Étude des fonctions : limites, continuité, dérivées

Ce chapitre couvre les concepts fondamentaux permettant d'analyser le comportement asymptotique des fonctions numériques. Vous apprendrez à calculer des limites, à identifier les asymptotes et à classifier les branches infinies des courbes.

Le théorème de comparaison établit que si f(x) ≤ g(x) et lim f(x) = +∞, alors lim g(x) = +∞. De même, si f(x) ≤ g(x) et lim g(x) = −∞, alors lim f(x) = −∞. Le théorème des gendarmes stipule que si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) et lim f(x) = lim g(x) = L, alors lim h(x) = L. Ces outils permettent de déterminer des limites sans calcul direct.

Pour la limite de la composée de deux fonctions : si lim(x→x₀) f(x) = L et lim(y→L) g(y) = L', alors lim(x→x₀) (g∘f)(x) = L'. Par exemple, pour calculer lim(x→+∞) cos((x+1)/(6x−1)·π), on pose f(x) = (x+1)/(6x−1)·π et g = cos. On trouve lim(x→+∞) f(x) = π/6, et lim(y→π/6) cos(y) = √3/2, donc la limite cherchée vaut √3/2.

Une asymptote horizontale y = L existe quand lim(x→±∞) f(x) = L. Une asymptote verticale x = x₀ existe quand lim(x→x₀) f(x) = ±∞. Une asymptote oblique y = ax + b existe quand lim(x→±∞) [f(x) − (ax+b)] = 0. Pour identifier une asymptote oblique, on calcule d'abord lim(x→±∞) f(x)/x : si cette limite vaut a, on cherche ensuite lim(x→±∞) [f(x) − ax] = b.

Les branches infinies caractérisent le comportement de la courbe quand lim(x→±∞) f(x) = ±∞. Si lim(x→±∞) f(x)/x = 0, il y a une branche parabolique de direction parallèle à l'axe des abscisses. Si cette limite est ±∞, la branche est parabolique de direction parallèle à l'axe des ordonnées. Si cette limite vaut a et lim(x→±∞) [f(x) − ax] = ±∞, on parle de branche parabolique de direction la droite y = ax. Quand l'asymptote oblique y = ax + b existe, la position relative de la courbe est donnée par le signe de f(x) − (ax+b) : négatif = courbe en dessous, positif = courbe au-dessus.

Une fonction f est continue en un point x₀ si x₀ appartient à son domaine de définition et si la limite de f(x) quand x tend vers x₀ est égale à f(x₀). On dit que f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.

Lorsqu'une fonction f est définie sur un intervalle I mais n'est pas définie en un point x₀ extérieur à I, on peut la prolonger par continuité si la limite de f(x) quand x tend vers x₀ existe et est finie. On définit alors une nouvelle fonction g qui vaut f(x) sur I et qui vaut cette limite en x₀.

L'image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone est un intervalle de même nature. Par exemple, si f est continue et strictement croissante sur [a, b], alors f([a, b]) = [f(a), f(b)]. Cette propriété garantit que les intervalles de définition se conservent sous des transformations continues.

Une fonction f est dérivable en un point x₀ si le quotient (f(x) − f(x₀))/(x − x₀) admet une limite finie quand x tend vers x₀. Le nombre dérivé f'(x₀) représente la pente de la tangente à la courbe au point (x₀, f(x₀)). Si les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes, le point est anguleux.

Pour les opérations sur les dérivées : (u + v)' = u' + v', (ku)' = ku' (k constante), (u × v)' = u'v + uv' (règle du produit), et (1/u)' = −u'/u². Si g ∘ f est la composée de deux fonctions dérivables, alors (g ∘ f)'(x) = f'(x) × g'(f(x)).

Le signe de la dérivée détermine le sens de variation : si f' > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I ; si f' < 0, alors f est strictement décroissante. La dérivée seconde f'' indique la concavité de la courbe : si f'' > 0, la concavité est dirigée vers le haut ; si f'' < 0, vers le bas. Un point d'inflexion existe où f'' s'annule en changeant de signe.

Une fonction réalise une bijection sur un intervalle I vers J = f(I) si elle est continue et strictement monotone. Cette condition garantit l'existence d'une fonction réciproque f⁻¹ qui inverse les rôles de départ et d'arrivée.

L'image d'un intervalle I par une fonction continue et strictement monotone est un intervalle J de même nature. Par exemple, l'image d'un intervalle fermé [a, b] par une fonction strictement croissante est [f(a), f(b)] ; si la fonction est strictement décroissante, c'est [f(b), f(a)].

La fonction réciproque f⁻¹ existe lorsque f est bijective. Elle satisfait : f⁻¹(f(x)) = x pour tout x ∈ I et f(f⁻¹(y)) = y pour tout y ∈ J. La dérivée de la fonction réciproque se calcule par la formule (f⁻¹)'(y) = 1 / f'(f⁻¹(y)), où f'(f⁻¹(y)) ≠ 0.