1 Premiers éléments de géométrie

La géométrie plane repose sur trois éléments fondamentaux : le point, la droite et la demi-droite. Ce chapitre vous enseigne à les identifier, à les nommer correctement et à utiliser les notations standardisées qui les distinguent. Maîtriser cette langue géométrique est indispensable pour tout ce qui suit.

Un point est le plus petit élément du plan : il n'a ni longueur ni largeur ni épaisseur. On le représente graphiquement par une petite croix (+). Les points se notent avec des lettres majuscules : A, B, C, etc. Pensez à l'acronyme PLC : Point = Lettre majuscule + Croix.

Une droite est composée d'une infinité de points alignés et s'étend indéfiniment dans les deux directions — elle n'a ni début ni fin. Elle passe par au moins deux points. La droite qui passe par les points A et B se note (AB) ou (BA) (l'ordre n'importe pas). On peut aussi nommer une droite par une lettre minuscule entre parenthèses : (d), (ℓ), etc.

Une demi-droite est une partie de droite qui a un point de départ (appelé origine) et s'étend indéfiniment dans une seule direction. Elle ne revient jamais en arrière. La demi-droite d'origine C passant par le point B se note [CB) : le crochet [ se ferme sur l'origine C (point fixe), la parenthèse ) reste ouverte sur B (direction infinie).

Par deux points distincts, il passe une unique droite. Cette propriété fondamentale garantit qu'il n'existe qu'une seule façon de tracer une droite à partir de deux points donnés. Si vous connaissez A et B, vous connaissez complètement la droite (AB) — pas d'ambiguïté.

Trois points (ou plus) sont alignés s'ils appartiennent à la même droite. Pour exprimer qu'un point appartient à une droite ou à une demi-droite, on utilise le symbole ∈ (appartient à). Pour exprimer qu'il n'y appartient pas, on utilise ∉ (n'appartient pas). Exemple : si C est sur la droite (AB), on écrit C ∈ (AB). Si D n'est pas sur la droite, on écrit D ∉ (AB).

Deux droites sont sécantes si elles se croisent en un et un seul point, appelé point d'intersection. Par exemple, si la droite (AB) et la droite (CD) se rencontrent au point E, on dit que (AB) et (CD) sont sécantes en E, et l'on note E ∈ (AB) et E ∈ (CD). Trois points ou plus peuvent définir plusieurs droites distinctes ; s'ils ne sont pas tous alignés, certaines de ces droites seront sécantes.

Un segment est une partie de droite délimitée par deux points distincts, appelés ses extrémités. Contrairement à une droite qui est illimitée, le segment a une longueur finie. Il est noté avec des crochets, par exemple [AB], pour le distinguer de la droite (AB) ou de la demi-droite [AB).

Le segment [AB] représente donc le plus court chemin pour se déplacer du point A au point B. Cette propriété est fondamentale en géométrie. La longueur du segment est une mesure unique et positive.

Le milieu d'un segment est un point qui appartient à ce segment et qui est à égale distance de ses extrémités. Par exemple, si J est le milieu du segment [ST], alors J appartient à [ST] et les distances JS et JT sont égales (JS = JT). Cette égalité de distances est souvent représentée par un codage sur les figures géométriques (petits traits identiques sur les parties égales).

L'inégalité triangulaire est une propriété fondamentale en géométrie qui régit les distances entre trois points. Elle énonce qu'en prenant trois points A, B et C, la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle doit toujours être supérieure à la longueur du troisième côté. Cette règle est essentielle pour déterminer si un triangle peut exister.

Une condition particulière de l'inégalité triangulaire permet de caractériser l'alignement de trois points. Si la somme des longueurs de deux segments est égale à la longueur du troisième, alors les points sont alignés et le point intermédiaire appartient au segment formé par les deux autres.

Le milieu d'un segment est un point particulier qui appartient au segment et qui est à égale distance de ses extrémités. Par exemple, si J est le milieu du segment [ST], alors J appartient à [ST] et $JS = JT$. Une droite n'a pas de milieu, car elle est illimitée.

Le périmètre est une application directe des concepts de longueur de segment. Pour tout polygone, son périmètre est simplement la somme des longueurs de tous ses côtés. C'est la mesure du contour de la figure.