Chapitre 0 – Outils mathématiques et physiques

Champ scalaire et champ vectoriel — Qu’est-ce qu’un champ scalaire ?
Un champ scalaire associe à chaque point $M$ de l’espace un nombre : $f(M)=f(x,y,z)$. Exemples : température $T(M)$, pression $P(M)$, potentiel électrostatique $V(M)$. Les surfaces $f(M)=\text{constante}$ sont des surfaces de niveau : isothermes, isobares ou équipotentielles.

Champ scalaire et champ vectoriel — Qu’est-ce qu’un champ vectoriel ?
Il associe à chaque point un vecteur $\vec A(M)=A_x\vec e_x+A_y\vec e_y+A_z\vec e_z$. Exemples : vitesse d’un fluide, champ électrostatique $\vec E(M)$, champ de pesanteur $\vec g(M)$. Une ligne de champ est une courbe tangente au champ en chaque point. Un tube de champ est un ensemble de lignes s’appuyant sur une courbe fermée. Un champ uniforme a partout même module, direction et sens. Un champ central (ou radial) a une direction passant par un point fixe $O$ ; ses lignes sont des droites passant par $O$.

Coordonnées — Comment choisir le système de coordonnées ?
On choisit celui qui correspond à la symétrie du problème et simplifie l’expression recherchée.

Coordonnées cartésiennes — Quelles sont les relations et les grandeurs élémentaires ?
$\overrightarrow{OP}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$. La base $(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)$ est orthonormée directe et fixe. $d\vec l=dx\,\vec e_x+dy\,\vec e_y+dz\,\vec e_z$ ; $dS=dx\,dy$ (normale $\vec e_z$), $dy\,dz$ (normale $\vec e_x$), ou $dx\,dz$ (normale $\vec e_y$) ; $d\tau=dx\,dy\,dz$.

Coordonnées cylindriques — Quelles sont les relations et les grandeurs élémentaires ?
$r\geq0$, $0\leq\theta<2\pi$ ; $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$. La base locale dépend de $\theta$. $d\vec l=dr\,\vec e_r+r\,d\theta\,\vec e_\theta+dz\,\vec e_z$. Les éléments de surface sont $r\,dr\,d\theta$ (normale $\vec e_z$), $dr\,dz$ (normale $\vec e_\theta$) et $r\,d\theta\,dz$ (normale $\vec e_r$). $d\tau=r\,dr\,d\theta\,dz$.

Coordonnées sphériques — Quelles sont les relations et les grandeurs élémentaires ?
$r\geq0$, $0\leq\theta\leq\pi$, $0\leq\phi<2\pi$ ; $x=r\sin\theta\cos\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$, $z=r\cos\theta$.
$d\vec l=dr\,\vec e_r+r\,d\theta\,\vec e_\theta+r\sin\theta\,d\phi\,\vec e_\phi$. Les éléments de surface sont $r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ (normale $\vec e_r$), $r\,dr\,d\theta$ (normale $\vec e_\phi$) et $r\sin\theta\,dr\,d\phi$ (normale $\vec e_\theta$). $d\tau=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ ; une sphère a pour surface $S=4\pi r^2$.

Nabla et opérateurs — Que désigne $\nabla$ ?
C’est un opérateur vectoriel qui définit gradient, divergence, rotationnel et Laplacien. En cartésiennes, $\nabla=\vec e_x\partial_x+\vec e_y\partial_y+\vec e_z\partial_z$ ; en cylindriques, $\nabla=\vec e_r\partial_r+\vec e_\theta\frac1r\partial_\theta+\vec e_z\partial_z$ ; en sphériques, $\nabla=\vec e_r\partial_r+\vec e_\theta\frac1r\partial_\theta+\vec e_\phi\frac1{r\sin\theta}\partial_\phi$.

Gradient — Que donne le gradient d’un scalaire ?
Un vecteur. En cartésiennes, $\nabla f=(\partial_x f)\vec e_x+(\partial_y f)\vec e_y+(\partial_z f)\vec e_z$. En cylindriques, $\nabla f=(\partial_r f)\vec e_r+\frac1r(\partial_\theta f)\vec e_\theta+(\partial_z f)\vec e_z$. En sphériques, $\nabla f=(\partial_r f)\vec e_r+\frac1r(\partial_\theta f)\vec e_\theta+\frac1{r\sin\theta}(\partial_\phi f)\vec e_\phi$. Il est perpendiculaire aux surfaces de niveau et orienté vers les valeurs croissantes de $f$ ; $df=\nabla f\cdot d\vec l$.

Divergence, rotationnel et Laplacien — Que mesurent-ils ?
La divergence, scalaire, mesure le caractère « source » d’un champ. En cartésiennes, $\operatorname{div}\vec A=\partial_x A_x+\partial_y A_y+\partial_z A_z$ ; en cylindriques, $\operatorname{div}\vec A=\frac1r\partial_r(rA_r)+\frac1r\partial_\theta A_\theta+\partial_z A_z$ ; pour un champ central sphérique, $\operatorname{div}\vec A=\frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r)$. Le rotationnel, vecteur, mesure son caractère « tourbillonnaire » ; en cartésiennes :

Le Laplacien est $\Delta f=\operatorname{div}(\nabla f)=\partial_x^2f+\partial_y^2f+\partial_z^2f$. $\operatorname{rot}(\nabla f)=\vec0$ et $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec A)=0$. Un champ à rotationnel nul dérive d’un potentiel scalaire : $\vec A=-\nabla V$ ; c’est le cas du champ électrostatique.

Intégration — Qu’est-ce que la circulation ?
Le long d’une courbe $\Gamma$ de $A$ à $B$, $C=\int_\Gamma\vec A\cdot d\vec l$ ; si la courbe est fermée, $C=\oint\vec A\cdot d\vec l$. Si $\vec A=\nabla f$, alors $C=f(B)-f(A)$, indépendamment du chemin.

Flux surfacique — Comment le définir ?
À travers une surface orientée $S$, $\Phi=\iint_S\vec A\cdot d\vec S=\iint_S\vec A\cdot\vec n\,dS$. Pour une surface fermée, la normale est orientée vers l’extérieur.

Angle solide — Comment le définir et quelle est son unité ?
C’est l’analogue tridimensionnel de l’angle plan. Pour une surface élémentaire à distance $r$ d’un point $O$, $d\Omega=\frac{d\vec S\cdot\vec e_r}{r^2}=\frac{dS\cos\alpha}{r^2}$. En sphériques, $d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi$. L’angle solide total autour d’un point est $\Omega=4\pi\ \mathrm{sr}$ ; l’unité est le stéradian.

Théorèmes fondamentaux — Quels liens établissent-ils ?
Le théorème du gradient donne $\int_A^B\nabla f\cdot d\vec l=f(B)-f(A)$. Stokes relie la circulation sur un contour fermé au flux du rotationnel à travers une surface appuyée sur ce contour :

Green-Ostrogradsky relie le flux à travers une surface fermée à l’intégrale de la divergence dans le volume qu’elle délimite :

Rappels utiles — Quelles relations retenir ?
Le produit scalaire est $\vec a\cdot\vec b=ab\cos\theta$ ; il est nul pour des vecteurs orthogonaux. $\|\vec a\wedge\vec b\|=ab\sin\theta$ et $(\vec a,\vec b,\vec a\wedge\vec b)$ forme un trièdre direct. Pour $|\varepsilon|\ll1$, $(1+\varepsilon)^n\approx1+n\varepsilon$. Toute formule doit être homogène ; vérifier les unités est un test de résultat.

Constitution de la matière — Que contient un atome ?
La matière est faite d’atomes de rayon de l’ordre de $10^{-10}$ m, globalement neutres, avec un noyau central et un cortège d’électrons. Le noyau, de rayon de l’ordre de $10^{-15}$ m, contient presque toute la masse et est constitué de protons et de neutrons, les nucléons. Les électrons, négatifs, sont en mouvement autour du noyau ; ceux de la couche externe, les électrons de valence, déterminent les propriétés électriques du matériau.

Types de matières — Quels types distingue-t-on ?

Dans un isolant, les électrons sont fortement liés aux atomes : il n’y a pas de charges libres, ou les charges déposées restent localisées. Un conducteur contient des charges mobiles — électrons libres dans les métaux, ions dans les solutions — qui se déplacent dans tout le matériau. La conductivité d’un semi-conducteur est intermédiaire et peut être modifiée par la température ou le dopage ; il est à la base des diodes et transistors.

Charge électrique — Quelles propriétés et quels modes d’électrisation retenir ?
Il existe des charges positives et négatives : deux charges de même signe se repoussent, deux charges de signes opposés s’attirent. Toute charge est quantifiée, $q=n\cdot e$, où $n$ est un entier. Dans un système isolé, la charge totale se conserve ; la charge est invariante relativiste, donc indépendante du référentiel. Son unité est le coulomb : $1\ \mathrm C=1\ \mathrm A\cdot\mathrm s$. Les modes d’électrisation sont le frottement, le contact et l’influence.

Distributions de charges — Comment les décrire à l’échelle macroscopique ?
On remplace les charges discrètes par une distribution continue.

Exemples — Quelles charges totales obtient-on ?
Une sphère de rayon $R$ et de densité volumique uniforme $\rho$ porte $Q=\frac{4\pi\rho}{3}R^3$. Pour un disque de rayon $R$ et de densité $\sigma=\frac{\sigma_0r}{R}$, $Q=\frac{2\pi\sigma_0}{3}R^2$.

Forces gravitationnelle et électrostatique — Comment les comparer pour deux corps ponctuels distants de $r$ ?

$G=6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$.

Application à l’atome d’hydrogène — Quel est le rapport des forces entre électron et proton ?
$\frac{F_e}{F_g}=\frac{ke^2}{Gm_em_p}\approx2{,}3\times10^{39}$. À l’échelle atomique, la gravitation est totalement négligeable devant l’électrostatique.

Exercices — Que faut-il calculer ou vérifier ?

Gradient et divergence — Quels sont les résultats ?
Pour $f=x^2y+z$ :

Pour $\vec A=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$ :

Divergence de $\vec r/r^3$ — Pourquoi est-elle nulle pour $r\neq0$ ?
$\vec A=\vec r/r^3=(1/r^2)\vec e_r$, donc $A_r=1/r^2$. Pour un champ radial :

Cette expression est liée au champ de Coulomb en $1/r^2$. Elle vaut pour $r\neq0$ seulement ; en $r=0$, la divergence n’est pas définie et se trouve la charge ($\operatorname{div}\vec E=\rho/\varepsilon_0$, avec $\rho=q\delta(\vec r)$).

Angle solide du disque — Quelle expression obtient-on ?
$\tan\alpha=R/h$. En intégrant $d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ :

Comme $\cos\alpha=h/\sqrt{h^2+R^2}$ :

Pour $R\to\infty$ ou $h\to0$, $\Omega\to2\pi$ ; pour $h\gg R$, $\Omega\approx\pi R^2/h^2$, soit $S/h^2$.

Charge d’une sphère — Quel résultat donne l’intégration par coquilles ?
$d\tau=4\pi r^2\,dr$ :