Rappels mathématiques en mécanique

Rappels Mathématiques pour la Mécanique du Point Matériel

Ce chapitre vise à consolider les bases mathématiques essentielles pour l'étude de la mécanique du point matériel. Il couvre l'analyse dimensionnelle, le calcul d'erreurs et le calcul vectoriel, des outils fondamentaux pour la résolution des problèmes de physique.

I. Analyse Dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle est une technique qui permet de vérifier l'homogénéité des formules physiques et de déterminer les dimensions de grandeurs physiques.

I.1. Équations aux Dimensions

Les équations aux dimensions sont des écritures conventionnelles qui résument la définition des grandeurs dérivées à partir des unités fondamentales (Longueur, Masse, Temps), symbolisées par (L, M, T).

• Le Système International (S.I.) utilise les unités suivantes pour les quantités de base:

Les équations aux dimensions sont utilisées pour vérifier l'homogénéité des formules physiques. Par exemple, l'énergie cinétique est homogène à une énergie (c'est-à-dire un travail).
.

Exemple d'application: Les dimensions des grandeurs physiques courantes sont :

Vérification d'homogénéité de formules :

1. : . Homogène.

2. : . Non homogène.

3. : . Homogène.

4. : Cette expression est non homogène car une longueur ne peut s'ajouter à une accélération.

5. : . D'autre part, . Homogène.

Déduction des exposants de la loi de Stokes:
La loi de Stokes est . On sait que et . Par identification des dimensions : On obtient le système d'équations:

La résolution donne , , . Donc .

I.2. Calcul d'erreurs

Lors d'une mesure, on cherche à déterminer une valeur exacte qui est inaccessible. On obtient une valeur mesurée .

I.2.1. Définition

L'erreur absolue . Puisqu'elle n'est pas connue, on utilise l'incertitude absolue comme une limite supérieure telle que . . Une mesure s'écrit , ce qui signifie que .

L'incertitude absolue correspond souvent à la plus petite graduation de l'instrument de mesure. Il est crucial d'écrire une mesure avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec l'incertitude. Par exemple, .

I.2.2. L'incertitude relative

L'incertitude relative est le quotient de l'incertitude absolue par la valeur mesurée, exprimée en pourcentage ou pour mille. . Exemple : si , .

I.2.3. L'incertitude résultant d'un calcul

1. Addition ou soustraction : Les incertitudes absolues s'additionnent. Si , alors .

2. Multiplication ou division : On utilise la méthode de la différentielle logarithmique. Si , alors . En différentiant: . Pour l'incertitude : . On prend les valeurs absolues car l'incertitude représente la variation maximale.

Exemple du calcul d'incertitude relative pour l'énergie relativiste : L'énergie est donnée par . . . Soit . . Lorsque les valeurs sont remplacées par les incertitudes absolues : .

Exemple du calcul des dimensions d'une constante : Pour la période d'oscillations d'un pendule de torsion : . On en déduit . Les dimensions de sont .

Calcul d'incertitude relative pour : . La différentielle du logarithme nous donne : . En termes d'incertitudes absolues : .

I.3. Calcul Vectoriel

Le calcul vectoriel permet de modéliser des grandeurs physiques possédant une intensité, une direction et un sens (ex: déplacement, vitesse, force, champ électrique), contrairement aux grandeurs scalaires qui sont décrites par un simple nombre (ex: masse, température).

I.3.1. Définition d'un vecteur

Un vecteur est une grandeur caractérisée par une intensité (module), une direction et un sens. Il est représenté comme une flèche, par exemple . Les réels sont les coordonnées du point M dans le repère .

I.3.2. Notion de vecteur unitaire

À tout vecteur , on peut associer un vecteur unitaire qui a la même direction et un module égal à un. Il est obtenu en divisant le vecteur par son module : .

I.3.3. Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs et associe un nombre (scalaire) qui est égal au produit des modules des vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux : . En coordonnées cartésiennes, si et , alors .

I.3.4. Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs et est un vecteur noté avec les propriétés suivantes :

1. Sa direction est orthogonale à et .

2. Son sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite (ou tire-bouchon).

3. Sa norme est donnée par , où est l'angle entre les vecteurs. Cette norme représente l'aire du parallélogramme construit sur et .

En coordonnées cartésiennes, et : .

I.3.5. Applications du produit vectoriel en physique

Un exemple important est le moment d'un vecteur par rapport à un point : . Son module est , où est la distance du point à la ligne d'action du vecteur .

Exemple de calculs vectoriels : Soient et .

1. Modules : . . , donc .

2. Angle entre et : . . .

3. Vecteur unitaire de : .

4. Angles de avec les axes : . . .

5. Produit vectoriel : .

6. Aire du triangle (OAB) : L'aire du triangle (OAB) est . . Vérification avec le produit vectoriel : . (Il y a une petite erreur de calcul dans l'exemple fourni, le sinus de est d'environ , ce qui donne , donc l'aire est bien 5).

Cosinus directeurs d'un vecteur : Soit et .

1. Modules et vecteurs unitaires : . . . .

2. Projection de le long de : Proj.

3. Produit scalaire et angle : . . .

4. Produit vectoriel : .

5. Cosinus directeurs et leur somme des carrés : . . . .

II. Cinématique du Point Matériel

La cinématique du point matériel étudie le mouvement d'un point au cours du temps, indépendamment des causes qui le produisent. Elle vise à déterminer les grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) et l'équation horaire de la trajectoire par rapport à un référentiel choisi.

II.1. Rappels

II.1.1. Repère d'espace

Un repère d'espace est défini par une origine (fixe dans le référentiel) et des axes de référence orthonormés directs. Ces axes permettent de localiser un point dans l'espace.

• Ortho : Les vecteurs de base sont orthogonaux (ex: ).

• Normé : Les vecteurs de base sont de norme unitaire (ex: ).

• Direct : Respecte la règle du tire-bouchon (ex: ).

II.1.2. Les coordonnées cartésiennes

Dans un repère cartésien , supposé fixe, le vecteur position d'un point est donné par : . Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : . Son module est . Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : . Son module est .

II.1.3. Les coordonnées polaires (dans un plan)

Dans le plan, le vecteur position est représenté par sa distance à l'origine et l'angle qu'il fait avec l'axe . . Relations avec les coordonnées cartésiennes : , . , . Les vecteurs unitaires polaires et sont liés aux vecteurs cartésiens : . . Le vecteur vitesse en coordonnées polaires est : . Le vecteur accélération en coordonnées polaires est : .

II.1.4. Les coordonnées cylindriques (dans l'espace)

Les coordonnées cylindriques complètent les coordonnées polaires par une coordonnée cartésienne . Le vecteur position : . Le vecteur vitesse : . Le vecteur accélération : .

II.1.5. Les coordonnées sphériques (dans l'espace)

Les coordonnées sphériques sont utiles pour des mouvements sur une sphère. . , , . Le vecteur vitesse est : . (Les notations et peuvent varier selon les conventions, ici est l'angle polaire et l'azimut.)

II.1.6. Abscisse curviligne et base de Frenet (dans un plan)

Lorsque la trajectoire est connue, on peut la repérer par l'abscisse curviligne , mesurée le long de la courbe depuis une origine . La base de Frenet est un repère local associé à chaque point de la trajectoire :

• est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.

• est le vecteur unitaire normal à la trajectoire, dirigé vers le centre de courbure (vers l'intérieur de la courbe).

Le vecteur vitesse dans la base de Frenet est : . Le vecteur accélération dans la base de Frenet est constitué d'une composante tangentielle et d'une composante normale : . Où est le rayon de courbure de la trajectoire au point .

Exemple d'exercice : Un mobile M a pour coordonnées cylindriques , , .

1. Composantes vitesse et accélération en cylindriques : . . . . . . . . . .

2. Équation polaire de la projection m : . C'est une cardioïde.

II.2. Exercices résolus

Exercice 1 : Analyse d'un diagramme position-temps

1. Vitesse moyenne entre s et s : et . .

2. Vitesse instantanée à s : La pente de la tangente à s est .

3. Instant d'annulation de la vitesse : La vitesse s'annule lorsque la pente est nulle, soit à s. Le mobile s'arrête et change de direction.

Exercice 2 : Mouvement rectiligne suivant

1. Position à s : .

2. Passage par l'origine : . Solutions : s et .

3. Vitesse moyenne entre s et s : . . .

4. Expression de la vitesse moyenne : .

5. Vitesse instantanée : . .

6. Accélération moyenne : . . .

7. Accélération instantanée : . (Constante ici).

Exercice 3 : Mouvement dans le plan , .

1. Équation de la trajectoire : De , on tire . On substitue dans . La trajectoire est une parabole.

2. Vecteur position : .

3. Vecteur vitesse et sa norme : . .

4. Vecteur accélération et sa norme : . .

5. Rayon de courbure à : . . . À , . À , . .

III. Mouvement Relatif

Le mouvement d'un point matériel est toujours relatif à un référentiel d'étude. Un observateur différent, dans un référentiel différent, peut attribuer des caractéristiques de mouvement différentes au même objet.

III.1 Notion de référentiel

• Référentiel absolu : Référentiel supposé fixe.

• Référentiel relatif : Référentiel mobile par rapport au référentiel absolu.

Soient un référentiel absolu et un référentiel relatif.

• Mouvement relatif : Mouvement du point observé dans .

• Mouvement absolu : Mouvement du point observé dans .

• Mouvement d'entraînement : Mouvement de par rapport à .

III.2. Composition des vitesses

Le vecteur position d'un point dans est . La relation de composition des vitesses est : .

• : Vitesse absolue du point dans le référentiel .

• : Vitesse d'entraînement, vitesse d'un point de qui coïncide avec , observée depuis .

• : Vitesse relative du point dans le référentiel .

Si le référentiel est en translation sans rotation par rapport à , alors les vecteurs unitaires de sont constants par rapport à (, etc.). Dans ce cas, les vitesses d'entraînement se simplifient.

III.3. Composition des accélérations

La relation de composition des accélérations est le théorème de Coriolis : .

• : Accélération absolue.

• : Accélération d'entraînement.

• : Accélération relative.

• : Accélération de Coriolis (ou complémentaire), qui apparaît dans un référentiel en rotation.

Si le mouvement d'entraînement est une pure translation sans rotation, alors , et . Si est en rotation par rapport à avec une vitesse angulaire , les expressions deviennent plus complexes : . . .

Exemples :

1. Pirogue traversant une rivière : (vitesse relative de la pirogue par rapport à l'eau, ). (vitesse du courant par rapport à la terre, ). La pirogue se dirige perpendiculairement au courant. Le vecteur vitesse absolue . L'angle de déviation est tel que . .

2. Avion dans le vent : Vitesse de l'avion par rapport à la terre ( nord-ouest, soit à par rapport à l'ouest). Vitesse du vent (entraînement), ( vers l'ouest). Vitesse relative de l'avion par rapport à l'air . (si l'axe x est Est-Ouest, y est Sud-Nord). . . .

3. Points M et M' dans repères parallèles : (absolu). (relatif). Les repères R et R' sont parallèles, donc , , . Vitesses : . . . Le mouvement de R' par rapport à R est une translation rectiligne uniforme, car est une constante non nulle. Accélérations : . . . car les vecteurs de base sont constants. On retrouve bien , soit .

IV. Dynamique du Point Matériel

La dynamique étudie les mouvements en relation avec les forces qui les produisent.

IV.1. Les lois fondamentales de la dynamique

1. Première loi de Newton (Principe d'inertie) : Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un point matériel est nulle, alors son mouvement est rectiligne uniforme ou il est au repos.
   .

2. Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique) : Dans un référentiel galiléen, la variation de la quantité de mouvement d'un point matériel est égale à la somme des forces extérieures appliquées.
   , où est la quantité de mouvement.
   Si la masse est constante, .

3. Troisième loi de Newton (Principe des actions réciproques) : Lorsque deux points matériels interagissent, la force exercée par le premier sur le second est égale en module et opposée en direction à la force exercée par le second sur le premier.
   .

IV.2. Théorème du moment cinétique

Le moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point est : . Le théorème du moment cinétique énonce que la dérivée du moment cinétique par rapport au temps est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport au même point . . Où est le moment de la force par rapport à .

IV.3. Classification des forces

1. Forces localisées et réparties :

   • Une force localisée s'applique en un unique point (ex: tension d'un fil).

   • Une force répartie s'applique sur une surface ou un volume (ex: force de frottement, poids).

2. Forces à distance : Le corps qui exerce la force n'est pas en contact avec celui qu'il agit.

   • Forces de gravitation : Toujours attractives entre deux masses.

   • Forces électriques : Attractives ou répulsives entre charges électriques.

   • Forces magnétiques : Attractives ou répulsives entre aimants ou matériaux ferromagnétiques.

3. Forces de contact : Nécessitent un contact entre les objets.

   • Réaction normale : Force exercée par un support. Pour un objet en équilibre sur un support horizontal, .

   • Force de frottement solide : S'oppose au mouvement ou à la tendance au mouvement entre surfaces en contact.

     • Sans glissement : La force de frottement statique .

     • Avec glissement : La force de frottement cinétique , où est le coefficient de frottement dynamique.

   • Force de frottement fluide : Apparaît lorsqu'un corps se déplace dans un fluide.
     , où est le coefficient de viscosité.

   • Force de rappel élastique (Ressorts) : Force exercée par un ressort allongé ou comprimé.
     , où est la constante de raideur, la longueur à vide, la longueur actuelle, et le vecteur unitaire dans la direction de l'allongement.

IV.4. Exercices résolus

Exercice 1 : Deux masses en contact sur une table horizontale Deux masses et () sont en contact sur une table lisse. Une force est appliquée à .

1. Forces agissantes sur chaque masse :

   • : Poids , Réaction normale , Force appliquée , Force de contact de sur ().

   • : Poids , Réaction normale , Force de contact de sur ().

2. Accélération du système : Les deux masses ont la même accélération . En appliquant le PFD au système global et en projetant sur l'axe du mouvement (horizontal, si est horizontale), . Donc . Si fait un angle avec l'horizontale, alors .

3. Force de contact entre les masses : En appliquant le PFD à : . Donc .

Exercice 2 : Masses suspendues par une poulie sur des plans inclinés

1. Représentation des forces : Masses avec . tend à descendre, tend à monter.

   • Corps : Poids , Réaction normale , Tension du fil , Force de frottement (dirigée vers le bas de la pente).

   • Corps : Poids , Réaction normale , Tension du fil , Force de frottement (dirigée vers le haut de la pente).

2. Valeur de pour rompre l'équilibre : À la limite de l'équilibre, le système est immobile, donc l'accélération est nulle. Les forces de frottement sont statiques. . et . . . Pour les valeurs données, .

3. Valeur de la tension du fil : Pour (à l'équilibre), .

4. Accélération du système si : Puisque , descend et monte. Les forces de frottement sont dynamiques. Système : . . (Avec ).

V. Énergie et Travail du Point Matériel

Cette section explore les concepts d'opérateurs vectoriels (gradient, divergence, laplacien, rotationnel), le travail d'une force, et les différentes formes d'énergie.

V.1. Rappels

V.1.1. Les opérateurs

1. Gradient ( ou ) : Pour un champ scalaire , le gradient est un vecteur qui indique la direction de la plus forte augmentation du champ. .

2. Divergence () : Pour un champ de vecteurs , la divergence est un scalaire qui mesure la tendance du champ à s'écarter ou à converger à partir d'un point. .

3. Laplacien () : Opérateur agissant sur un scalaire ou un vecteur. Pour un scalaire : . Pour un vecteur : .

4. Rotationnel ( ou ) : Pour un champ de vecteurs , le rotationnel est un vecteur qui mesure la tendance du champ à faire tourner les objets autour d'un point. . Une force dérive d'un potentiel scalaire si et seulement si son rotationnel est nul : . Ces forces sont dites conservatives.

V.1.2. Travail d'une force

Le travail d'une force constante sur un déplacement rectiligne est : , où est l'angle entre et .

• : Travail moteur.

• : Travail résistant.

• : si est perpendiculaire au déplacement.

Pour une force variable le long d'une trajectoire courbe, le travail est .

V.1.2.1. Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un point matériel de masse et de vitesse est : .

V.1.2.2. Théorème de l'énergie cinétique

La variation de l'énergie cinétique d'un point matériel entre deux positions et est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées : .

V.1.2.3. Énergie potentielle

L'énergie potentielle est associée aux forces conservatives.

• Énergie potentielle élastique : .

• Énergie potentielle de pesanteur : .

• Énergie potentielle gravitationnelle : .

Toutes ces énergies sont définies à une constante additive près.

V.1.2.4. Théorème de l'énergie potentielle

Si une force est conservative, son travail est l'opposé de la variation d'énergie potentielle : .

V.1.2.5. Énergie mécanique (totale)

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle : .

V.1.2.6. Principe de conservation de l'énergie mécanique

Si un système est seulement soumis à des forces conservatives, son énergie mécanique totale est conservée : (). Si des forces non conservatives (ex: frottements) sont présentes, l'énergie mécanique n'est pas conservée, et la variation de est égale au travail de ces forces non conservatives : .

V.2. Exercices résolus

Exercice 1 : Travail d'une force et potentiel .

1. Travail le long de différents chemins : On calcule .

   • a) Ligne droite à : . .

   • b) Chemin (projection sur , puis constant) : puis . (Il semble y avoir une erreur dans l'interprétation. est la projection de sur , donc ). . . .

   • c) Chemin (projection sur , puis constant) : puis . . . . Puisque les travaux sont différents selon le chemin, le champ de forces ne dérive pas d'un potentiel en général.

2. Travail le long d'un cercle centré en de rayon 2 : . . . . . Les termes en et s'annulent sur une période. .

3. Condition pour que dérive d'un potentiel : Il faut que . . Pour que , il faut .

4. Expression du potentiel (pour ) : . et . . . . Donc .

Exercice 2 : Force dérivant d'un potentiel en 3D .

1. Valeurs de , , pour une force conservative : .

   • .

   • .

   • .

2. Expression du potentiel : Pour les valeurs trouvées : . . . . . (L'exemple fourni a une erreur de signe, devrait être ) Correction: . . . . Donc . Avec . . (Une erreur de signe pour est présente dans l'exemple original).

Examen complet avec solutions (exemple)

Cet exercice est un bon exemple de questions rencontrées dans un examen sur la mécanique du point.

A. Cinématique
Point matériel M dans le plan XOY, avec .

1. Vitesse et accélération en coordonnées polaires, et leurs modules : . . . (Il y a une erreur dans l'extrait d'origine pour , devrait être . . . . . . . . . .

2. Nature de la trajectoire : . On sait que et . . . On utilise . On a . . C'est l'équation d'un cercle de rayon et de centre .

3. Rayon de courbure : La trajectoire est un cercle de rayon , donc le rayon de courbure est . On peut le vérifier avec . . . . . .

4. Vitesse et accélération dans la base de Frenet : . . (car et sont des constantes). . Donc . On remarque que est bien .

B. Mouvement relatif
fixe, mobile (rotation autour à constant, ). (il y a une divergence avec les sources précédentes pour cet énoncé, l'exemple d'examen utilise , mais ici on va suivre l'extrait pour les calculs.) . L'énoncé est contradictoire. En suivant l'extrait de l'exercice 8 ( avec ) et la partie B de l'examen: il est plus logique que soit exprimé dans la base du référentiel mobile . Reprenons l'énoncé du Chapitre III, Exercice 5 (Source 95) qui correspond mieux à l'énoncé de l'examen B (il y a aussi une contradiction car dans l'examen B c'est et non ) Considérons l'énoncé de l'examen B tel qu'il est écrit: "Soit un mobile M sur ox' est repéré par: ". Cela voudrait dire que est un vecteur constant en direction (le long de du repère FIXE) alors que varie. C'est illogique pour un mobile sur l'axe tournant . Nous allons nous baser sur le corrigé qui suit pour l'interprétation. Le corrigé utilise .

1. Vitesse relative, d'entraînement, absolue : . ( est sur l'axe en rotation). . . .

2. Accélérations relative, d'entraînement, de Coriolis, absolue : . . . . .

C. Dynamique
Particule M de masse m, initialement au repos en A, glisse sans frottement sur la surface AB de rayon R.

1. Relations par le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) : Les forces sont le poids et la réaction normale . . Dans la base de Frenet : . . (pas de frottement). Projection sur : . (ii) est vérifiée. Projection sur : . . La relation fournie dans l'énoncé (i) semble avoir un signe inversé par rapport à une convention standard ( serait le module de la force normale pointant vers l'intérieur). Avec la convention que est la réaction normale vers l'extérieur, alors on aurait , ce qui donne . L'équation (i) est donc .

2. Retrouver (ii) par le Théorème du Moment Cinétique (TMC) : Point de rotation (centre du cercle). (en prenant dans la direction de et la tangente). . . . (colinéaires). . En égalant les deux expressions : . . (ii) est retrouvée.