Cours et exercices de régulation

RÉSUMÉ DU COURS DE RÉGULATION : L'ESSENTIEL ÀRETENIR

La régulation est une discipline technique visantà analyser et concevoir des systèmes de commande pratiques et autres dispositifs technologiques.

Ce cours est destiné aux ingénieurs, physiciens, mathématiciens et étudiants dans ces disciplines, nécessitant des connaissances de base en physique et en calcul différentiel et intégral.

CHAPITRE I : INTRODUCTION À LA RÉGULATION

1. QUELQUES DÉFINITIONS CLÉS

• La régulation vise à maintenir une grandeur physique à une valeur constante malgré les perturbations.

• Les trois mots-clés de la régulation : Mesurer, Comparer, Corriger.

• Grandeurs d'entrée : Ce qui modifie l'état du système (ex: débit d'alimentation Qa).

• Grandeurs de sortie : Ce qui caractérise l'état du système (ex: niveau h).

2. STRUCTURE D'UN SYSTÈME ASSERVI

• Le principe de base : Mesurer l'écart entre la valeur réelle et la valeur cible, puis piloter les actionneurs pour réduire cet écart.

• Schéma fonctionnel : Représentation graphique abrégée des entrées et sorties d'un système.

• Consigne : La valeur désirée (ce que je veux).

• Grandeur réglante : Agit sur le processus.

• Grandeur réglée : La valeur réelle (ce que j'ai réellement).

• Perturbations : Phénomènes modifiant la stabilité (ex: ouverture d'une fenêtre).

• Comparateur : Compare consigne (w) et grandeur réglée (x) pour donner l'erreur au régulateur.

• Erreur () : Signal de commande.

3. RÉGULATION MANUELLE VS. AUTOMATIQUE

• Manuelle : Implique des opérateurs (observation, réflexion, action). Boucle fermée.

• Automatique : Remplace les maillons humains par des appareils communiquant entre eux.

4. SIGNAUX DE COMMUNICATION - CÂBLAGE

• Nature des signaux : Électrique (courant continu 4-20 mA ou tension 0-10V/0-5V) ou pneumatique (pression 0.2-1 bar).

• Signal 4-20 mA :

  • Avantage : 4 mA permet de distinguer une mesure minimale d'une panne (0 mA).

  • Calcul de l'intensité : et . Conservation du pourcentage ().

  • Le régulateur ne connaît pas la nature physique de la grandeur mesurée.

5. LOI DE COMMANDE

• Rôle du régulateur : Déterminer la correction nécessaire quand la mesure s'écarte de la consigne.

• Calcul : , où est la loi de commande (ex: PID).

• Sens d'action : Calcule l'écart Mesure-Consigne (M-C) ou Consigne-Mesure (C-M).

6. ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DE LA CHAÎNE

• Capteur-transmetteur : Corps d'épreuve (en contact avec la grandeur à mesurer) + Transmetteur (met en forme normalisée le signal).

• Corps d'épreuve : Ex: sonde de température,membrane de pression.

• Transmetteur / Conditionneur : Traite la mesure et génère le signal de transmission (ex: transforme résistance en température, puis en pourcentage et enfin en signal 4-20 mA).

• Capteurs actifs : Alimentés (220V),produisent le signal.

• Capteurs passifs : Non alimentés, nécessitent un générateur externe.

CHAPITRE II : SYSTÈMES LINÉAIRES ET TRANSFORMATION DE LAPLACE

1. DÉFINITIONSDES SYSTÈMES LINÉAIRES

• Un système est linéaire si l'entrée donne en sortie .

• Une équation différentielle est linéaire si elle est une somme de termes linéaires (premier degré en variables dépendantes et leurs dérivées).

• Non linéaire : Présence de puissances supérieures au premier degré, de produits ou de fonctions transcendantes.

• Exemple desystème du premier ordre : .

2. CALCUL OPÉRATIONNEL : TRANSFORMEE DE LAPLACE

• Outil pour remplacer une équation différentielle par une expressionalgébrique.

• Définition : Fait correspondre à une fonction une fonction (transformée de Laplace), où est une variable complexe.

• Formule : .

3. PROPRIÉTÉS DES TRANSFORMÉES DE LAPLACE

• Linéarité : .

• Dérivation : .

• Théorème des valeurs initiales : .

• Théorème des valeurs finales : .

4. APPLICATION À LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

• Permet de transformer une équation différentielle en une équation algébrique dans le domaine de Laplace, simplifiant sa résolution.

• Le signal de sortie dans le domaine de Laplace peut être décomposé en termesliés à l'entrée et aux conditions initiales.

5. DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES

• Utilisée pour simplifier les fractions rationnelles afin de trouver leur transformée inverse de Laplace.

• Zéros () : Racines du numérateur.

• Pôles () : Racines du dénominateur. Ces pôles sont cruciaux pour l'analyse de stabilité.

CHAPITRE III :ALGÈBRE DES SCHÉMAS FONCTIONNELS ET FONCTIONS DE TRANSFERT

1. INTRODUCTION AUX FONCTIONS DE TRANSFERT

• Une fonction de transfert est le rapport des signaux de sortie sur les signaux d'entrée dans le domaine de Laplace ().

• Elle décrit le comportement dynamique d'un système.

• Obtenue en appliquant la transformée de Laplace aux équations différentielles du système, en assumant des conditions initiales nulles.

2. TERMINOLOGIE DES SCHÉMAS FONCTIONNELS

• Un schéma fonctionnel est composé de : rectangles (fonctions de transfert), comparateurs, points de dérivation et flèches (circulation des signaux).

• Association en cascade (série) : Les fonctions de transfert se multiplient ().

• Systèmes en boucle fermée : Le signal de commande dépend de la sortie.

  • La fonction de transfert globale est .

• Retour unitaire : Si , alors .

• Éléments en parallèle : Les fonctions de transfert s'additionnent ().

• Manipulation des comparateurs et points de dérivation pour simplifier les schémas.

3. SYSTÈMES À ENTRÉES MULTIPLES - PRINCIPE DE SUPERPOSITION

• Pour les systèmes linéaires à plusieurs entrées :

  1. Mettre à zéro toutes les entrées sauf une.

  2. Calculer la réponse due à cette seule entrée.

  3. Répéter pour chaque entrée.

  4. Additionner algébriquement toutes les réponses pour obtenir la sortie totale.

CHAPITRE IV : SYSTÈMES LINÉAIRES DU PREMIER ET DEUXIÈME ORDRE

1. SYSTÈMES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE

• Définition : Fonctionnement décrit par une équation différentielle du premier ordre.

• Fonction de transfert typique : où est la constante de temps.

2. RÉPONSES INDICIELLES (ENTRÉE NON PÉRIODIQUE)

• Entrée impulsion (Pic de Dirac ) : .

• Entrée échelon (constante à partir de ) : .

  • Temps de réponse () : Temps pour atteindre 95% de la valeur finale. Pour un système du 1er ordre, .

• Entrée rampe () : .

  • Présence d'une erreur de traînage () en régime permanent.

• Réponses harmoniques : Réponse à une entrée périodique () en régime permanent ().

3. SYSTÈMES LINÉAIRES DU DEUXIÈME ORDRE

• Définition : Fonctionnement décrit par une équation différentielle du second ordre.

• Fonction de transfert typique : .

  • : Gain statique.

  • : Fréquence naturelle non amortie.

  • : Rapport d'amortissement ou coefficient d'amortissement.

• Discussionsur la valeur de (cruciale pour le comportement) :

  • : Régime sur-amorti (réponses sans oscillation, stables).

  • : Régime amorti critique (juste sans oscillation et le plus rapide).

  • : Régime sous-amorti (réponses oscillatoires, stables mais avec dépassement).

• Réponses à une entrée échelon :Les formes de la réponse dépendent fortement de .

  • Dépassement : Maximum de la réponse au-dessus de la valeur finale (pour ).

  • Temps de stabilisation () : Temps pour rester dans une bandede ou de la valeur finale.

• Résonance :

  • Fréquence de résonance () : N'existe que si .

  • Coefficient de surtension () : Indique l'amplitude du pic de résonance.

  • Si , les oscillations sont visibles.

CHAPITRE V : STABILITÉ DES SYSTÈMES ASSERVIS LINÉAIRES

1. DÉFINITION DE LA STABILITÉ

• Un système stable revient au reposlorsque l'excitation cesse.

• La réponse à une impulsion tend vers zéro quand .

2. CONDITION FONDAMENTALE DE STABILITÉ

• Un système linéaire est stable si et seulement si tous les pôles desa fonction de transfert ont une partie réelle négative.

• : Stable.

• : Juste oscillant.

• : Instable.

3. CRITÈRES DE STABILITÉ (ALGÉBRIQUES)

• Appliqués à l'équation caractéristique du système en boucle fermée ().

• Critère de ROUTH :

  • Condition nécessaire : Tous les coefficients de l'équation caractéristique doivent être positifs.

  • Construction d'une table de Routh.

  • Stabilité : Tous les éléments de la première colonne de la table de Routhdoivent être positifs.

  • Si un coefficient est nul ou négatif dans la première colonne, le système est instable.

• Critère de HURWITZ :

  • Condition nécessaire : Tous les coefficients de l'équation caractéristique doivent êtrepositifs.

  • Implique le calcul de déterminants de Hurwitz.

CHAPITRE VI : LES DIAGRAMMES DE BODE ET NYQUIST

1. INTRODUCTION AUX DIAGRAMMESEN FRÉQUENCE

• Représentent les variations du module et de la phase d'une fonction de transfert en fonction de la fréquence .

• Permettent de prévoir la stabilité des systèmes en boucle fermée à partirde fonctions de transfert en boucle ouverte.

• Courbe d'amplitude (gain) : Obtenue à partir du module ().

• Courbe de phase : Obtenue à partir de l'argument ().

2. ÉCHELLE SEMI-LOGARITHMIQUE

• Un axe gradué linéairement, l'autre logarithmiquement.

• Permet de visualiser unelarge gamme de valeurs et de rendre les relations multiplicatives linéaires.

• L'unité de gain est le Décibel (dB). Chaque intervalle est une décade (multiplicateur de 10).

3. TRACE DES DIAGRAMMESDE BODE (Méthode asymptotique)

• Comportement des éléments de base :

  • Constante : Gain constant () et phase nulle.

  • Termes : Pente de +20 dB/décade, phase de . Fréquence de coupure .

  • Termes : Pente de -20 dB/décade, phase de . Fréquence de coupure .

  • Termes : Gain 0 dB en basse fréquence, pente +20 dB/décade après . Phase 0 en basse fréquence, en haute fréquence.

  • Termes : Gain 0 dB en basse fréquence, pente -20 dB/décade après . Phase 0 en basse fréquence, en haute fréquence.

• Combinaison de termes :

  • Le gain total est la somme des gains en dB.

  • La phase totale est la somme des phasesde chaque terme.

4. CRITÈRES DE STABILITÉ GÉOMÉTRIQUES (DIAGRAMMES DE BODE)

• Permettent de mesurer le degré de stabilité (marges de gain et de phase).

• Marge de gain () : Écart entre le gain à la phase de (ou ) et 0 dB.

  • où .

• Marge de phase () : Écart entre la phase à 0 dB et .

  • où .

• Stabilité : Un système est stable si et . (ou parrapport à l'axe et par rapport à l'axe sur les tracés).

5. TRACE DES DIAGRAMMES DE NYQUIST

• Analyse graphique de la stabilité des systèmes en boucle fermée à partir des variationsdu module et de la phase en boucle ouverte.

• Lieu des points dans le plan complexe.

• Coordonnées polaires : Rayon vecteur et angle .

• Coordonnéesrectangulaires : Partie imaginaire en fonction de la partie réelle ().

• Caractéristique de conjugaison : La partie pour est symétrique parrapport à l'axe réel de la partie pour .

• Les diagrammes de Nyquist permettent d'identifier si le point critique est contourné ou non, ce qui est directement lié à la stabilité.