Étude des fonctions : limites, continuité, dérivées

12 cartes

Ce cours couvre l'étude des fonctions numériques, incluant les rappels et compléments sur les limites, les théorèmes associés (comparaison, gendarmes, composée), les asymptotes (horizontales, verticales, obliques) et les branches infinies. Il aborde également la continuité en un point et sur un intervalle, le prolongement par continuité, et l'image d'un intervalle par une fonction continue et monotone. Enfin, il traite de la dérivabilité en un point, de son interprétation géométrique, de la dérivée de fonctions composées et usuelles, des opérations sur les dérivées, du sens de variation, de la concavité, des points d'inflexion, et des fonctions réciproques (bijection et dérivée de la bijection).

12 cartes

Réviser

Question

Énoncez la condition pour qu'une fonction réalise une **bijection** sur un intervalle.

Réponse

**Continue** et **strictement monotone** sur

I

; l'image est alors

J = f(I)

Question

Exprimez la **dérivée de la fonction réciproque**

(f^{-1})'(y)

en fonction de

f'

Réponse

(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

Question

Énoncez le **théorème des gendarmes** et ses conditions d'application.

Réponse

Soient

f

g

h

définies sur

I

avec

f(x) \leq h(x) \leq g(x)

\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell

(réel fini), alors

\lim_{x \to x_0} h(x) = \ell

Question

Comment calculer la limite de la **composée de deux fonctions**

\limx\to x_0 (g \circ f)(x)

Réponse

\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell

\lim_{x \to \ell} g(x) = \ell'

, alors

\lim_{x \to x_0} (g \circ f)(x) = \ell'

, sous réserve que

f(I) \subset J

Question

Distinguez les trois types d'**asymptotes** (horizontale, verticale, oblique) et leurs conditions de définition.

Réponse

**Horizontale** :

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell

donne

y = \ell

. **Verticale** :

\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty

donne

x = x_0

. **Oblique** :

\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0

donne

y = ax + b

Question

Qu'est-ce qu'une **branche parabolique** et comment la distinguer d'une asymptote oblique ?

Réponse

Une **branche parabolique** apparaît quand

\lim_{x \to \pm\infty} f(x)/x = 0

(direction

(Ox)

) ou

\pm\infty

(direction

(Oy)

), ou quand

\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax) = \pm\infty

(direction

y=ax

). Contrairement à l'asymptote oblique, la distance à la droite ne tend pas vers

0

Question

Définissez la **continuité d'une fonction en un point**

x_0

en termes de limite.

Réponse

f

est continue en

x_0

x_0 \in D_f

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

. Cela équivaut à

\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

Question

Qu'est-ce que le **prolongement par continuité** d'une fonction en un point

x_0

Réponse

Procédé permettant de définir une fonction

g

en un point

x_0

où

f

n'est pas définie, en posant

g(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)

si cette limite existe et est finie.

Question

Interprétez géométriquement la **dérivabilité** d'une fonction en un point

x_0

Réponse

La courbe de

f

admet une tangente au point

M(x_0; f(x_0))

de coefficient directeur

f'(x_0)

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Question

Énoncez la relation de dérivation pour la **fonction composée**

(g \circ f)'(x)

Réponse

(g \circ f)'(x) = f'(x) \times g'(f(x))

Question

Comment déterminer le **sens de variation** d'une fonction à partir de sa dérivée ?

Réponse

On étudie le signe de

f'

: si

f' > 0

alors

f

est strictement croissante ; si

f' < 0

alors

f

est strictement décroissante ; si

f' = 0

alors

f

est constante.

Question

Qu'est-ce qu'un **point d'inflexion** et quelle condition sur

f''

le caractérise ?

Réponse

Point où la courbe traverse sa tangente, changeant ainsi le sens de la concavité. Il est caractérisé par

f''(x_0) = 0

avec changement de signe de

f''

Lancer un quiz

Teste tes connaissances avec des questions interactives