Épreuve de mathématiques 1ère D

Examen de Mathématiques - Première D1

Ce document présente unesérie d'exercices de mathématiques pour les élèves de Première D1, couvrant différentsaspects des ensembles, des polynômes, des inéquations et de la géométrie.

Exercice 1 : Vrai ou Faux (2points)

Indiquez si chaque affirmation est Vrai ou Faux.

1. Soit Eet Z deux ensembles finis. Si E = {2; 3; x; y; π} et Z = {3; y; a; x} alors Z est un sous-ensemble de E.
   • Faux : L'élément 'a' de Z n'est pas dans E. Pour que Z soit un sous-ensemble de E, tous les élémentsde Z doivent appartenir à E.
2. Soit J et M deux ensembles finis. Si M est le complémentaire de M dans J alors M ∪ M = {} et J = M ∩ M.
   • Faux : Le complémentaire de M dans J est souvent noté $M^c$ ou $\bar{M}$.
     • $M \cup \bar{M} = J$ (pas {})
     • $M \cap \bar{M} = \emptyset$ (pas J)

Exercice 2 : Choix Multiples (3 points)

Pour chaque affirmation, choisissez la bonne réponse.

1. L'ensemble des solutions de l'inéquation (I) : 4 - x² ≥ 0
   • B. [-2; 2] :
     L'inéquation peut s'écrire $x^2 \le 4$,ce qui implique $-2 \le x \le 2$.
2. Soit p(x) = -3x² - 5x + 8. Δ = 121 alors
   • A. x&sub1; = 1 ; x² = -8/3 :
     Les racines d'un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ sont données par $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
     Ici $a=-3$, $b=-5$, $c=8$, $\Delta=121$.
     $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{121}}{2(-3)} = \frac{5 \pm 11}{-6}$.
     $x_1 = \frac{5+11}{-6} = \frac{16}{-6} = -\frac{8}{3}$.
     $x_2 = \frac{5-11}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1$.
3. Si X² + 2X - 8 = 0 a pour solutions X&sub1; = -4 ou X&sub2; = 2, alors le polynôme p(x) = x⁴ + 2x² - 8 admet:
   • C. 2 racines :
     En posant $Y = x^2$, l'équation $p(x) = 0$ devient $Y^2 + 2Y - 8 = 0$. Les solutions sont $Y_1 = -4$ et $Y_2 = 2$.
     Pour $Y_1 = -4$, on a $x^2 = -4$, qui n'a pas de solutions réelles.
     Pour $Y_2 = 2$, on a $x^2 =2$, qui a deux solutions réelles : $x = \sqrt{2}$ et $x = -\sqrt{2}$.
     Le polynôme p(x) admet donc 2 racines réelles.

Exercice 3 : Polynômes et Équations (5 points)

1) Équation (E) : 3x² - x - 10 = 0

1. Résolution dans ℝ :
   Calcul dudiscriminant Δ : $\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10) = 1 + 120 = 121$.
   Les racines sont $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2(3)} = \frac{1 \pm 11}{6}$.
   $x_1 = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
   $x_2 = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
   L'ensemble des solutions est $S = \left\{ -\frac{5}{3}, 2 \right\}$.
2. Étude du signe de q(x) = 3x² - x - 10 :
   C'est un polynôme du second degré avec $a=3 > 0$. La parabole est ouverte vers le haut.
   Les racines sont $-5/3$ et $2$.

   x	-∞		-5/3		2		+∞
   q(x) = 3x² - x - 10		+	0	-	0	+

   • $q(x) > 0$ sur $]-\infty, -\frac{5}{3}[ \cup ]2, +\infty[$
   • $q(x) < 0$ sur $]-\frac{5}{3}, 2[$
   • $q(x) = 0$ pour $x = -\frac{5}{3}$ ou $x = 2$

2) Polynôme P(x) = 3x² - x - 2/3

1. Justifier que -1/3 est une racine de p(x) :
   On calcule $p(-\frac{1}{3})$ :
   $p(-\frac{1}{3}) = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2- \left(-\frac{1}{3}\right) - \frac{2}{3}$
   $p(-\frac{1}{3}) = 3\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}$
   $p(-\frac{1}{3}) = \frac{3}{9} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$.
   Donc, -1/3 est bien une racine de p(x).
2. Déduire la seconde racine de p(x) :
   Pour un polynôme du seconddegré $ax^2 + bx + c$, si $x_1$ et $x_2$ sont les racines, alors $x_1 + x_2 = -b/a$ et $x_1 x_2 = c/a$.
   Ici, $a=3$, $b=-1$, $c=-2/3$. Une racine est $x_1 = -1/3$.
   En utilisant la somme des racines : $x_1 + x_2 = -b/a = -(-1)/3 = 1/3$.
   $-\frac{1}{3} + x_2 = \frac{1}{3}$
   $x_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
   La seconde racine est $2/3$.
3. Factoriser p(x) :
   Un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$ peut être factorisé en $a(x-x_1)(x-x_2)$.
   Avec $a=3$, $x_1 = -1/3$ et $x_2 = 2/3$:
   $p(x) = 3\left(x - \left(-\frac{1}{3}\right)\right)\left(x - \frac{2}{3}\right)$
   $p(x) = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{2}{3}\right)$.
   On peut aussi écrire p(x) = $(3x+1)(x-2/3)$.

Exercice 4 : Ensembles (5 points)

Soit A l'ensemble des nombres premiers plus petits ou égaux à 11 et B l'ensemble des nombres entiers naturels multiples de 5 plus petits ou égaux à 10.

1. Déterminer A et B en extension :
   • A = {2, 3, 5, 7, 11}
   • B = {0, 5, 10} (Les multiples de 5 dans N sont 0, 5, 10, ...)
2. Déterminer par le calcul Card(A ∪ B) :
   $\operatorname{Card}(A) = 5$
   $\operatorname{Card}(B) = 3$
   $A \cap B = \{5\}$
   $\operatorname{Card}(A \cap B) = 1$
   $\operatorname{Card}(A \cup B) = \operatorname{Card}(A) + \operatorname{Card}(B) - \operatorname{Card}(A \cap B)$
   $\operatorname{Card}(A \cup B) = 5 + 3 - 1 = 7$.
3. Calculer Card(A × B) :
   $\operatorname{Card}(A \times B) = \operatorname{Card}(A) \times \operatorname{Card}(B) = 5 \times 3 = 15$.
4. Déterminer en extension le produit cartésien de A par B :
   $A \times B = \{(2,0), (2,5), (2,10), (3,0), (3,5), (3,10), (5,0), (5,5), (5,10), (7,0), (7,5), (7,10), (11,0), (11,5), (11,10)\}$.
5. Calculer Card(A ∩ B)²₀²¹ :
   Nous avons trouvé $\operatorname{Card}(A \cap B) = 1$.
   Donc, $\operatorname{Card}(A \cap B)^{2021} = 1^{2021} = 1$.

Exercice 5 : Géométrie et Problèmes (5 points)

La piscine d'un professeur de Maths est un triangle ABC rectangle en B tel que AB = x, BC = y et AC = z. Le périmètre est 30 m et l'aire est 30 m².

1. Vérifier que $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ :
   Dans un triangle ABC rectangle en B, lethéorème de Pythagore s'applique : le carré de l'hypoténuse (AC) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (AB et BC).
   $AC^2 = AB^2 + BC^2$
   $z^2 = x^2 + y^2$
   Par conséquent, $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (z est une longueur, donc positive).
2. 1. Sachant que le périmètre &mathcal{P} = 30 m, justifier que $x + y = 30 - \sqrt{x^2 + y^2}$ :
      Le périmètre d'un triangle est la somme des longueurs de ses côtés:
      $\mathcal{P} = AB + BC + AC = x+ y + z$.
      On nous donne $\mathcal{P} = 30$ m.
      Donc, $x + y + z = 30$.
      En substituant $z = \sqrt{x^2 + y^2}$, on obtient$x + y + \sqrt{x^2 + y^2} = 30$.
      D'où, $x + y = 30 - \sqrt{x^2 + y^2}$.
   2. Sachant que l'aire est &mathcal{A}= 30 m², justifier que $xy = 60$ :
      L'aire d'un triangle rectangle est (base × hauteur) / 2.
      Dans le triangle rectangle ABC en B, la base peut être AB et la hauteur BC.
      $\mathcal{A} = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{x \times y}{2}$.
      On nous donne $\mathcal{A} = 30$ m².
      Donc, $\frac{xy}{2} = 30$.
      En multipliant par 2, on obtient $xy = 60$.
3. Montrer que si $x + y = 30 - \sqrt{x^2 + y^2}$ alors $x + y = 17$ :
   De la question 2a), nous avons $x + y + z = 30$.
   Posons $S = x+y$. Alors $S + z = 30$, donc $z = 30 - S$.
   Nous savons aussi que $z^2 = x^2 + y^2$.
   Et $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2xy$.
   De la question2b), $xy = 60$.
   Donc, $z^2 = S^2 - 2(60) = S^2 - 120$.
   En substituant $z = 30 - S$ dans l'équation $z^2= S^2 - 120$:
   $(30 - S)^2 = S^2 - 120$
   $900 - 60S + S^2 = S^2 - 120$
   $-60S= -120 - 900$
   $-60S = -1020$
   $S = \frac{-1020}{-60} = \frac{102}{6} = 17$.
   Donc, $x + y = 17$.
4. Déterminer les dimensions de la piscine :
   Nous avons le système d'équations (S) :
   $\begin{cases} x + y = 17 \\ xy = 60\end{cases}$
   $x$ et $y$ sont les solutions de l'équation $T^2 - (x+y)T + xy = 0$, c'est-à-dire $T^2 - 17T + 60 = 0$.
   Calculons le discriminant Δ : $\Delta = (-17)^2 - 4(1)(60) = 289 - 240 = 49$.
   Les solutions sont $T = \frac{-(-17) \pm \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{17 \pm 7}{2}$.
   $T_1 = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
   $T_2 = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
   Les dimensions sont donc 12 m et 5 m.
   L'énoncé précise que $x$ est un multiple de 2. Or, $12$ est unmultiple de 2, et $5$ ne l'est pas.
   Donc, on peut assigner $x=12$ m et $y=5$ m.
   Vérification de $z$: $z = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ m.
   Périmètre: $12 + 5 + 13 = 30$ m (correct).
   Aire: $(12 \times 5) / 2 = 60 / 2 = 30$ m² (correct).
   Les dimensions de la piscine sont 12 m et 5 m.