Espaces vectoriels : concepts fondamentaux

Introduction aux Espaces Vectoriels

Ce chapitre est fondamental en algèbre linéaire et est fréquemment évalué. Bien qu'abstrait, il est d'une importance capitale et doit être maîtrisé en profondeur. Il sera complété et approfondi dans des études ultérieures. La compréhension des concepts d'espaces vectoriels, de sous-espaces vectoriels, de familles libres, génératrices et de bases est essentielle.

I. Espaces Vectoriels

1. Généralités

Un espace vectoriel est une structure algébrique qui généralise la notion de vecteurs et les opérations d'addition vectorielle et de multiplication par un scalaire. Ces opérations doivent satisfaire un ensemble de propriétés spécifiques.

Définition 19.1. Lois de composition

Soit un ensemble non vide.

• Une loi est une loi de composition interne sur si . Cela signifie que l'addition de deux éléments de donne un résultat qui reste dans .
• Une loi est une loi de composition externe sur si . Cela signifie que la multiplication d'un élément de par un scalaire (un nombre réel) donne un résultat qui reste dans .

Exemple 19.1. Matrices

L'ensemble des matrices est un exemple classique. L'addition de matrices est une loi de composition interne, et la multiplication d'une matrice par un réel est une loi de composition externe.

Définition 19.2. Espace Vectoriel

Soit un ensemble non vide, muni d'une loi interne et d'une loi externe . est un espace vectoriel sur si les lois vérifient les huit propriétés suivantes :

1. (Commutativité de ) : . L'ordre des vecteurs dans une somme n'importe pas.
2. (Associativité de ) : . Le regroupement des termes dans une somme n'importe pas.
3. (Neutre pour ) : Il existe un élément unique, noté , tel que . Cet élément est appelé le vecteur nul.
4. (Symétrique pour ) : Pour tout , il existe un élément (unique) tel que . Cet élément est appelé le symétrique de et est noté .
5. (Neutre pour ) : . La multiplication par le scalaire 1 laisse le vecteur inchangé.
6. (Distributivité de par rapport à dans ) : .
7. (Distributivité de par rapport à dans ) : .
8. (Associativité mixte) : .

Les éléments de sont appelés vecteurs, et les réels sont appelés scalaires. Les quatre premières propriétés font de un groupe abélien (ou commutatif). Le symbole est souvent omis. On écrit pour .

Propriété 19.1. Unicité du vecteur nul

Dans un -espace vectoriel , le vecteur nul est unique. Souvent, on le notera si la confusion est impossible.

Propriété 19.2. Unicité du symétrique

Pour tout , son symétrique pour l'addition est unique et est noté .

2. Règles de calculs

Dans un espace vectoriel , on a les règles de calculs suivantes :

Proposition 19.3.

Pour tous et :

• et . La multiplication par le scalaire 0 ou par le vecteur nul donne toujours le vecteur nul.
• Si alors (règle de simplification pour l'addition).
• et .
• .

Théorème 19.4. Produit scalaire-vecteur nul

Soit et . Alors . Un produit scalaire-vecteur est nul si et seulement si le scalaire est nul ou le vecteur est nul.

3. Exemples fondamentaux

a. Ensembles

Pour , l'ensemble est muni des opérations suivantes :

• Addition : Si et , alors .
• Multiplication par un scalaire : Si et , alors .

Proposition 19.5. est un espace vectoriel

, muni de ces deux lois, forme un -espace vectoriel. Son vecteur nul est .

b. Ensembles de matrices

Proposition 19.6. Matrices colonnes

Les ensembles (matrices colonnes) pour , munis de l'addition de matrices et de la multiplication par un réel, sont des espaces vectoriels.

Proposition 19.7. est un espace vectoriel

Pour tout , l'ensemble des matrices forme un espace vectoriel, dont le vecteur nul est la matrice nulle (matrice dont tous les coefficients sont 0).

c. Ensemble de fonctions et de polynômes

Proposition 19.8. Espaces vectoriels usuels

• Pour tout entier , (polynômes de degré inférieur ou égal à ) et (polynômes) forment des espaces vectoriels, avec pour vecteur nul le polynôme nul.
• L'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel, de vecteur nul la suite constante nulle.
• Si est un intervalle, l'ensemble des fonctions définies sur forme un espace vectoriel, de vecteur nul la fonction nulle sur .

Proposition 19.9. Espace vectoriel de fonctions à valeurs dans un EV

Soient un ensemble quelconque, et un -espace vectoriel. L'ensemble des fonctions de vers , muni des lois suivantes, forme un -espace vectoriel :

• Pour tout et tout , .
• Pour tout , tout et tout , .

Cette proposition est très générale et englobe les exemples précédents ( est , est ).

4. Combinaison linéaire

Les combinaisons linéaires sont au cœur de la définition d'un espace vectoriel.

Définition 19.3. Famille finie de vecteurs

Une famille finie de vecteurs de est une -liste d'éléments de .

Exemple 19.2. Famille de matrices

Si et , alors est une famille de deux vecteurs de .

Définition 19.4. Combinaison linéaire

Soient une famille de vecteurs de . Un vecteur est une combinaison linéaire de cette famille s'il existe des réels (les coefficients) tels que .

Remarque : L'unicité des coefficients n'est pas garantie pour une combinaison linéaire générale. Elle l'est seulement si la famille est libre (voir plus loin).

Attention : Dans un -espace vectoriel, on peut faire des combinaisons linéaires, mais pas forcément de produit entre vecteurs (sauf si l'espace est une algèbre).

Exemple 19.3. Combinaison linéaire explicite

• Pour et , le vecteur est une combinaison linéaire de et .
• Dans , le polynôme peut s'écrire comme , c'est donc une combinaison linéaire des polynômes et .

Pour montrer qu'un vecteur est une combinaison linéaire d'une famille , on pose l'équation et on résout le système linéaire résultant pour trouver les . S'il existe des solutions, est une combinaison linéaire. S'il n'y a pas de solution, n'est pas une combinaison linéaire de cette famille.

Exercice 19.4. Exemple de résolution

Pour , et , on cherche tels que . Cela mène au système :

En résolvant ce système, on trouve et . Donc , et est bien une combinaison linéaire de et .

II. Sous-espace vectoriel

1. Définition

Un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel est appelé sous-espace vectoriel.

Définition 19.5. Sous-espace vectoriel (SEV)

Soit un espace vectoriel. Soit un sous-ensemble non vide de . On dit que est un sous-espace vectoriel de si les restrictions des lois et à font de un espace vectoriel.

Exemple 19.5. SEV triviaux

Si est un espace vectoriel, alors (l'ensemble contenant uniquement le vecteur nul) et lui-même sont toujours des sous-espaces vectoriels de . Ce sont les SEV triviaux.

Propriété 19.10. Condition nécessaire

Soit un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel . Alors . Cette propriété est souvent la première chose à vérifier.

Démonstration : Puisque est non vide, il contient au moins un vecteur . Comme est un espace vectoriel, il doit être stable par multiplication par un scalaire. Donc , et on sait que . D'où .

Remarque sur la notation :

• Si , on utilise des notations comme , .
• Si , on utilise , etc., en évitant , pour ne pas confondre avec la dérivée.
• Pour les espaces de fonctions, on utilise , en évitant , .
• Pour les suites , on utilise ou .
• Pour les matrices , on utilise .

Proposition 19.11. Critères de sous-espace vectoriel

Soit un sous-ensemble d'un espace vectoriel . Alors est un sous-espace vectoriel de si et seulement si :

1. (non vide, souvent vérifié en montrant que ).
2. ( est stable par addition).
3. ( est stable par multiplication par un scalaire).

Les deux dernières propriétés peuvent être regroupées en une seule : . C'est la méthode la plus courante pour démontrer qu'un ensemble est un SEV.

Exercice 19.6. Exemple de vérification SEV

Montrer que est un sous-espace vectoriel de .

1. : Pour , . Donc contient le vecteur nul.
2. Stabilité par combinaison linéaire : Soient , et . . Comme , le vecteur résultant est de la forme avec , donc .

Ainsi, est un sous-espace vectoriel de .

Exercice 19.7. Exemples de SEV et non-SEV

• est un SEV de (démonstration similaire à l'exercice 19.6, le vecteur nul vérifie l'équation, et la combinaison linéaire de deux vecteurs satisfaisant l'équation la satisfera aussi).
• est un SEV de (la suite nulle est dedans, et la combinaison linéaire de suites ayant un premier terme nul aura aussi un premier terme nul).
• est un SEV de (le polynôme nul vérifie la condition . Si et , alors ).
• l'ensemble des applications croissantes de dans n'est pas un SEV de . Par exemple, si (croissante) et (croissante), alors qui est décroissante, donc la stabilité par multiplication par un scalaire négatif n'est pas vérifiée.

Théorème 19.12. Solutions de systèmes linéaires homogènes

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène ( équations à inconnues) forme un sous-espace vectoriel de (ou ).

Proposition 19.13. Inclusions de SEV

Soit un -espace vectoriel.

• Si est un SEV de , et si est un SEV de , alors est un SEV de .
• Si et sont deux SEV de , tels que , alors est un SEV de .

2. Sous-espaces vectoriels usuels

Il est important de connaître et, si nécessaire, de savoir démontrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels :

• est un sous-espace vectoriel de .
• L'ensemble des suites réelles convergentes est un sous-espace vectoriel de .
• Si est un intervalle de , alors les ensembles des fonctions continues , dérivables , , etc., sont des sous-espaces vectoriels de .
• Les ensembles des matrices diagonales d'ordre , triangulaires supérieures (ou inférieures), symétriques et antisymétriques sont des sous-espaces vectoriels de .

Attention :

(l'ensemble des matrices inversibles d'ordre ) n'est pas un sous-espace vectoriel de , car il ne contient pas la matrice nulle (qui n'est pas inversible).

3. Intersection de sous-espaces vectoriels

L'intersection est une opération qui préserve la structure de sous-espace vectoriel.

Proposition 19.14. Intersection de SEV

Soit un espace vectoriel. Soit une famille de sous-espaces vectoriels de . Alors est un sous-espace vectoriel de .

Démonstration :

1. : Puisque chaque est un SEV, pour tout . Donc , ce qui implique .
2. Stabilité par combinaison linéaire : Soient et . Par définition de l'intersection, et pour tout . Puisque chaque est un SEV, pour tout . Donc , ce qui signifie .

Attention : L'union de deux sous-espaces vectoriels n'est pas (en général) un sous-espace vectoriel. Par exemple, dans , les axes des abscisses et des ordonnées sont des SEV. Leur union contient et mais pas leur somme , qui n'est ni sur l'axe des x ni sur l'axe des y.

4. Sous-espaces engendrés

Le concept de sous-espace engendré est crucial pour construire des SEV à partir d'une collection de vecteurs.

Définition 19.6. Sous-espace vectoriel engendré (Vect)

Soient une famille de vecteurs de . Le sous-espace vectoriel engendré par , noté , est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs :

.

Autrement dit, .

Par convention, si , .

Exemple 19.8. Vecteurs engendrés

• Si , alors . C'est la droite vectorielle passant par l'origine et le point .
• Pour les polynômes, est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à . Tout s'écrit . Donc .

Théorème 19.15. Vect est un SEV

Soit une famille de vecteurs de . Alors est un sous-espace vectoriel de , et il contient tous les vecteurs .

Démonstration : C'est un cas particulier de la proposition 19.11. Le vecteur nul peut être écrit comme , donc . La stabilité par combinaison linéaire est inhérente à la définition de .

Propriété 19.16. Propriétés de Vect

Soit une famille de vecteurs de .

• est le plus petit sous-espace vectoriel de contenant la famille . Si est un SEV contenant , alors nécessairement .
• est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de contenant les vecteurs .
• Si et si est une combinaison linéaire des vecteurs , alors . On peut "retirer" les vecteurs superflus.
• Si sont des réels tous non nuls, alors . De plus, on a . Ces propriétés sont utiles pour simplifier les familles génératrices.

Exemple 19.9. Simplification de Vect

• Si , alors car .
• Soient , et . Alors puisque .
• Si est un SEV contenant les vecteurs et précédents, alors .

Les propriétés précédentes permettent de simplifier l'écriture des sous-espaces vectoriels engendrés :

• On peut enlever un vecteur nul de la famille.
• On peut enlever un vecteur qui est combinaison linéaire des autres.
• On peut ajouter/soustraire un multiple d'un vecteur à un autre vecteur de la famille sans changer le sous-espace engendré (opération de pivot de Gauss).

Exemple 19.10. Simplification d'une famille génératrice de polynômes

Soit . On peut simplifier cette expression :

On constate que .

III. Familles libres, génératrices, bases d'un espace vectoriel

1. Définition de base

Une base est un ensemble de vecteurs qui permet de représenter tout autre vecteur de manière unique.

Définition 19.7. Base

Soit un espace vectoriel. Soit une famille de vecteurs de . On dit que est une base de si, pour tout vecteur de , il existe une unique -liste de réels tels que .

Les réels sont appelés les coordonnées de dans la base .

Exemple 19.11. Base d'une droite vectorielle

Si , tout élément de s'écrit de manière unique sous la forme . Ainsi, la famille est une base de . Les coordonnées d'un vecteur dans cette base sont simplement .

Pour montrer qu'une famille est une base d'un espace vectoriel , on prend un vecteur générique et on résout l'équation . Si cette équation admet une unique solution pour les coefficients , alors la famille est une base.

Exemple 19.12. Base de

Montrer que est une base de . On prend un vecteur générique . On cherche tels que . Cela donne le système :

Par substitution ou par la méthode de Cramer, on trouve une solution unique : et . Puisque la solution est unique pour tout , la famille est une base.

Exercice 19.13. Base de

Montrer que la famille forme une base de . On note que les degrés sont échelonnés (0, 1, 2), ce qui garantit la liberté. Pour la propriété génératrice, tout polynôme de degré 2 peut s'exprimer dans cette base en posant , donc . Alors est un polynôme de degré 2 en , et on peut toujours trouver des coefficients uniques pour . Ceci prouve à la fois que c'est une famille génératrice et que les coefficients sont uniques.

2. Famille libre, famille génératrice

La définition d'une base combine deux concepts importants : la liberté (unicité de la combinaison linéaire) et le caractère générateur (existence d'une combinaison linéaire pour tout vecteur).

Définition 19.8. Famille libre et famille génératrice

Soit un espace vectoriel. Soit une famille de vecteurs de .

• On dit que la famille est libre si la seule combinaison linéaire de ses éléments qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls : . Si elle n'est pas libre, on dit qu'elle est liée (il existe des coefficients non tous nuls donnant le vecteur nul).
• On dit que la famille est génératrice si . Cela signifie que tout vecteur de peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille.

Remarque sur la liberté :

Si une famille est libre, toute combinaison linéaire d'un vecteur est unique. Supposons . Alors . Par la définition de la liberté, cela implique pour tout , donc . L'unicité de la décomposition est donc bien liée à la liberté.

Pour montrer qu'une famille est libre, on pose l'équation et on résout le système linéaire. Si la seule solution est , la famille est libre. Sinon, elle est liée.

Exemple 19.14. Famille libre dans

Montrer que la famille est libre. On pose . De la troisième équation, . En remplaçant dans la deuxième, . La première est alors . La seule solution est , donc la famille est libre.

Remarque (Cas d'une famille de deux vecteurs) :

Une famille de deux vecteurs est liée si et seulement si l'un est un multiple de l'autre, c'est-à-dire s'ils sont colinéaires. S'il n'est pas évident qu'ils sont colinéaires, la famille est souvent libre. Dans l'exemple 19.14, les deux vecteurs ne sont pas colinéaires car il n'existe pas de tel que (le de la troisième composante serait , ce qui contredit les autres composantes).

Remarque (Cas des polynômes) :

Une famille de polynômes est souvent libre si elle est échelonnée en degré.

Définition 19.9. Famille échelonnée en degré

Une famille de vecteurs de est échelonnée en degré si elle est constituée de polynômes dont les degrés sont deux à deux distincts.

Exemple 19.15. Familles de polynômes échelonnées en degré

• est échelonnée en degré (degrés 0, 1, 2).
• est échelonnée en degré (degrés 1, 3, 5).

Théorème 19.17. Liberté d'une famille échelonnée en degré

Toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degré est libre. La preuve se fait par l'absurde, en considérant une combinaison linéaire nulle et en regardant le polynôme de plus haut degré.

Pour montrer qu'une famille est génératrice, on écrit avec (un vecteur générique de l'espace). On résout le système. S'il admet au moins une solution (pas forcément unique), alors la famille est génératrice. Sinon, elle ne l'est pas, et il faut exhiber un contre-exemple (un vecteur qui ne peut pas être atteint).

• Une famille libre est une famille dans laquelle aucun vecteur ne peut être exprimé comme combinaison linéaire des autres vecteurs. Si , alors , ce qui montre que la famille est liée (le coefficient de est ).
• Une famille génératrice est une famille qui permet de construire, par combinaison linéaire, tout vecteur de . L'unicité de cette décomposition n'est pas requise.

Pour déterminer une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel , on prend un vecteur de et on le décompose en fonction de paramètres. Ces paramètres deviennent les coefficients , et les vecteurs constants obtenus lors de la décomposition forment la famille génératrice.

Exemple 19.16. Famille génératrice d'un plan

Soit . Pour un vecteur , on a . Donc . Ainsi, tout vecteur de est une combinaison linéaire de et . Donc , et la famille est une famille génératrice de . Cette famille est de plus libre (non colinéaire), c'est donc une base de .

Théorème 19.18. Lien entre famille libre, génératrice et base

Soit un espace vectoriel. Soit une famille de vecteurs de . La famille est une base de si et seulement si elle est à la fois libre et génératrice.

Si , alors par définition, est une famille génératrice de . Si de plus elle est libre, c'est une base de .

3. Bases canoniques usuelles

Les bases canoniques sont des bases standards qui sont particulièrement simples et intuitives pour certains espaces vectoriels.

Définition 19.10. Bases canoniques

• Pour , la famille de vecteurs où est le vecteur ayant un 1 à la -ième position et 0 partout ailleurs (ex: , , ..., ) forme la base canonique de .
• Pour , la famille forme la base canonique de .
• Pour , la famille (où est la matrice ayant un 1 à la position et 0 partout ailleurs) forme la base canonique de .

Il est important de noter qu'une base n'est pas unique. Par exemple, dans , les vecteurs et forment également une base.

Exemple 19.17. Coordonnées dans différentes bases

Le polynôme .

• Dans la base canonique , ses coordonnées sont .
• Dans la base , ses coordonnées sont car .

Définition 19.11. Dimension

Nous verrons plus tard que, lorsqu'une base existe, toutes les bases d'un espace vectoriel ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé la dimension de l'espace vectoriel, notée .

Exemple 19.18. Dimensions d'espaces usuels

• a une dimension de 2. Plus généralement, a une dimension de .
• a une dimension de (car la base canonique contient éléments).
• a une dimension de .

Méthode pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel :

Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel , la démarche est la suivante :

1. Déterminer une famille génératrice de .
2. Vérifier si cette famille est libre.
3. Si la famille est libre et génératrice, c'est une base, et le nombre de ses éléments est la dimension de .
4. Si elle n'est pas libre, extraire une sous-famille libre et génératrice (en retirant les vecteurs linéairement dépendants) pour former une base.

Exemple 19.19. Dimension d'un SEV

Soit . Un vecteur vérifie . Donc . La famille est génératrice de . Elle est composée d'un seul vecteur non nul, elle est donc libre. C'est une base de . La dimension de est 1.

Exercices récapitulatifs et approfondis

Sous-espaces vectoriels

Exercice 1. Sous-espaces vectoriels de et

1. : Pas un SEV. Le vecteur nul n'appartient pas à (la deuxième composante doit être 1).
2. : Est un SEV. L'équation est linéaire et homogène.
3. : Pas un SEV. L'équation n'est pas linéaire. Par exemple, (), mais n'est pas dans car .
4. : Est un SEV. On peut l'écrire , c'est .
5. : Est un SEV. C'est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène.
6. : Est un SEV. C'est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène.
7. : Est un SEV. C'est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène.
8. : Est un SEV. On peut écrire , c'est .

Exercice 2. Sous-espaces et des matrices

Soit .

• : Est un SEV de . C'est le noyau de l'application linéaire . La matrice nulle (colonne) vérifie . Si et , alors . Donc .
• : Est un SEV de (le commutant de ). La matrice nulle (carrée) vérifie . Si et , alors . Donc .

Exercice 3. Polynômes

1. L'ensemble des polynômes de degré (exactement ) : Pas un SEV. Le polynôme nul n'est pas de degré . La somme de deux polynômes de degré peut être de degré inférieur à (ex: ).
2. Si , l'ensemble des polynômes tels que (c'est-à-dire est un multiple de ) : Est un SEV. C'est .
3. L'ensemble des polynômes ayant 0 comme racine : Est un SEV. Un polynôme a 0 comme racine si . Le polynôme nul vérifie cette condition. Si et , alors .
4. L'ensemble des polynômes ayant 0 comme racine double : Est un SEV. Un polynôme a 0 comme racine double si et . Le polynôme nul vérifie ces conditions. La stabilité par combinaison linéaire se démontre de manière similaire au point 3 et à l'exercice 2.
5. L'ensemble des polynômes vérifiant : Est un SEV (voir exercice 19.7).

Exercice 4. Espaces de suites et fonctions

1. L'ensemble des suites réelles bornées : Est un SEV de . La suite nulle est bornée. La somme de deux suites bornées est bornée. La multiplication d'une suite bornée par un scalaire est bornée.
2. L'ensemble des suites réelles croissantes : Pas un SEV (voir l'exemple de l'ensemble des fonctions croissantes dans l'exercice 19.7). est croissante, mais est décroissante.
3. L'ensemble des suites arithmétiques : Est un SEV de . Une suite arithmétique s'écrit . La suite nulle est arithmétique (). Si et , alors , qui est bien une suite arithmétique.
4. L'ensemble des suites géométriques : Pas un SEV. Une suite géométrique s'écrit . La suite nulle est géométrique (avec ). Cependant, la somme de deux suites géométriques n'est généralement pas géométrique. Ex: n'est pas géométrique.
5. L'ensemble des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 de paramètres () : Est un SEV de . La suite nulle vérifie la relation. Si , alors .
6. L'ensemble des suites convergentes : Est un SEV de (la limite de la somme est la somme des limites, la limite du produit par un scalaire est le produit des limites).
7. L'ensemble des suites convergentes de limite 1 : Pas un SEV. La suite nulle ne converge pas vers 1. Si et , alors , donc la somme n'appartient pas à l'ensemble.
8. L'ensemble des fonctions de dans qui s'annulent (fonctions nulles) : Cet énoncé est ambigu. Si cela signifie "qui s'annulent quelque part" (), ce n'est pas un SEV (ex: et s'annulent, mais leur somme ne s'annule jamais). Si cela signifie "qui sont la fonction nulle", alors c'est , qui est un SEV trivial.
9. L'ensemble des fonctions -périodiques (où est fixé) : Est un SEV de . La fonction nulle est -périodique. La somme et le produit par un scalaire de fonctions -périodiques sont -périodiques.
10. L'ensemble des bijections de dans : Pas un SEV. La fonction nulle n'est pas une bijection. La somme de deux bijections n'est pas forcément une bijection.
11. L'ensemble des fonctions continues sur , d'intégrale nulle sur : Est un SEV de . La fonction nulle vérifie . Si et , alors .

Exercice 5. Combinaisons linéaires

Pour et .

• : Cherchons . , , . De (2) et (3), . En substituant dans (3), . Donc . Vérification avec (1): . Donc . C'est une CL.
• : , , . De (1)+(2), . De (1), . Vérification avec (3): . Donc . C'est une CL.
• : , , . De (1)+(2), . De (1), . Vérification avec (3): . Donc . C'est une CL.

est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires , pour tout . C'est un plan dans .

Exercice 6. Egalité de sous-espaces vectoriels

Soient , , , . Montrer que .

Méthode : Pour montrer l'égalité , on montre par double inclusion que et .

Pour montrer , il suffit de montrer que et .

• Pour : On cherche tels que . . De (1), . Substituer dans (2): . Alors . Vérifier avec (3): . C'est vérifié. Donc .
• Pour : On cherche tels que . . De (1), . Substituer dans (2): . Alors . Vérifier avec (3): . C'est vérifié. Donc .

Puisque et sont des CL de et , on a bien . Pour l'inclusion inverse, on peut montrer que et sont des CL de et . . . Donc et . Cela prouve . Par double inclusion, on a .

Familles libres, génératrices, bases

Exercice 7. Famille libre dans

La famille est-elle libre, où , , ?

On pose : De (1), . Substituer dans (2): . Substituer dans (3): . Le système a des solutions non triviales. Par exemple, si , alors et . Donc . La famille est liée.

Exercice 8. Liberté ou dépendance de familles

1. dans . On calcule le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs. . Le déterminant est non nul, donc la famille est libre.
2. dans . Calculons le déterminant : . Le déterminant est nul, donc la famille est liée. On peut trouver une relation de dépendance: . Donc .
3. Pour , la famille . Cette famille est libre. C'est un résultat classique sur l'indépendance linéaire des fonctions exponentielles. Si , en dérivant fois et en faisant ou en utilisant des arguments de Wronskien, on montre que tous les doivent être nuls.
4. Les suites définies par . Cette famille est libre. On pose pour tout . Pour : . Pour : . Pour : . On résout ce système linéaire pour . La seule solution est .
5. . Ces polynômes sont de degré 2. Notons . En , , , . En , , , . En , , , . C'est une famille échelonnée en degré (après développement, ils sont tous de degré 2, mais on peut remarquer qu'ils forment une base de via les bases de Lagrange). Plus simplement, les degrés sont tous 2. Une famille de 3 polynômes de degré 2 ne peut pas être échelonnée en degré. Sont-ils libres? Oui. En effet, si . En , . En , . En , . La famille est libre. Puisqu'elle a 3 vecteurs et , c'est aussi une base.

Exercice 9. Une base de

On note , et . Montrer que est une base de .

Pour être une base de (qui est de dimension 3), la famille doit être libre (et génératrice). Il suffit de vérifier la liberté, car une famille libre de vecteurs dans un espace de dimension est automatiquement génératrice.

Calculons le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs : . Le déterminant est non nul, donc la famille est libre. C'est une base de .

Exercice 10. Bases des espaces vectoriels indiqués

1. est une base de . Deux vecteurs dans un espace de dimension 2. Il suffit de vérifier la liberté. Les vecteurs sont-ils colinéaires? Non, car n'est pas un multiple de (leurs deuxièmes composantes ont des signes opposés pour des premières composantes identiques). Donc, la famille est libre et c'est une base. Alternativement, le déterminant .
2. est une base de . Trois vecteurs dans un espace de dimension 3. Il suffit de vérifier la liberté (déterminant non nul). . Le déterminant est nul, donc la famille est liée. Ce n'est pas une base.

Exercice 11. Systèmes de générateurs

Pour chacun des espaces suivants, déterminer un système de générateurs, et en déduire que ce sont des sous-espaces vectoriels.

• . . Système générateur : . C'est un SEV car c'est un Vect.
• C'est un SEV car c'est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène. Additionnons les deux équations: . Substituons dans la première: . Donc . Système générateur : . C'est un SEV car c'est un Vect.
• C'est un SEV car c'est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène pour les coefficients de la matrice. De la première équation, . De la seconde, . La matrice s'écrit alors . Système générateur : . C'est un SEV car c'est un Vect.

Exercice 12. Générateurs et espaces vectoriels

1. : , donc . C'est , donc un SEV. Famille génératrice : .
2. : , donc . C'est , donc un SEV. Famille génératrice : .
3. : C'est un SEV (système linéaire homogène). Ajoutons les équations : . De la première équation : . Donc . Famille génératrice : (ou, en multipliant par 3, ).
4. : Il s'agit de trouver l'image d'une application linéaire. . Famille génératrice : .
5. : C'est un SEV (voir Exercice 3). Si , alors est un facteur de . Donc où . . Donc . Famille génératrice : .
6. : Un élément de cet espace est de la forme . C'est . Famille génératrice : où est la suite avec un 1 à l'indice et 0 ailleurs. C'est un SEV, de dimension 3.

Exercice 13. Matrices symétriques et antisymétriques

Déterminer une base de (matrices symétriques) et de (matrices antisymétriques).

• Matrices symétriques avec . Une base est formée des matrices (1 sur la diagonale, 0 ailleurs) et pour (1 aux positions et ). Dimension : éléments pour la diagonale, et éléments pour la partie strictement supérieure (ou inférieure). Donc .
• Matrices antisymétriques avec . Cela implique . Une base est formée des matrices pour (1 à la position , -1 à la position ). Dimension : Il y a tels éléments. Donc .

Exercice 14. Bases de sous-espaces vectoriels

1. dans . On a 3 vecteurs. Testons la liberté. . La famille est liée. Puisque la dimension est inférieure à 3, on peut en extraire une base. Par exemple, et sont clairement non colinéaires, donc ils forment une base de ce sous-espace. La dimension est 2.
2. dans . C'est un plan. . . Une base est . La dimension est 2.
3. dans (). Si et , alors est une racine de multiplicité au moins 2. Donc divise . Ainsi, , où . Une base pour est . Donc une base pour l'espace des polynômes est . La dimension est .
4. dans (). Un polynôme . et . L'équation devient . . Ceci implique , soit . . C'est une condition linéaire unique sur les coefficients. Les polynômes de cet espace sont de la forme avec . Si est pair, le dernier terme est . Si est impair, le dernier terme est . Cela signifie que l'un des coefficients impairs est déterminé par les autres. Il y a coefficients libres moins 1 condition, donc degrés de liberté. Une base est par exemple . La dimension est .

Exercice 15. De la division euclidienne

Soient et deux réels distincts. , et .

1. Démontrer que est une base de . Les degrés des polynômes sont 0, 1, 2 respectivement. La famille est échelonnée en degré et est composée de 3 polynômes non nuls. D'après le Théorème 19.17, elle est libre. Puisque , cette famille est une base.
2. Soit . Déterminer les coordonnées de dans la base , en fonction de et . . Évaluons en : . Donc . Évaluons en : . En remplaçant : . Pour , on compare les coefficients du terme de plus haut degré. . Si , alors . Les coordonnées sont .

Exercice 16. Un ensemble trigonométrique

Soit .

1. Montrer que est un espace vectoriel, dont on déterminera une base. . Puisque c'est un Vect, c'est un SEV. Pour une base, il faut montrer que est libre. Supposons pour tout . Pour : . Pour : . Pour : . En utilisant , les équations deviennent: . . Si , alors . Donc . La famille est libre. Une base est . La dimension de est 3.
2. La famille est-elle une base de ? On sait que . Donc . Ainsi, est une combinaison linéaire des éléments de la base canonique de . Donc, les fonctions , , sont dans . La famille est-elle libre? Supposons . En remplaçant par : . . Puisque est une base, les coefficients doivent être nuls : . . . La famille est libre. Elle a 3 vecteurs dans un espace de dimension 3, donc c'est une base de .
3. Montrer que la famille est une base de . On sait que . Donc . La fonction est une combinaison linéaire des éléments et . Donc, la famille est liée. Par exemple, . Ce n'est pas une base de . Il y a une faute dans l'énoncé de l'exercice, ou il faut comprendre la question différemment. Peut-être la question est-elle "La famille est-elle une base de , en considérant les éléments comme vecteurs dans ?" Dans ce cas, et sont bien dans . Pour , , donc . Mais comme vu, est une relation de dépendance non triviale entre les vecteurs. Donc cette famille est liée, et ne peut pas être une base.
4. Déterminer les coordonnées de dans les bases précédentes. Dans la base : . Coordonnées : . Dans la base : . Coordonnées : .

Exercice 17. Un ensemble de matrice

On note . (C'est l'espace des matrices antisymétriques d'ordre 3).

1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de . La matrice nulle correspond à , donc elle est dans . Soient et dans , et . . Cette matrice est de la même forme, avec , , . Donc est un SEV.
2. Déterminer une base , la plus simple possible, de . On peut décomposer une matrice comme suit : . Soient , , . La famille est génératrice. Elle est aussi libre car si , alors on voit facilement que en regardant les coefficients. Donc est une base de . La dimension de est 3.
3. Démontrer que . Cela signifie qu'aucune matrice antisymétrique d'ordre 3 n'est inversible. Le déterminant d'une matrice antisymétrique d'ordre impair est toujours nul. Soit . . Comme est antisymétrique, . Donc . Cela implique . Puisque le déterminant de toute matrice dans est 0, aucune matrice de n'est inversible. Donc .
4. Soit . et . Montrer que . Soit . . . . Puisque est un multiple scalaire de , et , alors (car est un SEV, donc stable par multiplication par un scalaire).
dans la base , en fonction des coordonnées de . Les coordonnées de dans sont . Puisque , les coordonnées de sont . . On a . Donc le polynôme est un polynôme annulateur de . un entier. Exprimer en fonction de , , et des coordonnées de dans la base . On utilise la relation où . Par récurrence : Si est un multiple de 3, : . Ceci n'est pas l'expression demandée. On peut écrire comme une combinaison linéaire de . Si : . Mais , , . En général, si : . Non, on a pour . La relation implique : Si est impair, : . . (C'est compliqué.) Si est pair, : . Plus simplement, en utilisant : Pour , . Ainsi, si est pair : . Si est impair : . Cette expression de est en fonction de et et de (qui dépend des coordonnées de ).