la suite de fonctions fnf_n, c'est-à-dire ∣fn∣⩽φ|f_n| \leqslant \varphi pour tout nn.
Question
Calculer l'intégrale ∫01ln⁡(t)t−1 dt\int_{0}^{1} \frac{\ln(t)}{t - 1} \, dt à l'aide d'une série.
Réponse
En utilisant la série ∑n=0+∞−ln⁡(t)tn\sum_{n=0}^{+\infty} -\ln(t)t^n, l'intégrale se calcule terme à terme via une intégration par parties, menant à ∑n=1+∞1n2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}π26\frac{\pi^2}{6}

Intégration et Fonctions Intégrables : Une Synthèse

Ce document récapitule les concepts clés de l'intégration, des rappels sur les segments aux intégrales généralisées, en passant par les fonctions intégrables et le passage à la limite sous le signe intégral.

I. Rappels sur l'Intégration sur un Segment

L'intégration a des racines historiques profondes, cherchant à mesurer aires et longueurs par des méthodes d'exhaustion. Newton et Leibniz ont établi le lien fondamental entre dérivation et intégration au XVIIe siècle. Cauchy a ensuite formalisé la notion d'intégrale et le théorème fondamental du calcul intégral. Riemann a étendu cette théorie aux fonctions continues par morceaux, pavant la voie aux contributions de Lebesgue.

1. Fonctions continues par morceaux

Définition : Une fonction est continue par morceaux sur s'il existe une subdivision telle que sur chaque est continue et prolongeable par continuité aux bornes.
  • Les fonctions en escalier et les fonctions continues sont continues par morceaux.
  • L'ensemble des fonctions continues par morceaux est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau, mais n'est pas stable par composition.

2. Propriétés Fondamentales

  • Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive.
  • Si est continue sur , alors où est une primitive.
  • Attention : Une fonction continue par morceaux n'admet pas toujours de primitive.
  • Sommes de Riemann : Pour continue (par morceaux) sur à valeurs dans : .

II. Intégration sur un Intervalle Quelconque (Intégrales Impropres/Généralisées)

Cette section étend la notion d'intégrale à des intervalles non bornés ou à des fonctions non bornées.

1. Définition et Types

Une intégrale impropre (ou généralisée) converge si la limite de l'intégrale sur un segment, lorsque la borne tend vers le "problème" (infini ou point de discontinuité), est finie. Sinon, elle diverge.
  • Problème en une seule borne : Pour avec ou , l'intégrale converge si admet une limite finie quand .
  • Problème aux deux bornes : Pour , l'intégrale converge si pour tout , et convergent.
  • Attention : ne se ramène pas simplement à (ex: ).

2. Cas des "Faux Problèmes"

Si (avec ) est continue par morceaux et prolongeable par continuité en , alors l'intégrale converge. Ex: .

3. Intégrales de Référence (À connaître !)

  1. converge ssi .
  2. converge ssi .
  3. converge et vaut .
  4. converge si et vaut .
  5. Généralisation : converge ssi .

4. Propriétés

  • Linéarité : Si et convergent, alors converge et .
  • Soustraction d'intégrales divergentes : Si converge et diverge, alors diverge. Si les deux divergent, on ne peut rien conclure (ex: ).
  • Partie réelle et imaginaire : converge ssi et convergent.
  • Relation de Chasles : Si converge, alors pour , .
  • Positivité : Si , alors . Si est continue et positive, sur .

5. Intégration par parties et Changement de Variable

  • IPP (sur : Si et existe et est finie, alors et sont de même nature. Toujours intégrer sur puis passer à la limite.
  • Changement de variable (sur : Si est continue sur et est une bijection (strictement monotone), alors et sont de même nature et égales en cas de convergence.

III. Intégrales Impropres de Fonctions à Valeurs Positives

Ceci est l'analogue des séries à termes positifs.

1. Critère de convergence pour fonctions positives

Si est continue par morceaux et positive, alors converge ssi est majorée sur . Implication : Si pour une fonction positive, l'intégrale converge.

2. Comparaison

Soient continues par morceaux et .
  • Si converge converge.
  • Si diverge diverge.

3. Comparaison Séries/Intégrales

Si est continue, positive et décroissante sur , alors et sont de même nature. Corollaire : La série de Riemann converge ssi .

4. Règles des équivalents, et

Soient continues par morceaux, de signe constant au voisinage de .
  • Si , alors et sont de même nature.
  • Si converge :
    • ou converge.
Corollaire : Si au voisinage de avec converge.

IV. Fonctions Intégrables

1. Convergence Absolue

L'intégrale est absolument convergente si converge. Propriété clé : Une intégrale absolument convergente est convergente.
  • Démonstration : Utilise ou et .
  • Inégalité triangulaire : .

2. Semi-convergence

Si converge mais diverge, l'intégrale est dite semi-convergente. Exemple : est semi-convergente.

3. Notion d'intégrabilité

Une fonction est intégrable sur si elle est continue par morceaux et son intégrale est absolument convergente.
  • Si est intégrable, alors converge.
  • L'ensemble des fonctions intégrables est un espace vectoriel.

V. Intégration des Relations de Comparaison

Ces théorèmes sont l'équivalent pour les intégrales des sommations de relations de comparaison pour les séries.

1. Cas où est intégrable

Soient continue par morceaux sur et positive et intégrable sur .
  • Si , alors est intégrable et .
  • Si , alors est intégrable et .
  • Si , alors est intégrable et .
Note : Lorsque est intégrable, .

2. Cas où n'est pas intégrable

Soient continues par morceaux sur et positive et non intégrable sur .
  • Si , alors n'est pas intégrable et .
  • Si , alors .
  • Si , alors .
Note : Lorsque est positive et non intégrable, .

VI. Passage à la Limite sous l'Intégrale

Cette partie aborde les conditions pour intervertir limite et intégrale, ou somme et intégrale.

1. Convergence Simple des Suites de Fonctions

Une suite converge simplement vers sur si . Problème : La convergence simple ne suffit pas pour intervertir limite et intégrale (contre-exemples comme ou sur ).

2. Convergence Simple des Séries de Fonctions

La série converge simplement sur si la suite des sommes partielles converge simplement. La fonction somme est alors .

3. Théorème de Convergence Dominée (TCD)

C'est un outil puissant pour intervertir limite et intégrale. Version discrète (suite de fonctions) : Soit une suite de fonctions sur à valeurs dans . Si :
  • Chaque est continue par morceaux sur .
  • converge simplement vers (continue par morceaux) sur .
  • Hypothèse de domination : Il existe intégrable sur telle que .
Alors, . Exemple : grâce au TCD (). Contre-exemple de bosse glissante : la famille ne peut être dominée. Version continue (famille de fonctions) : Similaire à la version discrète, avec une famille indexée par et .

4. Théorème d'Intégration Terme à Terme

Applicable aux séries de fonctions, c'est une conséquence du TCD. Conditions : Soit une suite de fonctions sur à valeurs dans . Si :
  • Chaque est continue par morceaux sur .
  • La série converge simplement sur vers une fonction continue par morceaux.
  • Condition d'intégrabilité : La série converge.
Alors, est intégrable sur et . Cas particulier : Si , la condition est nécessaire et suffisante. Exemple : Calcul de .

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