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Chapitre 1 : Ordre et comparaison des réels

20 cartes

Rappelle les propriétés de l’ordre sur les réels, le signe d’une différence et la comparaison des carrés selon le signe des nombres.

5 cartes

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Question

Sur R\mathbb{R}, quelle est la nature de la relation ≤\leq ?

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Réponse

Pour tous a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}, la relation ≤\leq est une relation d'ordre.

Question

Pour deux nombres de R−\mathbb{R}^- tels que a≤ba \le b, quelle comparaison vaut entre leurs carrés ?

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Réponse

L’ordre des carrés s’inverse : si a,b∈R−a,b \in \mathbb{R}^- et a≤ba \le b, alors a2≥b2a^2 \ge b^2.

Question

Pour a,b∈R+a,b \in \mathbb{R}^+ tels que a≤ba \le b, quelle comparaison vaut entre leurs carrés ?

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Réponse

Lorsque a,b∈R+a,b \in \mathbb{R}^+ et a≤ba \le b, on a a2≤b2a^2 \le b^2.

Question

Si a≥ba \ge b, que vaut le signe de a−ba-b ?

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Réponse

Si a≥ba \ge b, alors a−b≥0a-b \ge 0.

Question

Si a≤ba \le b, que vaut le signe de a−ba-b ?

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Réponse

Si a≤ba \le b, alors a−b≤0a-b \le 0.

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Fiche de révision

Chapitre 1 : Introduction

Vue d’ensemble
Les réels et leurs opposés sont le point de départ.
L’ordre s’exprime par la différence.
Pour des nombres de même signe, l’ordre détermine la comparaison de leurs carrés : il est conservé pour les positifs et inversé pour les négatifs.

La comparaison se traduit par le signe de la différence; pour des nombres de même signe, l’ordre est conservé ou inversé lorsqu’on compare leurs carrés.

Calculer un nombre Si x∈Rx\in\mathbb R, alors x,−x∈Rx,-x\in\mathbb R.

Relation d’ordre Pour tout a,b∈Ra,b\in\mathbb R, ≤\le est une relation d’ordre.

Théorème de la monotonie du signe de la différence

  • a≤b⇒a−b≤0a\le b\Rightarrow a-b\le0.
  • a≥b⇒a−b≥0a\ge b\Rightarrow a-b\ge0.

Comparaison des carrés

  • Si a,b∈R+a,b\in\mathbb R^+ et a≤ba\le b, alors a2≤b2a^2\le b^2.
  • Si a,b∈R−a,b\in\mathbb R^- et a≤ba\le b, alors a2≥b2a^2\ge b^2.
  • Exemples : 2<3⇒4<92<3\Rightarrow 4<9; −6<−5⇒36>25-6<-5\Rightarrow 36>25.

Chapitre 1 : Introduction

Calculer un nombre : Si x∈Rx\in\mathbb R, alors −x∈R-x\in\mathbb R.

Relation d’ordre : Sur R\mathbb R, ≤\le est une relation d’ordre.

Monotonie du signe de la différence :

a≤b  ⟹  a−b≤0a\le b\implies a-b\le0

a≥b  ⟹  a−b≥0a\ge b\implies a-b\ge0

Comparaison des carrés :

Cas Comparaison
a,b∈R+a,b\in\mathbb R^+ a≤b  ⟹  a2≤b2a\le b\implies a^2\le b^2
a,b∈R−a,b\in\mathbb R^- a≤b  ⟹  a2≥b2a\le b\implies a^2\ge b^2

Exemples : 2<32<3, donc 4<94<9 ; −6<−5-6<-5, donc 36>2536>25. Mémo : « + garde, − inverse ».

Teste ta compréhension

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Pour comparer deux réels comme −2-2 et 44, la relation ≤\le est une relation d'ordre.

Texte à trous

  • Pour $a=-3$ et $b=5$, comme $a \le b$, le théorème donne $a-b$ ≤ $0$.
  • Pour $a=-5$ et $b=-2$, comme ces deux nombres sont négatifs et que $a \le b$, on a $a^2$ ≥ $b^2$.
  • Pour $a=1$ et $b=4$, comme ces deux nombres sont positifs et que $a \le b$, on a $a^2$ ≤ $b^2$.
  • Pour $a=9$ et $b=3$, comme $a \ge b$, le théorème donne $a-b$ ≥ $0$.

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