Question 1

Énoncez l'identité trigonométrique fondamentale reliant $\cos x$ et $\sin x$.

Accepted Answer

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (conséquence du théorème de Pythagore sur le cercle trigonométrique).

Question 2

Quelle est la période de la fonction cosinus et complétez : $\cos(x + T) = \cos x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ?

Accepted Answer

$T = 2\pi$ ; $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Question 3

Écrivez l'expression générale d'un signal sinusoïdal $S(t)$ et identifiez les trois paramètres principaux.

Accepted Answer

$S(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$ avec A l'amplitude (valeur maximale), $\omega$ la pulsation (vitesse d'oscillation), et $\varphi$ la phase à l'origine (décalage temporel).

Question 4

Pour une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$, quel est le critère sur $f'$ pour que $f$ soit croissante ?

Accepted Answer

Si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f'(x) \leq 0$, $f$ est décroissante.

Question 5

Quelle est la définition d'une fonction $f: I 	o \mathbb{R}$ en termes d'ensemble de définition et d'association ?

Accepted Answer

Application qui à tout $x \in I \subset \mathbb{R}$ associe un unique réel $f(x)$. $I$ est l'ensemble de définition, noté $f: I 	o \mathbb{R}$.

Question 6

Énoncez la formule de la dérivée du quotient de deux fonctions $f$ et $g$ dérivables.

Accepted Answer

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ où $f$ et $g$ sont dérivables et $g$ ne s'annule pas.

Question 7

Quelle est la dérivée de la fonction composée $(g \circ f)(x)$ où $f$ et $g$ sont dérivables (règle de la chaîne) ?

Accepted Answer

$$(g \circ f)'(x) = f'(x) \cdot g'(f(x))$$, aussi notée $f' 	imes (g' \circ f)$.

Question 8

Donnez l'expression de la dérivée de la fonction puissance $f(x) = x^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$.

Accepted Answer

$f'(x) = n x^{n-1}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Question 9

Quel est le lien entre sinus et cosinus exprimé par la formule : $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = ?$

Accepted Answer

$\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Question 10

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = \ln(u(x))$ où $u(x)$ est une fonction dérivable et strictement positive ?

Accepted Answer

u'(x) / u(x)

Answer

u'(x) · u(x)

Answer

1 / u(x)

Answer

u'(x) · ln(u(x))

Answer

u'(x) / (u(x))^2

Question 11

Pour la fonction sinus, $\sin(x)$, quelle est sa période et sa parité ?

Accepted Answer

2π, impaire

Answer

π, impaire

Answer

2π, paire

Answer

π, paire

Answer

2π, ni paire ni impaire

Question 12

Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , et $f(x)$ est strictement positive, quelle est la dérivée de $\sqrt{f(x)}$ ?

Accepted Answer

f'(x) × g'(f(x))

Answer

f'(x) × g'(x)

Answer

f'(g(x)) × g'(x)

Answer

g'(f(x))

Answer

f'(x) + g'(f(x))

Question 13

Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $f(x)$ est strictement positive, quelle est la dérivée de $\sqrt{f(x)}$ ?

Accepted Answer

f'(x) / (2√f(x))

Answer

f'(x) / (2f(x))

Answer

f'(x) / √f(x)

Answer

√f'(x)

Answer

f'(x) × √f(x)

Question 14

Quelle est la dérivée de la fonction $\cos(f(x))$ où $f(x)$ est une fonction dérivable ?

Accepted Answer

-f'(x) sin(f(x))

Answer

f'(x) sin(f(x))

Answer

-f'(x) cos(f(x))

Answer

f'(x) cos(f(x))

Answer

-f'(x) sin(x)

Question 15

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{1}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ sur son intervalle de dérivabilité ?

Accepted Answer

-n/x^{n+1}

Answer

n/x^{n-1}

Answer

-nx^{n-1}

Answer

1/(nx^{n-1})

Answer

-1/(nx^{n+1})

Question 16

Un signal sinusoïdal est décrit par $S(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$. Que représente la variable $\omega$ dans cette équation ?

Accepted Answer

La pulsation

Answer

L'amplitude

Answer

La fréquence

Answer

La phase à l'origine

Answer

La période

Question 17

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Laquelle des expressions suivantes représente correctement la dérivée du produit $(f \cdot g)(x)$ ?

Accepted Answer

f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Answer

f'(x) + g'(x)

Answer

f(x)g'(x) + g(x)

Answer

f'(x)g'(x)

Answer

f'(x)g(x) - f(x)g'(x)

Question 18

Sachant que $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$, quel est le lien entre le cosinus et le sinus en termes de déphasage ?

Accepted Answer

Le cosinus est en avance de π/2 (ou 90°) par rapport au sinus

Answer

Le cosinus est en retard de π/2 (ou 90°) par rapport au sinus

Answer

Le cosinus est en opposition de phase (π) par rapport au sinus

Answer

Le cosinus et le sinus sont en phase (même déphasage)

Answer

Le cosinus est en avance de π (ou 180°) par rapport au sinus

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