Analyse de la droite réelle

Les nombres réels se caractérisent par leur ordre, leur complétude et la densité des rationnels.
Les suites mobilisent ces propriétés pour étudier les limites et la convergence.
Les fonctions étendent ces outils aux limites, à la continuité et à la dérivation.
La topologie formalise les notions de voisinage, d’adhérence et de compacité, puis les relie aux valeurs d’adhérence des suites.

L’ordre et les bornes structurent $\mathbb R$ ; les suites permettent ensuite d’exprimer sa complétude et d’étudier la convergence.

1.1 Ensemble des nombres rationnels — Écriture décimale.
$\mathbb Q=\{p/q\,;\ p\in\mathbb Z,\ q\in\mathbb N^*\}$, avec $\mathbb N^*=\mathbb N\setminus\{0\}$ et $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q$. Les décimaux sont de la forme $a/10^n$. Un réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est fini ou périodique à partir d’un certain rang. Exemple : $3/5=0,6$ ; $\sqrt2\notin\mathbb Q$.

1.2 Nombres réels — Ordre dans $\mathbb R$.
$\leqslant$ est une relation réflexive, antisymétrique et transitive ; elle est totale : pour tous $x,y$, $x\leqslant y$ ou $y\leqslant x$. La présentation décimale comporte des limites : certains réels ont deux écritures (par exemple $1=0,999\ldots$), les opérations posent le problème des retenues, et elle ne définit pas rigoureusement $\pi$.

Propriété d’Archimède. Pour tout réel $x$, il existe un entier naturel $n$ strictement supérieur à $x$. Cela permet de définir sa partie entière $E(x)$, unique, telle que $E(x)\leqslant x<E(x)+1$. Exemples : $E(2,853)=2$, $E(\pi)=3$, $E(-3,50)=-4$.

1.3 Densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ — Intervalle et densité.
Un intervalle $I$ contient tout réel situé entre deux de ses éléments ; $\emptyset$ et $\mathbb R$ sont aussi des intervalles. Tout intervalle ouvert non vide contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels : $\mathbb Q$ et $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ sont denses dans $\mathbb R$.
Un voisinage de $a$ est un ensemble contenant un intervalle ouvert qui contient $a$.

1.4 Borne supérieure et borne inférieure — Maximum, minimum.
$\max A$ et $\min A$, s’ils existent, appartiennent à $A$ et sont respectivement plus grand et plus petit que tous ses éléments. Ainsi $\max[a,b]=b$, mais $]a,b[$ n’a ni maximum ni minimum ; $\min[0,1[=0$, sans maximum.

Majorants et minorants. $M$ majore $A$ si $x\leqslant M$ pour tout $x\in A$ ; $m$ minore $A$ si $x\geqslant m$. $\sup A$ est le plus petit majorant ; $\inf A$ le plus grand minorant. Toute partie non vide majorée admet une borne supérieure ; toute partie non vide minorée admet une borne inférieure. La borne supérieure $\alpha$ vérifie $x\leqslant\alpha$ pour tout $x\in A$ et, pour tout $\epsilon>0$, il existe $x_\epsilon\in A$ tel que $x_\epsilon>\alpha-\epsilon$.

1.5 Suites numériques.
Une suite réelle est une application de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$, notée $(u_n)$.

• Suites récurrentes. Fibonacci : $U_0=U_1=1$, $U_{n+1}=U_n+U_{n-1}$. Pour $U_{n+1}=aU_n+bU_{n-1}$, l’équation caractéristique est $r^2-ar+b=0$, de discriminant $\Delta=a^2-4b$ : si $\Delta>0$, $U_n=Ar_1^n+Br_2^n$ ; si $\Delta=0$, $U_n=(An+B)r_0^n$ ; si $\Delta<0$, $U_n=(A\cos n\theta+B\sin n\theta)r^n$. Pour une suite arithmétique de raison $r$, $U_n=U_{n_0}+(n-n_0)r$ ; pour une géométrique de raison $q$, $V_p=q^{p-n_0}V_{n_0}$.
• Suite majorée, minorée, bornée. Majorée si $u_n\leqslant M$, minorée si $u_n\geqslant m$, bornée si les deux conditions sont satisfaites.
• Sens de variation. Croissante si $u_{n+1}\geqslant u_n$, décroissante si $u_{n+1}\leqslant u_n$ ; les inégalités strictes définissent les variations strictes. Une suite est périodique s’il existe $p\geqslant1$ tel que $u_{n+p}=u_n$.
• Limites. $u_n\to l$ si, pour tout $\epsilon>0$, $|u_n-l|\leqslant\epsilon$ à partir d’un certain rang. Les limites $+\infty$ et $-\infty$ signifient que les termes dépassent finalement tout seuil positif, ou deviennent inférieurs à son opposé. Une limite finie est unique ; toute suite convergente est bornée.
• Propriétés des limites et inégalités. Limites compatibles avec somme, produit et multiplication par un réel ; si $l\ne0$, $1/u_n\to1/l$. Le produit d’une suite bornée par une suite tendant vers $0$ tend vers $0$. L’ordre est conservé à la limite ; le théorème des gendarmes donne une limite commune. Toute suite croissante majorée, ou décroissante minorée, converge.

1.6 Suites adjacentes — Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Deux suites adjacentes vérifient : $u_n$ croissante, $v_n$ décroissante, $u_n\leqslant v_n$ et $v_n-u_n\to0$ ; elles convergent vers la même limite. Une suite extraite est $(u_{\phi(n)})$ avec $\phi$ croissante ; une suite convergente et ses suites extraites ont la même limite. Toute suite bornée admet une sous-suite convergente.

1.7 Suite de Cauchy.
Pour tout $\epsilon>0$, il existe $N$ tel que $|u_n-u_m|<\epsilon$ dès que $n,m>N$. Toute suite de Cauchy est bornée.

Les limites définissent le comportement local des fonctions ; continuité et dérivabilité ajoutent des résultats sur leurs images, leurs variations et leurs inverses.

2.1 Limites, continuité et dérivabilité — Limite finie en un point.
$f(x)\to l$ en $a$ si, pour tout $\epsilon>0$, $|f(x)-l|\leqslant\epsilon$ dès que $x\ne a$ est assez proche de $a. Les limites à gauche et à droite se définissent en restreignant l’approche à un côté ; une limite, si elle existe, est unique.

Limites des fonctions usuelles. À $+\infty$, $x$, $x^2$, $x^n$ ($n\geqslant1$) et $\sqrt x$ tendent vers $+\infty$ ; $1/x$, $1/x^n$ et $1/\sqrt{x^n}$ tendent vers $0$. À $0$, $x$, $x^n$, $\sin x$ et $x\sin x$ tendent vers $0$. Les théorèmes de comparaison et des gendarmes, la compatibilité avec l’ordre, la composition et la règle de L’Hospital permettent de déterminer d’autres limites.

2.2 Continuité — Prolongement par continuité.
$f$ est continue en $a$ si sa limite en $a$ existe et vaut $f(a)$. Si $f$ n’est pas définie en $a$ mais a pour limite $l$, poser $\bar f(a)=l$ fournit son prolongement continu. Exemple : $\sin x/x$ en $0$.

Image d’un intervalle par une fonction continue. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit une solution à $f(x)=\lambda$ entre $f(a)$ et $f(b)$ ; la monotonie la rend unique. Si $f(I)\subset I$ pour $I=[a,b]$, $f$ admet un point fixe. Sur un intervalle fermé borné, une fonction continue est bornée et atteint ses bornes.

2.3 Dérivation.
$f$ est dérivable en $a$ si la limite du taux d’accroissement existe et est finie ; cette limite est $f'(a)$.

Interprétation géométrique. La tangente en $(a,f(a))$ a pour pente $f'(a)$ et équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Nombre dérivé à gauche et à droite. Si les dérivées unilatérales diffèrent, le point est anguleux ; pour $f(x)=|x|$, elles valent $-1$ et $1$ en $0$. La dérivabilité entraîne la continuité, mais la réciproque est fausse.

Dérivation sur un intervalle et opérations. La dérivée d’ordre $n+1$ est $(f^{(n)})'=f^{(n+1)}$, avec $f^{(0)}=f$. Les règles usuelles couvrent somme, produit, quotient, puissance, racine et fonction composée. Pour le produit d’ordre $n$ :

Si $f'$ garde un signe, $f$ est monotone ; si elle s’annule partout, $f$ est constante. Les théorèmes de Rolle et des accroissements finis relient les valeurs de $f$ à celles de $f'$.
Si une fonction dérivable admet un extremum local en un point intérieur, sa dérivée y est nulle. Une fonction dérivable strictement monotone sur un intervalle est bijective ; si $f'$ ne s’y annule pas, $(f^{-1})'(x)=1/f'(f^{-1}(x))$.

2.4 Fonctions monotones sur un intervalle.
Une fonction continue strictement monotone induit une bijection de son intervalle image ; sa réciproque est continue et de même sens de variation.

2.5 Les fonctions $\arccos$, $\arcsin$, $\arctan$.
Ces fonctions réciproques ont pour domaines et dérivées :

Arccos. Réciproque de $\cos$ restreint à $[0,\pi]$ ; elle est décroissante et $\cos(\arccos x)=x$. Pour $\arccos(u(x))$, il faut $-1\leqslant u(x)\leqslant1$ et $f'(x)=-u'(x)/\sqrt{1-u(x)^2}$.

Arcsin. Réciproque de $\sin$ restreint à $[-\pi/2,\pi/2]$ ; elle est impaire et $\arcsin(-x)=-\arcsin x$. Pour la composée, $f'(x)=u'(x)/\sqrt{1-u(x)^2}$. De plus, $\arccos x+\arcsin x=\pi/2$.

Arctan. Réciproque de $\tan$ sur $]-\pi/2,\pi/2[$ ; elle est croissante, et ses limites aux infinis sont $-\pi/2$ et $\pi/2$. Pour la composée, $f'(x)=u'(x)/(1+u(x)^2)$. Les équations avec une même fonction réciproque se ramènent à l’égalité des arguments, sous réserve de leurs domaines.

2.6 Fonctions hyperboliques — Trigonométrie hyperbolique.
$\cosh x=(e^x+e^{-x})/2$, $\sinh x=(e^x-e^{-x})/2$, $\tanh x=\sinh x/\cosh x$ ; parfois $\coth x=1/\tanh x$. Identités principales : $\cosh^2x-\sinh^2x=1$, $1-\tanh^2x=1/\cosh^2x$, et les formules d’addition et de soustraction.

2.7 Étude des fonctions hyperboliques.
$\cosh$ est paire, minimale en $0$ avec $\cosh0=1$, croissante sur $[0,+\infty[$ et tend vers $+\infty$. $\sinh$ est impaire, croissante et tend vers $+\infty$ en $+\infty$ ; les courbes de $\cosh$ et $\sinh$ sont asymptotes en $+\infty$. $\tanh$ est impaire, croissante, et tend vers $1$, son asymptote horizontale. Limites classiques : $\sinh x/x\to1$, $\tanh x/x\to1$, $(\cosh x-1)/x^2\to1/2$ en $0$.

2.8 Fonctions hyperboliques réciproques.
$\operatorname{Argch}y=\ln(y+\sqrt{y^2-1})$ pour $y\geqslant1$ ; dérivée $1/\sqrt{y^2-1}$. $\operatorname{Argsh}y=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$ ; dérivée $1/\sqrt{1+y^2}$. $\operatorname{Argth}y=\frac12\ln\frac{1+y}{1-y}$ pour $|y|<1$ ; dérivée $1/(1-y^2)$. Pour les composées, imposer respectivement $u(x)\geqslant1$, $u(x)\in\mathbb R$ et $-1<u(x)<1$ ; leurs dérivées se calculent par composition.

2.9 Travaux dirigés sur les fonctions.
Exercices : domaines et limites des composées trigonométriques ; limites et règle de L’Hospital ; prolongement par continuité ; dérivées d’ordre $n$ et formule de Leibniz ; dérivées et représentations graphiques des fonctions réciproques trigonométriques et hyperboliques ; équations, inéquations et simplifications d’expressions.

La topologie décrit les ensembles à partir des voisinages ; fermeture, compacité et valeurs d’adhérence relient ces ensembles aux suites.

3.1 Ouverts, fermés, voisinage.
$I(x;\epsilon)=]x-\epsilon,x+\epsilon[$ est l’intervalle ouvert centré en $x$ de rayon $\epsilon$. Un intervalle contient tout segment entre deux de ses points.

Ouvert. $O$ est ouvert si tout $x\in O$ possède un intervalle $I(x;\epsilon)\subset O$ ; $\emptyset$ et $\mathbb R$ sont ouverts. Toute réunion d’ouverts et toute intersection finie d’ouverts sont ouvertes ; un ouvert est une réunion d’intervalles ouverts.

Voisinage d’un point. $V$ est un voisinage de $x$ si $I(x;\epsilon)\subset V$ pour un $\epsilon>0$. $O$ est ouvert si et seulement s’il est voisinage de chacun de ses points. $\mathbb R$ est séparé : deux points distincts ont des voisinages disjoints.

3.2 Fermés.
$F$ est fermé si son complémentaire est ouvert. Toute intersection de fermés et toute réunion finie de fermés sont fermées ; $\emptyset$ et $\mathbb R$ sont fermés. Un fermé contient les limites de ses suites convergentes et ses points d’accumulation.

3.3 Points d’accumulation — Point isolé.
$x$ est un point d’accumulation de $A$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A\setminus\{x\}$. Cela équivaut à être limite d’une suite de points distincts de $A\setminus\{x\}$. Un point $x\in A$ est isolé si un voisinage ne rencontre $A$ qu’en $x$. Toute partie bornée infinie de $\mathbb R$ admet un point d’accumulation.

3.4 Adhérence et intérieur d’un ensemble.
$x$ est adhérent à $A$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ ; $\overline A=A\cup A'$, où $A'$ est l’ensemble dérivé des points d’accumulation. $\overline A$ est le plus petit fermé contenant $A$ ; $A$ est fermé si et seulement si $A=\overline A$.

Intérieur. $x$ est intérieur à $A$ si un voisinage de $x$ est inclus dans $A$. L’intérieur $A^\circ$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$ ; pour $[0,1[$, il vaut $]0,1[$.

3.5 Frontière et extérieure d’un ensemble.
$\operatorname{Ext}(A)$ est l’intérieur du complémentaire de $A$. La frontière est l’ensemble des points dont tout voisinage rencontre à la fois $A$ et son complémentaire ; $\operatorname{Fr}(A)=\operatorname{Fr}(\mathbb R\setminus A)$.

3.6 La notion de compact.
Un recouvrement ouvert de $A$ est une famille d’ouverts dont la réunion contient $A$ ; $A$ est compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. Dans $\mathbb R$, $A$ est compact si et seulement s’il est fermé et borné ; cela équivaut à ce que toute suite de points de $A$ possède une sous-suite convergeant vers un point de $A$. Tout intervalle fermé borné $[a,b]$ est compact ; tout ensemble fini est compact, contrairement à $]0,1[$.

3.7 Limite supérieure et limite inférieure d’une suite — Valeur d’adhérence.
$a$ est une valeur d’adhérence de $(u_n)$ si une sous-suite converge vers $a$ ; pour une suite convergente, c’est sa limite unique. Pour une suite bornée, $\limsup u_n$ et $\liminf u_n$ sont respectivement la borne supérieure et la borne inférieure de ses valeurs d’adhérence. On a $\liminf u_n\leqslant\limsup u_n$ ; la suite converge si et seulement si elles sont égales. Elles sont aussi données par les bornes des queues : $\limsup u_n=\inf_k\sup_{n\geqslant k}u_n$ et $\liminf u_n=\sup_k\inf_{n\geqslant k}u_n$.

3.8 Travaux dirigés.
Exercices : densité et irrationalité de $\sqrt2$ ; parties et bornes ; opérations sur les bornes ; adhérence, fermeture et ensembles fermés ; valeurs d’adhérence et limites supérieure et inférieure.

Les nombres réels sont organisés par l’ordre, la propriété d’Archimède et la complétude exprimée par les bornes et les limites de suites.
Les limites fondent l’étude des fonctions : continuité, dérivation, monotonie et fonctions réciproques.
La topologie décrit les ensembles réels par les ouverts, les fermés, l’adhérence et la compacité.
Les suites relient ces idées : elles caractérisent notamment les fermés, les compacts et les valeurs d’adhérence.

L’ordre et les propriétés de complétude des réels fondent l’étude des suites, des bornes et de la densité.

Écriture décimale. Un rationnel a une écriture décimale finie ou périodique à partir d’un certain rang. Les nombres décimaux sont de la forme $a/10^n$ : par exemple, $1,234=1234/10^3$. En revanche, $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ : supposer $\sqrt2=p/q$ sous forme irréductible entraîne que $p$ et $q$ sont tous deux pairs.

Un réel peut avoir deux développements, comme $1=0,999\ldots$. Cette présentation ne définit pas directement les opérations d’addition et de multiplication et ne permet pas de définir rigoureusement $\pi$.

Ordre dans $\mathbb{R}$. La relation $\leqslant$ est réflexive, antisymétrique et transitive; elle est aussi totale : deux réels sont comparables.

Propriété d’Archimède. Pour tout réel $x$, il existe un naturel strictement supérieur à $x$. Elle permet de définir l’unique partie entière $E(x)$ telle que $E(x)\leqslant x<E(x)+1$. Ainsi, $E(2,853)=2$, $E(\pi)=3$ et $E(-3,50)=-4$.

Intervalle et densité. Un intervalle contient tout réel compris entre deux de ses éléments; $\emptyset$ et $\mathbb{R}$ sont aussi des intervalles. Tout intervalle ouvert non vide contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels : $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$.

Maximum, minimum, majorants et minorants. Pour une partie non vide $A$, $\max A$ et $\min A$ sont ses plus grands et plus petits éléments, s’ils existent. Un majorant $M$ vérifie $x\leqslant M$ pour tout $x\in A$; un minorant $m$ vérifie $x\geqslant m$. Toute partie non vide majorée admet une borne supérieure, et toute partie non vide minorée une borne inférieure. $\sup[0,1[=1$, mais cet ensemble n’a pas de maximum; $\min[0,1[=0$. La borne supérieure est approchée par des éléments de $A$ arbitrairement proches par en dessous; la borne inférieure, par des éléments arbitrairement proches par au-dessus.

Suites numériques et récurrentes. Une suite réelle est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$. La suite de Fibonacci vérifie $U_0=U_1=1$ et $U_{n+1}=U_n+U_{n-1}$. Pour $U_{n+1}=aU_n+bU_{n-1}$, l’équation caractéristique est $r^2-ar+b=0$, de discriminant $\Delta=a^2-4b$ : si $\Delta>0$, $U_n=Ar_1^n+Br_2^n$; si $\Delta=0$, $U_n=(An+B)r_0^n$; si $\Delta<0$, $U_n=(A\cos n\theta+B\sin n\theta)r^n$. Une suite arithmétique vérifie $U_{n+1}=U_n+r$; une géométrique, $V_{n+1}=qV_n$. Leurs termes et sommes sont obtenus respectivement par $U_n=U_{n_0}+(n-n_0)r$, $S_p=(U_p+U_{n_0})(p-n_0+1)/2$, $V_p=q^{p-n_0}V_{n_0}$ et $S_p=V_{n_0}(1-q^{p-n_0+1})/(1-q)$.

Bornes et variations. Majorée signifie $u_n\leqslant M$ pour tout $n$; minorée, $u_n\geqslant m$; bornée, à la fois majorée et minorée. Croissante signifie $u_{n+1}\geqslant u_n$, décroissante signifie $u_{n+1}\leqslant u_n;$ les versions strictes remplacent ces inégalités par des inégalités strictes. Une suite positive est croissante si $u_{n+1}/u_n\geqslant1$. Elle est périodique s’il existe $p\geqslant1$ tel que $u_{n+p}=u_n$.

Limites. $u_n\to l$ si, pour tout $\epsilon>0$, il existe $N$ tel que $n\geqslant N$ entraîne $|u_n-l|\leqslant\epsilon$. La limite $+\infty$ signifie que tout seuil positif est finalement dépassé; la limite $-\infty$, que tout seuil négatif est finalement dépassé vers le bas. Une limite finie est unique; toute suite convergente est bornée.

Les limites respectent les opérations usuelles : multiplication par une constante, somme, produit et inverse lorsque la limite du dénominateur est non nulle. Si $u_n\to l$, alors $|u_n-l|\to0$ et $|u_n|\to|l|$. Si $(u_n)$ est bornée et $v_n\to0$, alors $u_nv_n\to0$. Les inégalités passent à la limite; si $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et $u_n,w_n\to l$, alors $v_n\to l$. Toute suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge.

Suites adjacentes et Bolzano-Weierstrass. Deux suites adjacentes sont l’une croissante, l’autre décroissante, vérifient $u_n\leqslant v_n$ et $v_n-u_n\to0$; elles convergent vers la même limite. Une suite extraite est $(u_{\phi(n)})$, où $\phi$ est croissante; toute suite extraite d’une suite convergente a la même limite. Toute suite bornée admet une sous-suite convergente.

Suite de Cauchy. Pour tout $\epsilon>0$, ses termes $u_n,u_m$ sont à distance inférieure à $\epsilon$ dès que $n,m$ sont assez grands. Toute suite de Cauchy est bornée.

Les limites définissent la continuité, puis la dérivée relie la variation d’une fonction à sa tangente et à ses propriétés de monotonie.

Limite finie d’une fonction en un point. $f(x)\to l$ en $a$ si, pour tout $\epsilon>0$, $|f(x)-l|\leqslant\epsilon$ lorsque $x\neq a$ est suffisamment proche de $a$. Les limites à gauche et à droite se définissent en restreignant l’approche à un seul côté; lorsqu’elle existe, la limite est unique.

Limites usuelles. Quand $x\to+\infty$, $x$, $x^2$, $x^n$ ($n\geqslant1$) et $\sqrt{x}$ tendent vers $+\infty$; $1/x$, $1/x^n$ et $1/\sqrt{x^n}$ tendent vers $0$. Quand $x\to0$, $x$, $x^n$, $\sin x$ et $x\sin x$ tendent vers $0$. Le théorème des gendarmes encadre une fonction par deux fonctions de même limite; le théorème de L’Hospital relie, sous ses hypothèses, la limite d’un quotient à celle du quotient des dérivées. La limite d’une composée s’obtient en composant les limites.

Continuité et prolongement. $f$ est continue en $a$ si sa limite en $a$ est finie et égale à $f(a)$. Si $f$ n’est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $l$, poser $\bar f(a)=l$ la prolonge par continuité. Exemple : $\sin x/x$ en $0$. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit une solution à $f(x)=\lambda$ entre les valeurs aux extrémités; la monotonie assure l’unicité. Si $f([a,b])\subset[a,b]$, elle admet un point fixe. Sur un intervalle fermé borné, une fonction continue est bornée et atteint ses bornes.

Dérivation. $f$ est dérivable en $a$ si le quotient $(f(x)-f(a))/(x-a)$ admet une limite finie $f'(a)$. Cette limite est la pente de la tangente en $(a,f(a))$, d’équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Les dérivées à gauche et à droite peuvent différer : $|x|$ a en $0$ un point anguleux, avec dérivées $-1$ et $1$. La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse. Être dérivable sur un intervalle signifie l’être en chacun de ses points.

Les règles de dérivation comprennent les opérations suivantes :

La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'=f'\times(g'\circ f)$.

La dérivée d’ordre $n$ est notée $f^{(n)}$, avec $f^{(0)}=f$. La formule de Leibniz donne $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k f^{(n-k)}g^{(k)}$. Si $f'$ est positive, $f$ est croissante; si elle est négative, $f$ est décroissante; des signes stricts donnent une monotonie stricte. Une fonction dérivable est constante si et seulement si sa dérivée est nulle. Rolle et le théorème des accroissements finis garantissent respectivement un point où $f'=0$ lorsque $f(a)=f(b)$, et un $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$. Une fonction continue et strictement monotone possède une réciproque continue de même sens de variation; si $f'\neq0$, $(f^{-1})'(x)=1/f'(f^{-1}(x))$.

Fonctions monotones sur un intervalle. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle induit une bijection sur son image, qui est un intervalle; sa réciproque est continue et de même sens de variation.

Arccos, arcsin et arctan. $\arccos$ est la réciproque de $\cos$ restreint à $[0,\pi]$; son domaine est $[-1,1]$, son image $[0,\pi]$ et elle est décroissante. $\arcsin$ inverse $\sin$ sur $[-\pi/2,\pi/2]$; son domaine est $[-1,1]$, son image $[-\pi/2,\pi/2]$ et elle est croissante et impaire. $\arctan$ inverse $\tan$ sur $]-\pi/2,\pi/2[$; elle est croissante de $\mathbb{R}$ vers cet intervalle. Les identités de réciprocité donnent notamment $\arccos x+\arcsin x=\pi/2$ sur $[-1,1]$.

Pour étudier une composée avec $\arccos$ ou $\arcsin$, imposer $-1\leqslant u(x)\leqslant1$; leurs dérivées composées sont $-u'/\sqrt{1-u^2}$ et $u'/\sqrt{1-u^2}$. Pour $\arctan(u(x))$, le domaine est celui de $u$ et la dérivée est $u'/(1+u^2)$. Résoudre les équations de ces fonctions réciproques exige de respecter leur intervalle image; leur monotonie détermine le sens des inégalités.

Fonctions hyperboliques et trigonométrie hyperbolique. $\cosh x=(e^x+e^{-x})/2$, $\sinh x=(e^x-e^{-x})/2$ et $\tanh x=\sinh x/\cosh x$; parfois $\coth x=1/\tanh x$. On a $\cosh^2x-\sinh^2x=1$, $\cosh x\geqslant1$ et $-1<\tanh x<1$. Les formules d’addition et de soustraction relient $\cosh(a\pm b)$, $\sinh(a\pm b)$ et $\tanh(a\pm b)$; les paramétrisations $x=a\cosh t$, $y=b\sinh t$ décrivent une branche d’hyperbole.

Les courbes de $\cosh$ et $\sinh$ sont asymptotes en $+\infty$; celle de $\tanh$ a pour asymptote $y=1$. Limites classiques : $\sinh x/x\to1$, $\tanh x/x\to1$, $(\cosh x-1)/x^2\to1/2$ en $0$.

Fonctions hyperboliques réciproques. $\operatorname{Argch}$ inverse $\cosh$ sur $[0,+\infty[$ et a pour domaine $[1,+\infty[$; $\operatorname{Argsh}$ inverse $\sinh$ sur $\mathbb{R}$; $\operatorname{Argth}$ inverse $\tanh$ et a pour domaine $]-1,1[$.

Pour les composées, imposer respectivement $u\geqslant1$, $u\in\mathbb{R}$ et $-1<u<1$; dériver par composition. Les équations se ramènent à $u=\cosh a$, $u=\sinh b$ ou $u=\tanh c$.

Travaux dirigés sur les fonctions. Les exercices portent sur domaines, limites, continuité et prolongements, dérivées d’ordre $n$, équations et inéquations, fonctions trigonométriques et hyperboliques réciproques, et représentations graphiques.

La topologie organise les ensembles par les voisinages de leurs points; les suites caractérisent ensuite fermeture, compacité et adhérence.

Ouverts et voisinages. Un ouvert contient autour de chacun de ses points un intervalle $]x-\epsilon,x+\epsilon[$; $\emptyset$ et $\mathbb{R}$ sont ouverts. Toute réunion d’ouverts et toute intersection finie d’ouverts sont ouvertes. Un voisinage de $x$ contient un tel intervalle centré en $x$. Un ensemble non vide est ouvert si et seulement s’il est voisinage de chacun de ses points; tout ouvert est une réunion d’intervalles ouverts. Deux réels distincts ont des voisinages disjoints.

Fermés. $F$ est fermé si son complémentaire est ouvert. Toute intersection de fermés et toute réunion finie de fermés sont fermées; $\emptyset$ et $\mathbb{R}$ sont fermés. Un ensemble est fermé si et seulement s’il contient la limite de toute suite convergente de ses éléments, ou s’il contient tous ses points d’accumulation.

Points d’accumulation et points isolés. $x$ est un point d’accumulation de $A$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A\setminus\{x\}$. Cela équivaut à être limite d’une suite de points distincts de $A\setminus\{x\}$. Un point $x\in A$ est isolé s’il existe un voisinage qui ne rencontre $A$ qu’en $x$. Exemple : pour $A=[1,2[\cup\{3\}$, $1$ et $2$ sont des points d’accumulation, mais $3$ est isolé. Tout ensemble borné infini de réels admet un point d’accumulation.

Adhérence et intérieur. $x$ adhère à $A$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$; $\overline A=A\cup A'$, où $A'$ est l’ensemble des points d’accumulation. L’adhérence est le plus petit fermé contenant $A$; $A$ est fermé si et seulement si $A=\overline A$. L’intérieur $A^\circ$ regroupe les points entourés d’un intervalle contenu dans $A$; c’est le plus grand ouvert contenu dans $A$. Par exemple, pour $A=[0,1[$, $A^\circ=]0,1[$.

Frontière et extérieure. $Ext(A)$ est l’intérieur du complémentaire de $A$. La frontière $Fr(A)$ regroupe les points dont tout voisinage rencontre à la fois $A$ et son complémentaire. Pour $A=]0,1]\cup\{5\}$, $A^\circ=]0,1[$ et $Fr(A)=\{0,1,5\}$.

Compact. Un recouvrement ouvert de $A$ est une famille d’ouverts dont la réunion contient $A$; un sous-recouvrement est une sous-famille qui le recouvre encore. $A$ est compact si tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement fini. Dans $\mathbb{R}$, un ensemble est compact si et seulement s’il est fermé et borné; les intervalles fermés bornés $[a,b]$ et les ensembles finis sont compacts, contrairement à $]0,1[$.

Limite supérieure et limite inférieure. Une valeur d’adhérence d’une suite est la limite d’une sous-suite. Pour une suite bornée, sa limite supérieure est la borne supérieure de ses valeurs d’adhérence et sa limite inférieure en est la borne inférieure. On a $\liminf u_n\leqslant\limsup u_n$; la suite converge si et seulement si ces deux limites sont égales. Elles s’écrivent aussi $\limsup u_n=\inf_k\sup_{n\geqslant k}u_n$ et $\liminf u_n=\sup_k\inf_{n\geqslant k}u_n$. Pour $u_n=(-1)^n$, les valeurs d’adhérence sont $-1$ et $1$.

Travaux dirigés. Les exercices mobilisent les bornes et la densité de $\mathbb{Q}$, les fermés et les adhérences, la compacité, les sous-suites et les limites supérieure et inférieure.