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Variables Aléatoires à Densité : Concepts Clés

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Soru
Définir la fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X.
Yanıt
Pour une variable aléatoire X, sa fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) est définie pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} par :
FX(x)=P(X⩽x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x)=\mathbb{P}(\mathrm{X} \leqslant x)
Soru
Si X est une variable aléatoire à densité, quelle est la valeur de P(X=a)\mathbb{P}(\mathrm{X}=a) pour tout réel aa?
Yanıt
Pour une variable aléatoire à densité X, la probabilité que X prenne une valeur spécifique a est toujours nulle : P(X=a)=0\mathbb{P}(\mathrm{X}=a) = 0.
Soru
Énoncer la formule de König-Huygens pour la variance V(X)\mathbb{V}(\mathrm{X}).
Yanıt
La formule de König-Huygens pour la variance V(X)\mathbb{V}(\mathrm{X}) est :
V(X)=E(X2)−E(X)2\mathbb{V}(\mathrm{X})=\mathbb{E}(\mathrm{X}^{2})-\mathbb{E}(\mathrm{X})^{2}
Soru
Quelles sont les trois conditions pour qu'une fonction ff soit une densité de probabilité?
Yanıt
Pour qu'une fonction ff soit une densité de probabilité, elle doit remplir les trois conditions suivantes :
1. Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f(x)≥0f(x) \ge 0.
2. ff est continue par morceaux avec un nombre fini de points de discontinuité.
3. L'intégrale ∫−∞+∞f(t)dt\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t converge et est égale à 1.
Soru
Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire X∼U([a;b])\mathrm{X} \sim \mathscr{U}([a ; b])?
Yanıt
L'espérance d'une variable aléatoire X∼U([a;b])\mathrm{X} \sim \mathscr{U}([a ; b]) est :
E(X)=a+b2\mathbb{E}(\mathrm{X})=\frac{a+b}{2}
Soru
Quelle est la relation entre Φ(−x)\Phi(-x) et Φ(x)\Phi(x) pour la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite?
Yanıt
Pour la fonction de répartition Φ\Phi de la loi normale centrée réduite, la relation est : Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)
Soru
Comment calculer P(a⩽X⩽b)\mathbb{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) en utilisant la fonction de répartition FX\mathrm{F}_{\mathrm{X}}?
Yanıt
P(a⩽X⩽b)=FX(b)−FX(a)\mathbb{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) = \mathrm{F}_{\mathrm{X}}(b) - \mathrm{F}_{\mathrm{X}}(a)
Soru
Définir l'espérance E(X)\mathbb{E}(\mathrm{X}) d'une variable aléatoire à densité.
Yanıt
Sous réserve de convergence de l'intégrale, l'espérance d'une variable aléatoire à densité X, notée E(X)\mathbb{E}(\mathrm{X}), est définie par :

E(X)=∫−∞+∞tf(t)dt\mathbb{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \mathrm{d} t

où f(t)f(t) est la densité de probabilité de X.
Soru
Donner la densité f(t)f(t) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi uniforme sur [a;b][a; b].
Yanıt
f(t)={1b−a si t∈[a;b]0 si t∉[a;b]f(t)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{1}{b-a} & \text { si } & t \in[a ; b] \\0 & \text { si } & t \notin[a ; b]\end{array}\right.
Soru
Quelle est la variance d'une variable aléatoire X∼E(λ)\mathrm{X} \sim \mathscr{E}(\lambda)?
Yanıt
La variance d'une variable aléatoire X∼E(λ)\mathrm{X} \sim \mathscr{E}(\lambda) est V(X)=1λ2\mathbb{V}(\mathrm{X}) = \frac{1}{\lambda^2}.
Soru
Comment standardiser une variable aléatoire X∼N(m,σ2)\mathrm{X} \sim \mathscr{N}(m, \sigma^2) pour obtenir une variable suivant la loi N(0,1)\mathscr{N}(0,1)?
Yanıt
Pour standardiser une variable aléatoire X∼N(m,σ2)\mathrm{X} \sim \mathscr{N}(m, \sigma^2) et obtenir une variable suivant la loi N(0,1)\mathscr{N}(0,1), on utilise la formule :
Z=X−mσ\mathrm{Z} = \frac{\mathrm{X}-m}{\sigma}
Soru
Donner la fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda.
Yanıt

La fonction de répartition FX(x)\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x) d'une variable aléatoire X\mathrm{X} suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda est donnée par :

FX(x)={1−e−λx si x⩾00 si x<0\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(x)=\left\{\begin{array}{cll}1-e^{-\lambda x} & \text { si } & x \geqslant 0 \\0 & \text { si } & x<0\end{array}\right.

Définition d'une Variable Aléatoire à Densité

Une variable aléatoire X est dite à densité (ou continue) si sa fonction de répartition, notée FX(x) = P(X ≤ x), est continue sur ℝ et dérivable sauf en un nombre fini de points. Elle est caractérisée par une densité de probabilité f(x).

Propriétés d'une densité de probabilité f

  • Positivité : Pour tout réel x, f(x) ≥ 0.

  • Continuité : f est continue sur ℝ, sauf éventuellement en un nombre fini de points.

  • Normalisation : L'intégrale de la fonction sur ℝ est égale à 1 : ∫-∞+∞ f(t) dt = 1.

Le lien fondamental entre ces deux fonctions est que la densité est la dérivée de la fonction de répartition : f(x) = F'X(x) là où FX est dérivable.

Calculs de Probabilités

Pour une variable aléatoire à densité X, la probabilité que X prenne une valeur précise est nulle : P(X = a) = 0. Cela implique que P(a < X < b), P(a ≤ X < b), P(a < X ≤ b) et P(a ≤ X ≤ b) sont toutes égales.

  • Probabilité cumulative : P(X ≤ a) = FX(a) = ∫-∞a f(t) dt

  • Probabilité de dépassement : P(X > a) = 1 - FX(a) = ∫a+∞ f(t) dt

  • Probabilité sur un intervalle : P(a ≤ X ≤ b) = FX(b) - FX(a) = ∫ab f(t) dt

Espérance et Variance

L'espérance et la variance sont des indicateurs clés qui décrivent la tendance centrale et la dispersion d'une variable aléatoire.

Espérance E(X)

L'espérance, ou moyenne, d'une variable X de densité f est définie par :
E(X) = ∫-∞+∞ t f(t) dt, sous réserve de convergence de l'intégrale.

Variance V(X)

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Pour la calculer, on utilise souvent la formule de König-Huygens, qui nécessite le calcul du moment d'ordre 2, E(X2).

  • Moment d'ordre 2 : E(X2) = ∫-∞+∞ t2 f(t) dt

Formule de König-Huygens : V(X) = E(X2) - [E(X)]2

L'écart-type, noté σX, est simplement la racine carrée de la variance : σX = √V(X).

Tableau des Lois Usuelles à Densité

Loi

Notation

Espérance E(X)

Variance V(X)

Uniforme sur [a, b]

X ~ U([a, b])

(a + b) / 2

(b - a)2 / 12

Exponentielle

X ~ E(λ)

1 / λ

1 / λ2

Normale (ou de Laplace-Gauss)

X ~ N(m, σ2)

m

σ2

Normale Centrée Réduite

X ~ N(0, 1)

0

1

Points Clés à Retenir

  • La probabilité est représentée par l'aire sous la courbe de la fonction de densité.

  • Pour une variable continue, la probabilité en un point unique est toujours nulle.

  • La loi uniforme modélise une situation où toutes les valeurs sur un intervalle sont équiprobables.

  • La loi exponentielle est souvent utilisée pour modéliser des durées de vie ou des temps d'attente.

  • La loi normale est fondamentale en probabilités et statistiques, notamment grâce au théorème central limite.

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