Calcul des primitives et intégrales

10 cartes

Techniques et exemples pour trouver les primitives de diverses fonctions, y compris les fonctions rationnelles.

10 cartes

La répétition espacée te présente chaque carte au moment optimal pour la mémoriser durablement, en espaçant les révisions de façon croissante.

Question

Quel changement de variable est suggéré si n est impair dans ∫cos^mx.sinⁿx dx ?

Réponse

Si n est impair, effectuez le changement de variable t = cos x.

Question

Quel changement de variable est suggéré si m est impair dans ∫cos^mx.sinⁿx dx ?

Réponse

Si m est impair, le changement de variable suggéré est t = sinx.

Question

Si F(x) est l'intégrale d'une fonction continue f(x), que vaut F'(x) ?

Réponse

Si F(x) est l'intégrale d'une fonction continue f(x), alors F'(x) = f(x).

Question

Comment calcule-t-on ∫¹⁄_(x-a)(x+b) dx ?

Réponse

Pour calculer cette intégrale, décomposez la fonction rationnelle en éléments simples :

\frac{1}{(x-a)(x+b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x+b}

. Intégrez ensuite chaque terme séparément.

Question

Quelle propriété est utilisée pour justifier l'existence de c dans l'intégrale moyenne ?

Réponse

La propriété des valeurs intermédiaires justifie l'existence de c tel que ∫[a,b] f(x)dx = f(c)(b-a).

Question

Quelle est la méthode pour intégrer des fonctions rationnelles F(x) = ^P(x)⁄_Q(x) ?

Réponse

Pour intégrer une fonction rationnelle ^P(x)⁄_Q(x), décomposez-la en éléments simples puis intégrez chaque élément séparément.

Question

Comment s'écrit la relation de Chasles pour les intégrales ?

Réponse

Pour tout

a, b, c

réels,

\int_a^c f(x) \text{d}x = \int_a^b f(x) \text{d}x + \int_b^c f(x) \text{d}x

Question

Comment traite-t-on ∫cos^mx.sinⁿx dx si n et m sont tous deux pairs ?

Réponse

Si n et m sont pairs, on linéarise cos²x ou sin²x.

Question

Que peut-on dire d'une fonction si son intégrale est nulle ?

Réponse

Si l'intégrale d'une fonction f sur un intervalle [a, b] est nulle, alors cette fonction n'est pas nécessairement nulle, mais son aire nette sous la courbe est nulle. Cela implique que les zones positives et négatives s'annulent.

Question

Comment définit-on l'intégrale d'une fonction entre a et b quand a > b ?

Réponse

Pour a > b, l'intégrale de f de a à b est définie comme l'opposé de l'intégrale de b à a :

\int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx

Aide-Mémoire : Intégrales et Primitives

Ce document résume les propriétés clés des intégrales et les techniques de calcul de primitives.

1. Théorèmes et Propriétés de l'Intégrale

Théorème de la moyenne : Si f est continue sur [a, b], il existe un tel que :

<li><b>Relation de Chasles :</b> Pour tout <span data-latex="c \in [a, b]" data-type="inline-math"></span> :
<br><mark><span data-latex="\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx" data-type="inline-math"></span></mark></li>

<li><b>Inversion des bornes :</b>
<br><mark><span data-latex="\int_{b}^{a} f(x) \,dx = - \int_{a}^{b} f(x) \,dx" data-type="inline-math"></span></mark></li>

<li><b>Intégrale fonction de sa borne supérieure :</b> Soit <span data-latex="F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt" data-type="inline-math"></span>. Si <i>f</i> est continue, alors <i>F</i> est dérivable et :
<br><mark><span data-latex="F'(x) = f(x)" data-type="inline-math"></span></mark>
<blockquote>Ceci est le Théorème Fondamental de l'Analyse. Il lie la dérivation et l'intégration.</blockquote>
</li>

2. Techniques de Calcul de Primitives

Intégration par Parties (IPP)

Utilisée pour intégrer un produit de fonctions. La formule est :

Principe : On dérive une partie de la fonction () et on intègre l'autre () pour simplifier l'intégrale.

Changement de Variable

Transforme une intégrale complexe en une plus simple.

Si on pose , alors . La formule devient :

N'oubliez pas d'exprimer le résultat final en fonction de la variable initiale.

3. Primitives de Fonctions Spécifiques

Primitives des Fonctions Rationnelles

La méthode consiste à décomposer la fraction rationnelle en éléments simples avant d'intégrer chaque terme.

Élément Simple	Primitive Associée


(avec )	Se décompose en une forme (pour le numérateur en ) et une forme .
Exemple (forme arctan) :

Primitives des Fonctions Trigonométriques

La stratégie dépend de la parité des exposants m et n.

Condition

Changement de Variable

Méthode

n est impair

Isoler un et exprimer le reste avec .

m est impair

Isoler un et exprimer le reste avec .

m et n sont pairs

Aucun

Linéariser en utilisant :

Points Clés à Retenir

Toujours ajouter la constante d'intégration "+ C" pour les primitives.
Le choix de la technique (IPP, changement de variable) dépend de la forme de la fonction à intégrer.
Pour les fonctions rationnelles, la décomposition en éléments simples est l'étape cruciale.
Pour les fonctions trigonométriques, la parité des exposants guide la stratégie.

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