Ensembles et Intervalles : Concepts Fondamentaux
49 cartesCe document couvre les bases des ensembles, y compris les définitions, les opérations telles que l'union, l'intersection, le produit cartésien, et le concept d'intervalles dans l'ensemble des nombres réels.
29 cartes
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La répétition espacée te présente chaque carte au moment optimal pour la mémoriser durablement, en espaçant les révisions de façon croissante.
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Qu'est-ce qu'un ensemble ?
Réponse
Une collection ou un groupement d'objets appelés éléments, sans ordre ni répétition.
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Comment note-t-on qu'un élément x appartient à un ensemble E ?
Réponse
La relation d'appartenance se note : x ∈ E.
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Quand dit-on que deux ensembles A et B sont égaux ?
Réponse
Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils contiennent les mêmes éléments.
Formellement, A = B ssi ∀ x, x ∈ A ⇛ x ∈ B
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Que signifie A ⊂ B ?
Réponse
Tout élément de A est aussi un élément de B. On dit que A est inclus dans B. A ⊂ B ⇛ ∀ x, x ∈ A ⇛ x ∈ B
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Qu'est-ce que l'ensemble des parties de E ?
Réponse
C'est l'ensemble de tous les sous-ensembles de E, noté P(E).
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Définir la réunion de deux ensembles A et B.
Réponse
C'est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B, noté A ∪ B. A ∪ B = { x ∈ A ou x ∈ B}
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Définir l'intersection de deux ensembles A et B.
Réponse
C'est l'ensemble des éléments appartenant simultanément à A et à B, noté A ∩ B. A ∩ B = { x ∈ A et x ∈ B}
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Qu'est-ce que le complémentaire d'une partie A dans E ?
Réponse
L'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à A. Il est noté AC ou ‾A.
Formellement, AC = { x ∈ E, x ∉ A }
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Qu'est-ce que la différence de deux ensembles A et B ?
Réponse
L'ensemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B, noté A \ B.
Formellement, A \ B = { x ∈ A et x ∉ B}
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Qu'est-ce que la différence symétrique de A et B ?
Réponse
L'ensemble des éléments appartenant à A ou B, mais pas aux deux, noté A Δ B.
Formellement, (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) ou (A ∪ B) ∖(A ∩ B)
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Comment s'appelle un ensemble ne contenant qu'un seul élément ?
Réponse
Un singleton, noté {x}.
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Qu'est-ce que l'ensemble vide ?
Réponse
C'est l'unique ensemble qui ne contient aucun élément, noté ∅.
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Quelle est la propriété de distributivité de ∩ sur ∪ ?
Réponse
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
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Énoncer l'une des lois de De Morgan pour le complémentaire.
Réponse
Le complémentaire de l'intersection est la réunion des complémentaires : CE(A ∩ B) = CE(A) ∪ CE(B).
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Qu'est-ce que le produit cartésien de A et B ?
Réponse
L'ensemble des couples (a, b) où a ∈ A et b ∈ B, noté A × B.
Formellement, A x B = { (a,b) ∣ a ∈ A, b ∈ B}
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Qu'est-ce que le cardinal d'un ensemble fini ?
Réponse
Le nombre de ses éléments, noté card(E).
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Quelle est la formule du cardinal de l'union de deux ensembles ?
Réponse
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B).
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Quelle est la formule du cardinal du produit cartésien ?
Réponse
card(A × B) = card(A) × card(B).
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Qu'est-ce qu'un intervalle de ℝ ?
Réponse
Un sous-ensemble de ℝ contenant tous les réels compris entre deux bornes (inférieure et supérieure).
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Comment écrire l'intervalle correspondant à a ≤ x < b ?
Réponse
Cet intervalle semi-ouvert se note [a, b[.
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Comment prouver en pratique l'égalité de deux ensembles A et B ?
Réponse
On utilise la double inclusion : on montre que A ⊂ B et que B ⊂ A.
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Comment s'appellent les schémas graphiques utilisés pour représenter les ensembles ?
Réponse
Des diagrammes de Venn.
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Que représente l'inégalité |x - a| ≤ r ?
Réponse
L'ensemble des points x appartenant à l'intervalle fermé [a - r, a + r].
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Citez la hiérarchie d'inclusion des principaux ensembles de nombres.
Réponse
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
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Quel est la différence entre ∈ et ⊂ ?
Réponse
∈ s'utilise pour les éléments et ⊂ s'utilise pour les ensembles.
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Quelles sont les propriétés de la réunion ?
Réponse
A ∪ ∅ = A
si A ⊂ B alors A ∪ B = B
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Quelles sont les propriétés de l'intersection ?
Réponse
A ∩ ∅ = ∅
si A ⊂ B alors A ∩ B = A
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Que vaut le cardinal de l'ensemble vide ? Même question pour un singleton.
Réponse
card(∅) = 0
card({x}) = 1
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Quel est le cardinal de l'ensemble complémentaire ?
Réponse
card(Ā) = card(E) - card(A)
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Fiche de révision
Teste ta compréhension
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Comment est noté l'ensemble vide ?
Comment est notée la relation 'A est inclus dans B' ?
Quel ensemble contient l'ensemble des entiers relatifs ?
Si A est un sous-ensemble de B, que peut-on dire de A∪B ?
Quelle est la formule de la distributivité de l'intersection sur la réunion ?
Qu'est-ce que le complémentaire d'un ensemble A dans E ?
Qu'est-ce qu'un ensemble selon la définition donnée ?
Comment est définie la différence de deux ensembles A et B ?
Si A est un sous-ensemble de B, que peut-on dire de A∩B ?
Comment est définie la réunion de deux ensembles A et B ?
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