Cercle trigonométrique et fonctions sinus-cosinus

Trigonométrie : Cercle, Radian, Cosinus et Sinus

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les distances dans les triangles. Elle se base notamment sur le cercle trigonométrique pour définir les fonctions de sinus et cosinus pour tout nombre réel.

Définitions Fondamentales

Orientation du Plan

L'orientation du plan est définie par convention comme suit :

• Le sens direct (ou positif ou trigonométrique) est contraire au sens de rotation des aiguilles d'une montre.
• Le sens indirect est le sens de rotation des aiguilles d'une montre.

Cercle Trigonométrique

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ et orienté dans le sens direct, le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$ est appelé cercle trigonométrique.

• Le périmètre du cercle trigonométrique est $2\pi R = 2\pi$ (car $R=1$).
• Le périmètre d'un demi-cercle est $\pi$.
• Le périmètre d'un quart de cercle est $\frac{\pi}{2}$.

Radian

On considère un point $M$ sur le cercle trigonométrique. On appelle mesure en radians de l'angle géométrique $\overrightarrow{IOM}$ la longueur $x$ de l'arc de cercle $\overrightarrow{IM}$.

Un radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte sur le cercle $\mathcal{C}$ un arc de longueur 1.

La mesure d'un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degrés.

Enroulement de la Droite Numérique sur le Cercle Trigonométrique

On considère une droite numérique $\Delta$, graduée et d'origine $I$, tangente au cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ en $I$.

Pour un réel $x$, abscisse d'un point $N$ sur $\Delta$, on associe un point $M$ sur $\mathcal{C}$ par "enroulement" de la droite $\Delta$ sur $\mathcal{C}$. Ce point $M$ est appelé le point-image sur $\mathcal{C}$ du réel $x$. La longueur de l'arc $\overrightarrow{IM}$ est égale à $x$.

Propriétés de l'Enroulement

• À chaque réel $x$ de $\Delta$, on associe un unique point $M$ sur le $\mathcal{C}$.
• L'enroulement dans le sens direct correspond aux abscisses positives, et dans le sens indirect aux abscisses négatives.
• Tout point sur le cercle est repéré par plusieurs nombres réels, distants d'un multiple de $2\pi$.
• Si $x$ est un réel et $M$ son point-image, alors $M$ est associé à tous les réels de la forme $x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
• Si $x - x' = 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), alors $x$ et $x'$ ont le même point-image.

Mesure Principale d'un Angle

On appelle mesure principale d'un angle orienté la mesure, qui parmi toutes les autres, se situe dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$.

Exemple : $\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$. La mesure principale correspondante est $-\frac{\pi}{4}$.

Exemple : Pour vérifier si $\frac{43\pi}{8}$ et $-\frac{5\pi}{8}$ ont le même point-image : $\frac{43\pi}{8} - (-\frac{5\pi}{8}) = \frac{48\pi}{8} = 6\pi = 3 \times 2\pi$. Puisque $3 \in \mathbb{Z}$, ils ont le même point-image.

Cosinus et Sinus d'un Nombre Réel

Dans le repère orthonormé direct $(O; \vec{i}, \vec{j})$, si $M$ est le point-image d'un réel $x$ sur le cercle trigonométrique :

• Le cosinus du réel $x$, noté $\cos x$, est l'abscisse du point $M$.
• Le sinus du réel $x$, noté $\sin x$, est l'ordonnée du point $M$.

Les coordonnées de $M$ sont donc $(\cos x, \sin x)$.

Lien avec le Triangle Rectangle

Soit $M$ un point sur le quart de cercle de centre $O$ tel que $\alpha = \widehat{IOM}$.

• $\cos(\alpha) = OH$ (abscisse de M)
• $\sin(\alpha) = OK$ (ordonnée de M)

Valeurs Remarquables des Fonctions Cosinus et Sinus

Exemples de Calculs :

• Calculer $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Calculer $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
• Calculer $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Propriétés Fondamentales

1. $-1 \leq \cos x \leq 1$ (L'abscisse d'un point sur le cercle de rayon 1 est entre -1 et 1).
2. $-1 \leq \sin x \leq 1$ (L'ordonnée d'un point sur le cercle de rayon 1 est entre -1 et 1).
3. $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (D'après le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H, $OH^2 + HM^2 = OM^2 \Rightarrow \cos^2 x + \sin^2 x = 1^2 = 1$).
4. $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ où $k \in \mathbb{Z}$ (Périodicité du cosinus).
5. $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ où $k \in \mathbb{Z}$ (Périodicité du sinus).

Cosinus et Sinus d'Angles Associés

Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou opposés.

Équations Trigonométriques

• L'équation $\cos x = \cos a$ a pour solutions :
  • $x = a + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
  • $x = -a + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
  Ces solutions correspondent aux deux points du cercle ayant la même abscisse ($\cos a$), symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
• L'équation $\sin x = \sin a$ a pour solutions :
  • $x = a + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
  • $x = \pi - a + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
  Ces solutions correspondent aux deux points du cercle ayant la même ordonnée ($\sin a$), symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonctions Cosinus et Sinus

Les fonctions $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ sont définies sur $\mathbb{R}$.

Parité et Périodicité

• Périodicité : Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$.
  • Pour tout réel $x$, $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.
  • Cela signifie que les points du cercle associés à $x$ et $x+2\pi$ sont confondus.
  • La plus petite période positive est $2\pi$.
  • Une fonction périodique de période $T$ a une courbe représentative invariante par translation de vecteur $T\vec{i}$.
• Parité :
  • La fonction $\cos$ est paire : $\cos(-x) = \cos x$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(O, \vec{j})$.
  • La fonction $\sin$ est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.
  • Une fonction paire $f$ vérifie $f(-x)=f(x)$. Une fonction impaire $f$ vérifie $f(-x)=-f(x)$.

Variations et Courbes Représentatives

Grâce à la parité et la périodicité, l'étude des fonctions cosinus et sinus peut être limitée à l'intervalle $[0; \pi]$.

• La fonction cosinus est décroissante sur $[0; \pi]$.

  $x$	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
  $\cos x$	1	0	-1

  Sa courbe, la cosinusoïde, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Sur $\mathbb{R}$, elle est obtenue par symétrie puis translations successives (décalage horizontal) de $2\pi \vec{i}$ et $-2\pi \vec{i}$.

• La fonction sinus est croissante sur $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ et décroissante sur $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.

  $x$	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
  $\sin x$	0	1	0

  Sa courbe, la sinusoïde, est symétrique par rapport à l'origine $O$. Sur $\mathbb{R}$, elle est obtenue par symétrie puis translations successives de $2\pi \vec{i}$ et $-2\pi \vec{i}$.

Points Clés

• Le cercle trigonométrique est un outil fondamental pour visualiser angles et valeurs trigonométriques.
• Le radian est l'unité de mesure d'angle privilégiée en trigonométrie.
• L'enroulement de la droite numérique permet de lier tout réel à un unique point sur le cercle.
• Les fonctions cosinus et sinus sont définies par les coordonnées des points sur le cercle.
• Les valeurs remarquables doivent être connues.
• Les propriétés de parité et de périodicité sont essentielles pour l'étude et la représentation graphique de ces fonctions.
• Les formules des angles associés facilitent la simplification et la résolution d'équations trigonométriques.