Correction exercice 12 : Inégalités et implications

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Question

Quelles sont les racines de l'équation x² + x - 2 = 0 ?

Réponse

Les racines de l'équation x² + x - 2 = 0 sont x = 1 et x = -2.

Question

Si x ≥ 0 est faux, que peut-on dire de (x ≥ 0 ⇒ P(x)) ?

Réponse

Si x ≥ 0 est faux, alors l'implication (x ≥ 0 ⇒ P(x)) est toujours vraie, quelle que soit la valeur de vérité de P(x).

Question

Quelle est la solution de l'assertion P(x) ?

Réponse

a) L'assertion P(x) est vraie pour x ∈ [-2, 1]. b) L'assertion (x ≥ 0 ⇒ P(x)) est vraie pour x ∈ [-2, 1] ∪ [0, ∞[ = [-2, ∞[.

Question

Quel est le signe de x² + x - 2 entre ses racines ?

Réponse

Entre ses racines, le signe de x² + x - 2 est négatif.

Question

Comment combiner les conditions x ≥ 0 et P(x) pour l'implication ?

Réponse

Pour que l'implication (x ≥ 0 ⇒ P(x)) soit vraie, il faut que x soit dans l'intervalle [0, 1]. En effet, si x < 0, l'implication est vraie par défaut. Si x ≥ 0, il faut que P(x) soit vraie, ce qui est le cas pour x ∈ [-2, 1]. L'intersection des deux conditions donne x ∈ [0, 1].

Question

Comment représenter l'ensemble solution de P(x) sur une droite numérique ?

Réponse

Pour représenter l'ensemble solution de P(x) sur une droite numérique, on cherche les valeurs de x pour lesquelles x² + x - 2 ≤ 0. Les racines de x² + x - 2 = 0 sont -2 et 1. Le trinôme est négatif entre ses racines. L'ensemble solution est donc [-2, 1]. On représente cet intervalle par un segment fermé sur la droite numérique, avec des crochets indiquant que les bornes sont incluses.

Question

Pour quelles valeurs de x l'assertion x ≥ 0 est-elle vraie ?

Réponse

L'assertion x ≥ 0 est vraie pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle [0; +∞).

Question

Comment factoriser le polynôme x² + x - 2 ?

Réponse

Pour factoriser le polynôme x² + x - 2, on cherche deux nombres dont la somme est 1 et le produit est -2. Ces nombres sont 2 et -1. Donc, la factorisation est (x + 2)(x - 1).

Question

Comment résoudre l'inéquation x² + x - 2 ≤ 0 ?

Réponse

Pour résoudre l'inéquation x² + x - 2 ≤ 0, on cherche les racines du polynôme x² + x - 2 = 0. Les racines sont x = 1 et x = -2. Comme le coefficient de x² est positif, le parabole est tournée vers le haut. L'inéquation est donc vérifiée pour x ∈ [-2, 1].

Question

Quelle est la relation entre x ≥ 0 et l'ensemble solution de P(x) pour l'implication ?

Réponse

L'implication (x ≥ 0 ⇒ P(x)) est vraie si x < 0 ou si x est dans l'ensemble solution de P(x) qui est [-2, 1]. Donc, l'ensemble solution est [0, 1].

Question

Quelle est la définition d'une implication A ⇒ B ?

Réponse

Une implication A ⇒ B est vraie sauf si A est vraie et B est fausse.

Question

Quand l'implication A ⇒ B est-elle fausse ?

Réponse

L'implication A ⇒ B est fausse si et seulement si A est vraie et B est fausse.

Correction de l'Exercice 12 : Analyse d'Assertions

Cet exercice porte sur la détermination des valeurs de x pour lesquelles certaines assertions sont vraies. Nous allons analyser chaque assertion séparément.

a) Pour quelles valeurs de x l'assertion P(x) est-elle vraie ?

L'assertion P(x) est donnée par x² + x - 2 ≤ 0.

Recherche des racines du trinôme :
Nous commençons par trouver les racines de l'équation x² + x - 2 = 0. Le discriminant Δ est b² - 4ac = 1² - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9. Les racines sont x₁ = (-b - √Δ) / 2a = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2 et x₂ = (-b + √Δ) / 2a = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1.
Analyse du signe du trinôme :
Puisque le coefficient de x² (qui est 1) est positif, la parabole est ouverte vers le haut. Le trinôme x² + x - 2 est donc négatif ou nul entre ses racines.
Conclusion :
L'assertion P(x) est vraie pour x ∈ [-2, 1].

b) Pour quelles valeurs de x l'assertion (x ≥ 0 ⇒ P(x)) est-elle vraie ?

L'assertion à analyser est une implication : (x ≥ 0 ⇒ P(x)). Rappelons qu'une implication (A ⇒ B) est fausse uniquement si A est vraie et B est fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.

Nous allons examiner les différents cas pour x :

Cas 1 : x < 0
Dans ce cas, la prémisse (x ≥ 0) est fausse. Lorsque la prémisse d'une implication est fausse, l'implication entière est vraie, quelle que soit la valeur de vérité de P(x). Donc, pour tout x ∈ ]-∞, 0[, l'assertion (x ≥ 0 ⇒ P(x)) est vraie.
Cas 2 : x ≥ 0
Dans ce cas, la prémisse (x ≥ 0) est vraie. Pour que l'implication (x ≥ 0 ⇒ P(x)) soit vraie, il faut que la conclusion P(x) soit également vraie. Nous savons d'après la partie a) que P(x) est vraie pour x ∈ [-2, 1]. En combinant x ≥ 0 et x ∈ [-2, 1], nous obtenons x ∈ [0, 1]. Donc, pour tout x ∈ [0, 1], l'assertion (x ≥ 0 ⇒ P(x)) est vraie.

Synthèse des cas :

Intervalle de x	Valeur de vérité de (x ≥ 0)	Valeur de vérité de P(x)	Valeur de vérité de (x ≥ 0 ⇒ P(x))
x ∈ ]-∞, -2[	Faux	Faux	Vrai
x ∈ [-2, 0[	Faux	Vrai	Vrai
x ∈ [0, 1]	Vrai	Vrai	Vrai
x ∈ ]1, +∞[	Vrai	Faux	Faux

Conclusion :
En combinant les cas où l'implication est vraie, nous obtenons x ∈ ]-∞, 0[ ∪ [0, 1], ce qui simplifie en x ∈ ]-∞, 1]. L'assertion (x ≥ 0 ⇒ P(x)) est vraie pour x ∈ ]-∞, 1].

Récapitulatif des Réponses

a) L'assertion P(x) est vraie pour x ∈ [-2, 1].
b) L'assertion (x ≥ 0 ⇒ P(x)) est vraie pour x ∈ ]-∞, 1].

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