Formulaire PASS : Radioactivité et Mécanique

Le moment d'une force ( \vec{F} ) appliquée en M, par rapport à un point fixe O, est donné par la formule : ( \vec{M} = \vec{OM} \times \vec{F} ). L'unité du moment d'une force est le N·m.

Le moment cinétique (L) d'une particule de quantité de mouvement (p) par rapport à un point O est défini par le produit vectoriel :

(L = OM \times p)

où (OM) est le vecteur position de la particule par rapport au point O.

L'énergie cinétique de rotation E_k s'exprime par la formule :
E_k = ½ Jω²
où :

• J est le moment d'inertie (en kg·m²)
• ω est la vitesse angulaire (en rad/s)

La relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) est : F = ma, où F est la force nette appliquée à un objet, m est sa masse et a est son accélération.

Le travail W d'une force constante F sur un déplacement \u0394x rectiligne est donn\u00e9 par la formule :
W = F \u00b7 \u0394x
O\u00f9 F est la force et \u0394x est le d\u00e9placement.

Une force conservative ( \vec{F} ) est liée à l'énergie potentielle ( E_p ) par la relation : ( \vec{F} = -\vec{\text{grad}} E_p ). Cela signifie que la force est l'opposé du gradient de l'énergie potentielle. Le travail d'une force conservative est indépendant du chemin suivi et est égal à la variation négative de l'énergie potentielle : ( W_{A \to B} = -\Delta E_p ).

En un point fixe O d'un référentiel galiléen, la dérivée du moment cinétique (L) d'une particule par rapport au temps est égale au moment (M) de la force appliquée à celle-ci :
dL/dt = M

L'énergie mécanique E_m est la somme de l'énergie cinétique E_c et de l'énergie potentielle E_p :
E_m = E_c + E_p

La puissance P est le produit scalaire de la force F_app et de la vitesse v :
P = F_app ⋅ v

Le théorème de l'énergie cinétique stipule que la variation de l'énergie cinétique (ΔE_c) d'un corps est égale à la somme des travaux (W) de toutes les forces extérieures et intérieures qui s'exercent sur ce corps entre deux instants :
ΔE_c = W_total
où E_c = 1/2 mv² (m est la masse et v la vitesse du corps).

L'énergie potentielle gravitationnelle E_p entre deux masses m₁ et m₂, séparées par une distance r, est donnée par la formule :


E_p = -G (m₁m₂ / r)


Où G est la constante gravitationnelle (G = 6,67 ( \cdot ) 10^-11 N ( \cdot ) m² ( \cdot ) kg^-2).

La force gravitationnelle F entre deux masses m₁ et m₂ séparées par une distance r est donnée par la formule :




F = -G (m₁m₂)/r² e_r




Où :

• G est la constante gravitationnelle (6,67 \(\cdot\) 10^-11 N \(\cdot\) m² \(\cdot\) kg^-2).
• e_r est un vecteur unitaire dirigé de m₁ vers m₂.

La pulsation naturelle d'oscillation (\omega) d'un pendule simple de longueur (l) (pour de petits angles) est donnée par la formule :
(\omega = \sqrt{\frac{g}{l}})
où (g) est l'accélération due à la gravité.

L'unité de masse atomique (u) est définie comme 1/12 de la masse d'un atome de carbone 12 (¹²C), isolé, au repos et dans son état fondamental. Elle est utilisée pour exprimer les masses des particules subatomiques et des atomes.

La relation d'équivalence masse-énergie d'Einstein est donnée par la formule : E = mc², où :

• E représente l'énergie (en Joules).
• m représente la masse (en kilogrammes).
• c représente la vitesse de la lumière dans le vide (environ 3 x 10⁸ m/s).

Cette formule établit qu'une masse peut être convertie en énergie et vice-versa, et que même une petite quantité de masse correspond à une très grande quantité d'énergie.

La relation entre la période radioactive (T_1/2) et la constante de désintégration (λ) est :

T_1/2 = ln(2) / λ

L'énergie de liaison E_l d'un noyau est donnée par la formule :
E_l = [Z * m_p + (A - Z) * m_n - m(^A_ZX)] * c²
où :

• Z est le nombre de protons
• A est le nombre de masse (nombre de nucléons)
• m_p est la masse d'un proton
• m_n est la masse d'un neutron
• m(^A_ZX) est la masse du noyau
• c est la vitesse de la lumière dans le vide

L'excès de masse (\Delta) d'un élément est calculé par la formule suivante : (\Delta = Mc^2 - A \cdot u \cdot c^2), où (M) est la masse atomique de l'élément, (A) est le nombre de nucléons, et (u) est l'unité de masse atomique (1 u = 931,5 MeV \cdot c^{-2}).

La loi de décroissance radioactive pour le nombre de noyaux N(t) est donnée par :


N(t) = N₀ * e^(-λt)


Où :

• N(t) est le nombre de noyaux radioactifs au temps t.
• N₀ est le nombre initial de noyaux radioactifs (à t=0).
• λ (lambda) est la constante de désintégration radioactive, exprimée en s⁻¹.
• t est le temps écoulé.

La constante de désintégration λ est liée à la période radioactive (T₁/₂) par la relation :
λ = ln(2) / T₁/₂

L'activité A(t) d'un radionucléide est définie comme le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle est donnée par la formule :

$A(t) = -\frac{dN(t)}{dt} = \lambda N(t)$

Où :

• $N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$.
• $\lambda$ est la constante de désintégration radioactive (en s⁻¹).

L'unité de l'activité est le Becquerel (Bq), qui correspond à une désintégration par seconde.

La loi de Soddy stipule la conservation du nombre de nucléons (A) et de la charge électrique (Z) lors d'une transformation nucléaire. Pour le nombre de nucléons A, cela signifie que la somme des nombres de nucléons des produits de la réaction est égale au nombre de nucléons du noyau initial.

La loi de Soddy stipule que lors d'une transformation nucléaire, il y a conservation de la charge électrique (Z) et du nombre de nucléons (A). Pour une réaction générique $$\mathrm{_{Z}^{A}N \rightarrow _{Z_1}^{A_1}X + _{Z_2}^{A_2}Y + \dots + _{Z_n}^{A_n}Z}$$, cela se traduit par :

• Conservation de la charge électrique (Z) : $$\mathrm{Z = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n}$$
• Conservation du nombre de nucléons (A) : $$\mathrm{A = A_1 + A_2 + \dots + A_n}$$

L'équation générale de la radioactivité alpha est :

Où :

• X est le noyau père.
• Y est le noyau fils.
• He est la particule alpha (noyau d'hélium).
• A est le nombre de masse (nombre de nucléons).
• Z est le numéro atomique (nombre de protons).

L'équation générale de la radioactivité bêta plus (β+) est :
^A_ZX → ^A_Z-1Y + e⁺ + ν_e
Où :

• X est le noyau père
• Y est le noyau fils
• e⁺ est un positron (ou électron positif)
• ν_e est un neutrino électronique

L'énergie de réaction Q est calculée en fonction des excès de masse (Δ) des réactifs et des produits. La formule est la suivante :

Q = ΣΔ_i - ΣΔ_f

Où :

• ΣΔ_i représente la somme des excès de masse des réactifs (état initial).
• ΣΔ_f représente la somme des excès de masse des produits (état final).

L'excès de masse (Δ) d'un élément est défini comme la différence entre sa masse atomique (M) et le nombre de nucléons (A) multiplié par l'unité de masse atomique (u), le tout converti en énergie :

Δ = Mc² - A ⋅ u ⋅ c²

Une autre façon d'exprimer Q est en utilisant la variation de masse (Δm) :

Q = Δmc² = (Σm_i - Σm_f)c²

Où :

• Σm_i est la somme des masses des réactifs.
• Σm_f est la somme des masses des produits.

L'équation générale de la radioactivité bêta moins (β-) est :
^A_ZX → ^A_Z+1Y + e^- + ⁰₀ν̄_e
Où :

• X est le noyau père.
• Y est le noyau fils.
• A est le nombre de masse (nombre de nucléons), qui reste inchangé.
• Z est le numéro atomique (nombre de protons), qui augmente de 1.
• e^- est l'électron (particule bêta moins).
• ν̄_e est l'antineutrino électronique.

Une équation de réaction de fusion nucléaire est la suivante :
²H + ³H → ⁴He + n
où ²H est le deutérium, ³H est le tritium, ⁴He est l'hélium et n est un neutron.

L'énergie cinétique d'une particule alpha (E_kα) après désintégration est donnée par la formule :
E_kα = Q / (1 + m_α / m_Y)
Où :

• Q est l'énergie de réaction (ou bilan énergétique de la désintégration).
• m_α est la masse de la particule alpha.
• m_Y est la masse du noyau fils (produit de la désintégration).

L'équation générale d'une réaction de fission induite est :
( {}{Z}^{A}\text{N} + {}{0}^{1}\text{n} \rightarrow {}{Z_1}^{A_1}\text{X} + {}{Z_2}^{A_2}\text{Y} + x \times {}{0}^{1}\text{n} + y \times \gamma )
Où :

• ( {}{Z}^{A}\text{N} ) est le noyau lourd fissile.
• ( {}{0}^{1}\text{n} ) est le neutron incident qui induit la fission.
• ( {}{Z_1}^{A_1}\text{X} ) et ( {}_{Z_2}^{A_2}\text{Y} ) sont les deux noyaux plus légers (produits de fission).
• ( x ) est le nombre de neutrons secondaires émis.
• ( y ) est le nombre de photons gamma émis.