Équations différentielles : solutions et unicité

Chapitre 9 : Équations différentielles

Les équations différentielles, apparues au XVIIe siècle avec les travaux de Newton et Leibniz, sont des outils mathématiques fondamentaux pour décrire les phénomènes physiques, biologiques ou économiques. Elles mettent en relation une fonction, une variable et ses dérivées successives. Résoudre une équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions qui satisfont cette relation.

I. Introduction aux équations différentielles

Une équation différentielle est une relation entre une variable (réelle ou ), une fonction dépendant de cette variable, et ses dérivées successives (, , etc.). Par exemple, la résolution de donne , où est une constante. Il existe une infinité de solutions. Si une condition initiale est imposée, comme , alors , menant à une solution unique .

II. Équations différentielles du type

A. Solution générale de l'équation homogène

Les solutions de l'équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficient constant (où est un réel) sont de la forme , où . Démonstration : Si est une solution, et en posant , on trouve que . Puisque , alors , ce qui implique (constante). Donc, , d'où . Exemples :

• Pour , les solutions sont .
• Pour (soit ), les solutions sont .

B. Solution générale de l'équation

Les solutions de l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant (où et sont des réels) sont de la forme , où . Exemple : Pour , les solutions sont .

C. Unicité de la solution sous condition initiale (Propriété de Cauchy-Lipschitz)

Pour des réels et donnés, l'équation différentielle admet une **unique** solution dérivable sur vérifiant la condition initiale . Exemple : Pour avec : Les solutions générales sont . En utilisant : . La solution unique est donc .

III. Équations différentielles du type

A. Solution générale

Les solutions de l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant (où est un réel) sont de la forme , où . Exemples :

• Pour (), les solutions sont .
• Pour (soit , d'où ), les solutions sont .

Il est parfois utile de transformer l'écriture de la solution en ou en utilisant les formules trigonométriques d'addition. Par exemple, peut être réécrite comme ou .

B. Unicité de la solution sous condition initiale (Propriété de Cauchy-Lipschitz)

L'équation différentielle admet une **unique** solution définie sur vérifiant deux conditions initiales données, qui peuvent être de la forme ou . Exemple : Pour avec et : 1. L'équation s'écrit . Solutions générales: . 2. Avec : . 3. On calcule . 4. Avec : . 5. Résolution du système: . 6. La solution unique est , qui peut être transformée en ou .