Suites Numériques : Définitions et Propriétés

Chapitre 4. Suites Numériques

Une suite réelle $u=\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$est une fonction dont l'ensemble de départ est $\mathbb{N}$ (ou $\llbracket n_{0},+\infty \llbracket$ avec $n_{0} \in \mathbb{N}$ ).

$u: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad n \longmapsto u_{n}$

$u_n$ est appelé le terme général de la suite. Son indice ou rang est $n$.

Une suite peut être définie de différentes façons :

• de façon explicite : pour tout entier positif $n$, on a $u_{n}=f(n)$
• de façon récurrente : pour tout entier positif $n$, on a $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ ou $u_{n+k}=f\left(u_{n+k-1}, u_{n+k-2}, \ldots, u_{n}\right)$

Questions Clés

• Sens de variations : décroissante, croissante, constante, ou aucune de ces options.
• Comportement asymptotique : limite en $+\infty$ (finie, infinie ou inexistante).
• Expression du terme général : cas définis par récurrence (suites arithmétiques, suites géométriques).

Variations d'une suite réelle

Une suite réelle $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ peutêtre :

• croissante si $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \geqslant u_{n}$
• strictement croissante si $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}>u_{n}$
• décroissante si $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \leqslant u_{n}$
• strictement décroissante si $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}<u_{n}$

Une suite estdite :

• monotone si elle est soit toujours croissante, soit toujours décroissante.
• strictement monotone si elle est soit toujours strictement croissante, soit toujours strictement décroissante.

Une suite constante à partir d'un certain rang est dite stationnaire.

Exemples : étude de $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que, pour tout $n \in \mathbb{N}: a_{n}=-n+2, b_{n}=2^{-n}, c_{n}=n^{3}$.

Suites majorées, minorées, bornées

• Une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est majorée si $ \exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \leqslant M $.
• Une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est minorée si $ \exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \geqslant m $.
• Une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée si elle est minorée et majorée, c'est-à-dire :

$\exists m \in \mathbb{R}, \exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, \quad m \leqslant u_{n} \leqslant M$

ou de manière équivalente $ \exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N},\left|u_{n}\right| \leqslant M $.

Exemples :étude des mêmes suites $a_n, b_n, c_n$ que précédemment.

Suite convergente

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite convergente s'il existe un nombre $\ell \in \mathbb{R}$ tel que, pour $n$ assez grand, $u_n$ se rapproche d'aussi près que l'on veut de $\ell$.

Notations

On note $ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell $ ou $ u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell $.

Propriétés

• Toute suite convergente est bornée.
• Quand une suite est convergente, sa limite est unique.

Suite divergente

Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.

Différents types de suites divergentes

• Celles qui tendent vers $<b>+\infty</b>$: $\forall A \in \mathbb{R}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geqslant n_{0}, \quad u_{n}>A$. On note $ \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty $.
• Celles qui tendent vers $<b>-\infty</b>$: $\forall A \in \mathbb{R}, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n \geqslant n_{0}, \quad u_{n}<A$. On note $ \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty $.
• Celles qui ne convergent pas et n'ont pas de limite infinie (ex: $u_n = (-1)^n$).

Nature d'une suite

La nature d'une suite est son caractère convergent ou divergent.

Exemples : étude de $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que, pour tout $n \in \mathbb{N}: a_{n}=-n+2, b_{n}=2^{-n},c_{n}=n^{3}$.

Limite d'une suite image par une fonction

Soient $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite et $f$ une fonction continue. Si :

• $\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\ell \in \mathbb{R} \cup\{-\infty,+\infty\}$
• $ \lim _{x \rightarrow \ell} f(x)=\lambda \in \mathbb{R} \cup\{-\infty,+\infty\}$

Alors la suite $\left(f\left(u_{n}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et $ \lim _{n \rightarrow+\infty} f\left(u_{n}\right)=\lambda $.

En particulier, si $f$ est une fonction continue au point $\ell$, alors $ \lim _{n \rightarrow+\infty} f\left(u_{n}\right)=f(\ell) $.

Opérations sur les limites

• Mêmes règles de manipulation que pour les limites de fonctionsen $+\infty$.

Attention : les formes indéterminées sont en fait des formes À déterminer !

Exemples : étude de $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que, pour tout $n \in \mathbb{N}: a_{n}=-n+2, b_{n}=2^{-n}, c_{n}=n^{3}$.

Propriétés et outils

Croissances comparées

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a>0$ et $b>1$. Alors $ \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^{a}}{b^{n}}=0 $.

Pour la convergence (Théorème des Gendarmes)

Si les suites $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ et $\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ admettentla même limite réelle $\ell$ et si $ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n} $, alors la suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et admet pour limite $\ell$.

Inégalité simple (Théorème de comparaison)

• Si $ \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty $ et si $ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leqslant v_{n} $, alors $\lim _{n \rightarrow+\infty} v_{n}=+\infty $.
• Si $ \lim _{n \rightarrow+\infty} v_{n}=-\infty $ et si $ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leqslant v_{n} $, alors $ \lim_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty $.

Exemple : étude de $\left(d_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ et $\left(e_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que,pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $ d_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n+1} \text{ et } e_{n}=n\left((-1)^{n}+2\right) $.

Suites Arithmétiques et Géométriques

Suites arithmétiques

Une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est arithmétique de raison $r \in \mathbb{R}$ si $ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=u_{n}+r $.

Le terme général est $ u_{n}=u_{0}+n r $.

Évolution d'une suite arithmétique

Variations d'une suite arithmétique

• Si $r>0$, la suite est strictement croissante.
• Si $r<0$, la suite est strictement décroissante.
• Si $r=0$, la suite est constante égale à son premier terme.

Comportement asymptotique

Toute suite arithmétique $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une limite, qui dépend du signe de sa raison $r$ :

• Si $r>0$, $ \lim_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$.
• Si $r<0$, $ \lim_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty$.
• Si $r=0$, la suite est constante égale à son premier terme.

Suites géométriques

Une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison $q \in \mathbb{R}$ si $ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=q u_{n} $.

Le terme généralest $ u_{n}=q^{n} u_{0} $.

Évolution d'une suite géométrique

Variations d'une suite géométrique

1. Si $q>1$ :
   • si $u_{0}>0$, la suite est strictement croissante.
   • si $u_{0}<0$, la suite est strictement décroissante.
2. Si $q=1$, la suite est constante égale à son premier terme.
3. Si $0<q<1$ :
   • si $u_{0}>0$, la suite est strictement décroissante.
   • si $u_{0}<0$, la suite est strictement croissante.
4. Si $q=0$, la suite est nulle et donc constante à partir du rang 1 (ou 0 si $u_0=0$).

Comportement asymptotique d'une suite géométrique (si $u_0 \neq 0$)

• Si $0 \leqslant q < 1$, la suite $(u_n)$ converge vers0.
• Si $q = 1$, la suite $(u_n)$ est constante.
• Si $q > 1$, la suite $(u_n)$ admet une limite infinie ($+\infty$ si $u_0 > 0$, $-\infty$ si $u_0 < 0$).
• Si $q = -1$, la suite n'admet pas de limite.
• Si $q < -1$, la suite n'admet pas de limite.

En résumé, $ (u_n) $ convergesi et seulement si $ q \in ] - 1; 1] $.

Somme de termes en progression arithmétique

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r \in\mathbb{R}$.

• Pour tout entier naturel $n$: $ \sum_{k=0}^{n} u_{k}=(n+1) \frac{u_{0}+u_{n}}{2} $.
• Pour tous entiers naturels $p$ et $n$ tels que$n \geqslant p$: $ \sum_{k=p}^{n} u_{k}=(n-p+1) \frac{u_{p}+u_{n}}{2} $.

Somme de termes en progression géométrique

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$.

• Pour tous entiers naturels $p \leqslant n$: $ \sum_{k=0}^{n} u_{k}=u_{0} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} $.
• Pour tous entiers naturels $p$ et $n$ tels que $n \geqslant p$: $ \sum_{k=p}^{n} u_{k}=u_{p} \frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.

Chapitre 1. Calculs Numériques et Algébriques

Nombres

• Nombres : objets mathématiques universels représentant des quantités.
• Chiffres : symboles écrits pour représenter les nombres (l'alphabet des nombres).

Différents types de nombres

• Les entiers naturels, notés $\mathbb{N}$.
• Les entiers relatifs, notés $\mathbb{Z}$.
• Les décimaux, notés $\mathbb{D}$.
• Les nombres rationnels, notés $\mathbb{Q}$.
• Les nombres réels, notés $\mathbb{R}$.

Variables et Paramètres

• Variable : grandeur qui varie selon d'autresgrandeurs (ex: $x, y, z$).
• Paramètre : grandeur fixée en fonction de laquelle s'exprime la ou les variables (ex: $a, b, c$).

Règles de base

• Attention aux priorités de calculs.
• Attention aux parenthèses et au signe -.

Identités remarquables

• $ (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} $</li> <li>$ (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} $</li> <li>$ (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} $

Symbole somme : $\Sigma$

Définition

Pour $p, q \in \mathbb{Z}$ avec $p \leqslantq$, et des réels $a_p, \ldots, a_q$, on note $ \sum_{i=p}^{q} a_{i} = a_{p}+a_{p+1}+\cdots+a_{q} $.

Vocabulaire

• Écriture en extension : $a_{p}+a_{p+1}+\cdots+a_{q}$.
• Bornes : les entiers $p$ et $q$.
• Terme général : $a_i$.

Manipulations du symbole somme

• Additivité : $ \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i} $.
• Homogénéité : $ \sum_{i=1}^{n} \lambda a_{i}=\lambda \sum_{i=1}^{n} a_{i} $.</li> </ul> <h4>Sommes classiques</h4> <ul> <li>$ \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2} $</li> <li>$ \sum_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \forall q \in \mathbb{R} \backslash\{1\} $

Manipulations de fractions

Proposition

Soient $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ avec $b, d \neq 0$ :

• $ \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} $</li> <li>$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d+b c}{b d} $</li> <li>$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d} $
• Si $c \neq 0$: $ \frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{a d}{b c} $

Remarque : $ \frac{\frac{a}{b}}{c} \neq \frac{a}{\frac{b}{c}} $.

Techniques

• Simplifier les fractions au fur et à mesure.
• Ne pas systématiquement utiliser le produit des dénominateurs pour la mise au même dénominateur.
• Ne pas laisser de racine $\sqrt{ }$ au dénominateur.

Puissances entières

Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, $ x^{n}=\underbrace{x \times x \times \cdots \times x}_{n \text{ fois}} $. Attention : $0^n=0$ si $n>1$, mais $0^0$ n'est pas défini.

Proposition

Soient $x, y \in \mathbb{R}^{*}$ et $k, n \in \mathbb{Z}$ :

1. $ x^{k} x^{n}=x^{k+n} $</li> <li>$ \left(x^{k}\right)^{n}=x^{k n} $</li> <li>$ (x y)^{k}=x^{k} \times y^{k} $</li> <li>$ \left(\frac{x}{y}\right)^{k}=\frac{x^{k}}{y^{k}} $</li> <li>$ \frac{x^{k}}{x^{n}}=x^{k-n} $

Puissance négative : Pour $x \in \mathbb{R}^{*}, n \in \mathbb{N}$, $ x^{-n}:=\frac{1}{x^{n}} $.</p><h2>Racines</h2> <h3>Racine carrée</h3> <p>$ a=\sqrt{x} $ est l'unique réel positif $a$ vérifiant $a^{2}=x$.

Racine $n$-ième

$ a=\sqrt[n]{x}$ est l'unique réel positif $a$ vérifiant $a^{n}=x$.

Proposition

Soient $x, y \in \mathbb{R}_{+}$ :

• $ \sqrt[n]{x \times y}=\sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y} $</li> <li>$ \sqrt{x^{2}}=x $ (car $x \geqslant 0$)
• $ \sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} $ si $y>0$.

Puissances fractionnaires

Racine $n$-ième comme puissance

Pour $x \in \mathbb{R}_{+}$et $n \in \mathbb{N}^{*}$, $ x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$.

Puissance fractionnaire

Pour $x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, n \in \mathbb{N}^{*}$ et $k \in \mathbb{Z}$, $ x^{\frac{k}{n}}=\left(x^{k}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x^{k}} $.

Proposition (pour puissances rationnelles)

Soient $x, y \in \mathbb{R}^{*}$ et $k, n \in \mathbb{Q}$ ($x,y >0$ si les bases sont despuissances fractionnaires) :

1. $ x^{k} x^{n}=x^{k+n} $</li> <li>$ \left(x^{k}\right)^{n}=x^{k n} $</li> <li>$ (x y)^{k}=x^{k} \times y^{k} $</li> <li>$ \left(\frac{x}{y}\right)^{k}=\frac{x^{k}}{y^{k}} $</li> <li>$ \frac{x^{k}}{x^{n}}=x^{k-n} $

Chapitre 3.Systèmes d'équations et d'inéquations

I. Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Définition

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme :

$ (S):\left\{\begin{array}{l} a x+b y=c \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime} \end{array}\right. $

• Une équation à deux inconnues représente une droite du plan $\mathbb{R}^{2}$.
• Un système de deux équations représente l'intersection de deux droites du plan $\mathbb{R}^{2}$.
• Une solution est une paire $(x,y)$ vérifiant les deux équations, c'est le point d'intersection des deux droites.

Nombre de solutions

$ab'-a'b \neq 0$	$ab'-a'b = 0$
Droites sécantes	Droites parallèles
Une unique solution $(x_0, y_0)$.	Si les droites sont distinctes : Pas de solution. Si les droites sont confondues : Infinité de solutions.

II. Systèmes d'équations non linéaires à deux inconnues

Remarques

• Résolution moins systématique.
• Méthode de substitution souvent utilisée.
• Nécessite rigueur et vérification des solutionscandidates.

III. Systèmes d'inéquations linéaires

• Une inéquation à deux inconnues représente une région du plan délimitée par une droite (demi-plan).
• Un système d'inéquations représente l'intersection de plusieurs régions du plan.

Chapitre 2. Équations, Inéquations et Polynômes

Équation

Une équation est une égalité entre deux quantités comprenant une ou plusieurs variables et éventuellement des paramètres.

Résoudre une équation

• Déterminer les valeurs possibles des inconnues (souvent $x, y, z$).
• Exprimer les inconnues en fonction des paramètres (souvent $a, b, c$).

Règles de transformation debase

• Addition/Soustraction : $ \forall u, v, w \in \mathbb{R}, \quad u=v \Leftrightarrow u+w=v+w $
• Multiplication/Division : $ \forall u, v \in \mathbb{R}, \forall w \in \mathbb{R}^{*}, \quad u=v \Leftrightarrow u w=v w $

Attention : Ne jamais multiplier ou diviser par une expression qui pourrait s'annuler (être nulle).

Autres techniques

• Factorisation : $ \forall u, v \in \mathbb{R}, \quad u v=0 \Leftrightarrow u=0 \text{ ou } v=0 $</li> <li><b>Application d'une puissance</b> : Conserve l'égalité si la base est positive ou si la puissance est entière.</li></ul> <h3>Inéquations</h3> <p>Les inéquations diffèrent des équations par le fait que la multiplication ou division par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.</p> <h4>Règles de transformation pour les inégalités</h4> <ul> <li>$ x
• $ x$k>0$ (même sens)
• $ xky $ si $k<0$ (sens contraire)
• Pour $x, y$ demême signe : $ x\frac{1}{y} $ (sens contraire)
• Pour $x>0, y>0$ : $ x
• Pour $x>0, y>0$ : $ x

Ces propriétés sont également vraies avec des inégalités larges ($ \leqslant, \geqslant $).

Fonctions monotones et inégalités

• Si $f$ est strictement croissante sur $I$: $ x
• Si $f$ est strictement décroissante sur $I$: $ xf(y) $

Combinaison d'inéquations

On peut additionner des inégalités de même sens : $ \left.\begin{array}{ccc} a & \leqslant & b \\ a^{\prime} & \leqslant & b^{\prime} \end{array}\right\} \Rightarrow a+a^{\prime} \leqslantb+b^{\prime} $.

Remarque : En général, on ne peut pas multiplier des inéquations entre elles.

Fonction polynomiale

Une fonction polynomiale est de la forme $ P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} $, où $n \in \mathbb{N}$ et $a_i \in \mathbb{R}$.

Si $a_n \neq 0$,le polynôme $P$ est de degré $n$.

Équation polynomiale de degré 2 (Trinôme du second degré)

Forme générale : $ P(x)=a x^{2}+b x+c $.

Résolution de $P(x)=0$

On utilise le discriminant $ \Delta=b^{2}-4 a c $.

• Si $ \Delta<0 $: Aucune solution réelle. Le polynôme ne peut pas être factorisé dans $\mathbb{R}$.
• Si $ \Delta=0 $: Une solution réelle double : $ x_{0}=-\frac{b}{2 a} $. Factorisation : $ P(x)=a\left(x-x_{0}\right)^{2} $.
• Si $ \Delta>0 $: Deux solutions réellesdistinctes : $ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} $ et $ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} $. Factorisation : $ P(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) $.

Degré strictement supérieur à 2

L'idée principale est de factoriser :

• Chercher une factorisation évidente (identité remarquable).
• Trouver une racine "évidente" $\alpha$ ($P(\alpha)=0$) et factoriser $P(x)$ par $(x-\alpha)$.

Théorème : Si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors il existe un unique polynôme $Q(x)$ tel que $ P(x)=(x-\alpha) Q(x) $. Le degré de $Q(x)$ est $n-1$.

Récapitulatif des objectifs du module

• Revoir les règles de calculs algébriques.
• Gagner en efficacité et justesse dans les calculs.
• Travailler la rigueur dans les raisonnements.
• Maîtriser les techniques calculatoires de base pour résoudre des problèmes économiques.

Contenu abordé

• Calculs algébriques : développement, réduction, factorisation, fractions, puissances, racines.
• Résolution d'équations et inéquations dans $\mathbb{R}$ (premier degré, second degré, et plus).
• Résolution de systèmes d'équations linéaires et non linéaires à deux inconnues.
• Résolution graphique de systèmes d'inéquations àdeux inconnues.
• Suites numériques : sens de variations, limites, suites arithmétiques, suites géométriques.