Automatismes Mathématiques (1)

Automatismes Fondamentaux en Mathématiques

1. Lecture Graphique des Fonctions (AUTO 2)

1.1. Lire des Images et des Antécédents

• Pour trouver l'image de :
  1. Localiser sur l'axe des abscisses.
  2. Se déplacer verticalement jusqu'à rencontrer la courbe.
  3. Se déplacer horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées pour lire la valeur .
  Par exemple, si la courbe passe par le point , alors l'image de est ().
• Pour trouver les antécédents de :
  1. Localiser sur l'axe des ordonnées.
  2. Tracer une droite horizontale passant par .
  3. Les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe sont les antécédents de .
  Par exemple, si la droite coupe la courbe en , et , alors les antécédents de sont . Si la droite ne coupe pas la courbe, alors n'a pas d'antécédents.

2. Appartenance d'un Point à une Courbe (AUTO 3)

2.1. Vérifier l'Appartenance d'un Point

2.2. Calculer l'Ordonnée d'un Point Connaissant son Abscisse

2.3. Déterminer l'Abscisse d'un Point Connaissant son Ordonnée

3. Résolution Graphique d'Équations et Inéquations (AUTO 4)

3.1. Résoudre Graphiquement

• Exemple : Chercher les points de la courbe dont l'ordonnée est . Si les abscisses correspondantes sont et , alors .
• Exemple : Si la droite coupe la courbe en , alors .
• Exemple : Si la droite ne coupe pas la courbe, alors .

3.2. Résoudre Graphiquement (ou )

• Exemple : Identifier les parties de la courbe situées strictement au-dessus de la droite . Si cela correspond aux intervalles et , la solution est . (Note : Les ou indiquent que les bornes ne sont pas incluses pour ou ).
• Exemple : Identifier les parties de la courbe situées en dessous ou sur l'axe des abscisses (). Si cela correspond à et au point isolé , la solution est .
• Exemple : Si la seule partie de la courbe au-dessus ou sur la droite est le point , alors .

4. Détermination du Signe d'une Fonction (AUTO 5)

• sur .
• pour et .
• sur , à l'exception de où il semble y avoir une particularité (le tableau indique avant et après , mais potentiellement un extrémum ou une valeur nulle qui n'est pas claire sur le tableau tel que donné). D'après le contexte précédent ( pour ), doit être (un point de contact ou une racine), le tableau de signe devrait être ajusté en conséquence s'il y a un zéro en . L'exemple donné dans l'AUTO 5 pour le tableau de signe semble ne pas correspondre à l'exemple graphique pour les antécédents et puisque ce dernier indique . Si , le tableau de signe devrait inclure comme valeur d'annulation.

5. Sens de Variation et Extremums (AUTO 6)

5.1. Description des Variations

• Strictement croissante sur un intervalle si, pour tout dans cet intervalle, .
• Strictement décroissante sur un intervalle si, pour tout dans cet intervalle, .

• est strictement croissante sur et sur .
• est strictement décroissante sur .

5.2. Extremums

• Maximum local: Une fonction atteint un maximum local en si est la plus grande valeur dans un intervalle autour de .
• Minimum local: Une fonction atteint un minimum local en si est la plus petite valeur dans un intervalle autour de .
• Maximum/Minimum global: Les valeurs les plus grandes/petites sur l'ensemble du domaine de la fonction.

• Sur l'intervalle , le maximum est , atteint pour .
• Sur l'intervalle , le minimum est , atteint pour .
• Sur l'intervalle global , le maximum est (atteint pour ) et le minimum est (atteint pour ).

6. Calculs avec des Fractions (AUTO 7)

6.1. Addition et Soustraction de Fractions

6.2. Multiplication de Fractions

6.3. Division de Fractions

6.4. Applications complexes

1. Calculer la parenthèse : .
2. Multiplier : .
3. Simplifier : Diviser par (, ) donne .

1. Priorité à la multiplication : .
2. Soustraction : . Dénominateur commun est . .
3. Simplifier : Diviser par donne .

1. Calculer numérateur : .
2. Calculer dénominateur : .
3. Diviser : .

7. Les Droites en Géométrie Analytique (AUTO 8, 9, 10)

7.1. Tracer une Droite (AUTO 8)

7.1.1. À partir de son équation réduite

• est le coefficient directeur ou la pente. Il indique l'inclinaison de la droite. .
• est l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de lorsque , donc le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées est .

1. Placer le point (ordonnée à l'origine).
2. Utiliser le coefficient directeur . Si , à partir du point , avancer de unités horizontalement (vers la droite si ) et monter ou descendre de unités verticalement (monter si , descendre si ). Cela donne un deuxième point.
3. Tracer la droite passant par ces deux points.

1. Ordonnée à l'origine . Placer .
2. Coefficient directeur . À partir de , avancer de unité vers la droite et monter de unités. Cela nous mène au point .
3. Relier et .

• Droite horizontale : (le coefficient directeur est ). Ex: .
• Droite verticale : (le coefficient directeur est indéfini). Ex: .

7.2. Lire l'Équation Réduite d'une Droite (AUTO 9)

1. Déterminer l'ordonnée à l'origine en lisant l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des .
2. Déterminer le coefficient directeur . Choisir deux points ‘lisibles’ sur la droite et . Le coefficient directeur . Ou, à partir de , se déplacer d'une unité horizontale () et lire la variation verticale qui correspond à .

• Droite : elle passe par donc . Elle est horizontale, donc . Équation: .
• Droite : elle passe par donc . Pour unités horiz., elle monte de unités vertic. (ou de pour ). Donc . Équation: .
• Droite : verticale et passe par . Équation: .
• Droite : elle passe par pour (supposé), donc . Le coefficient directeur est négatif. Si elle descend de unités pour unités horiz. vers la droite, alors . Équation: .

7.3. Déterminer l'Équation d'une Droite (AUTO 10)

7.3.1. Passant par deux points et

1. Calculer le coefficient directeur (attention si , la droite est verticale ).
2. L'équation provisoire est .
3. Utiliser les coordonnées d'un des points (ex. ) pour trouver : .

• .
• L'équation est .
• Avec : .
• Équation finale: .

• .
• L'équation est .
• Avec : .
• Équation finale: .

8. Augmentation et Diminution en Pourcentage (AUTO 11)

8.1. Coefficient Multiplicateur

• Une augmentation de se traduit par un coefficient multiplicateur de .
• Une diminution de se traduit par un coefficient multiplicateur de .

• Coefficient multiplicateur: .
• CA en 2011: .
• CA en 2012: .

9. Passer d'une Écriture à une Autre / Proportion (AUTO 12, 14, 15)

9.1. Écritures Multiples d'un Nombre (AUTO 12)

9.2. Calculer un Pourcentage d'une Quantité

9.3. Calculer une Proportion et Appliquer une Proportion (AUTO 14)

9.4. Calculer la Proportion d'une Proportion (AUTO 15)

10. Calcul Littéral (AUTO 16)

10.1. Développement et Réduction

• Simple distributivité : . Ex: .
• Double distributivité : . Ex: .
• Identités remarquables :
  • Carré d'une somme : . Ex: .
  • Carré d'une différence : . Ex: .
  • Différence de deux carrés : . Ex: .

11. Résolution d'Équations Particulières (AUTO 17)

11.1. Équation

• Si (par exemple ): Pas de solution réelle. . Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
• Si (par exemple ): Une seule solution réelle . .
• Si (par exemple ): Deux solutions réelles opposées: et . Ex: ou . .

11.2. Équation

• Ex: . .
• Ex: . .

12. Signe d'une Fonction Affine et d'un Produit (AUTO 18)

12.1. Signe d'une Fonction Affine ()

• Si , la fonction est d'abord négative, puis nulle, puis positive. (Négatif → Positif)
• Si , la fonction est d'abord positive, puis nulle, puis négative. (Positif → Négatif)

• (correct).
• Le coefficient directeur est (négatif, donc signe "+ puis -" est correct).

12.2. Signe d'un Produit de Fonctions

1. Déterminer les racines de chaque facteur (les valeurs de pour lesquelles chaque facteur est nul).
2. Placer toutes ces racines sur une ligne d' dans l'ordre croissant.
3. Dans des lignes séparées, indiquer le signe de chaque facteur sur les intervalles définis par les racines.
4. Sur la dernière ligne, appliquer la règle des signes pour déterminer le signe du produit.

• Racine de : . (facteur affine avec , donc signe - puis +)
• Racine de : . (facteur affine avec , donc signe - puis +)

13. Estimer un Ordre de Grandeur (AUTO 13)

Fiche d'Automatismes en Mathématiques

Cette fiche récapitule les automatismes essentiels pour la résolution de problèmes et la compréhension des fonctions.

I. Fonctions et Courbes Représentatives

1. Lire des images et des antécédents (Auto 2)

• L'image d'un nombre par la fonction est la valeur lue sur l'axe des ordonnées.

• Les antécédents d'un nombre par la fonction sont les valeurs telles que , lues sur l'axe des abscisses. Une valeur peut avoir plusieurs antécédents ou aucun.

• Exemple: Si , l'image de 2 est 1,5. Si les antécédents de 1 sont -1, 2,5 et 5,1, cela signifie que , et .

2. Appartenance d'un point à une courbe (Auto 3)

• Un point appartient à la courbe représentative de la fonction si et seulement si .

• Exemple 1: Si appartient à , alors .

• Exemple 2: Pour :

  • Le point n'appartient pas à la courbe car .

  • L'ordonnée du point d'abscisse -2 est .

  • L'abscisse du point d'ordonnée -11 est 6, car .

3. Résoudre graphiquement des équations (Auto 4)

• Tracer la droite horizontale . Les solutions sont les abscisses des points d'intersection entre cette droite et la courbe de .

• Exemple:

  • (aucune intersection)

4. Résoudre graphiquement des inéquations (Auto 4)

• Tracer la droite horizontale . Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de cette droite (pour ou ) ou en-dessous (pour ou ).

• Exemple:

5. Déterminer graphiquement le signe de (Auto 5)

• Le tableau de signes de indique si est positif (), négatif () ou nul () en fonction de .

• Règle:

  • quand la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

  • quand la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses.

  • aux points d'intersection avec l'axe des abscisses.

• Exemple de tableau de signes:

  	-6	-2	4	7
  	-	0	+	0

6. Sens de variation et extremums (Auto 6)

• Une fonction est strictement croissante si sa courbe "monte".

• Une fonction est strictement décroissante si sa courbe "descend".

• Le tableau de variations résume ces informations.

• Les extremums (maximums et minimums) sont les points où la fonction change de sens de variation.

• Exemple de tableau de variations:

  	-6	1	4	7
  		2

• Exemple d'extremums: Sur , le maximum est 3 (pour ) et le minimum est -3 (pour ).

II. Calculs Fondamentaux

1. Calculs avec des fractions (Auto 7)

• Addition/Soustraction: Les fractions doivent avoir le même dénominateur. . Si différents, trouver un dénominateur commun. Exemple: .

• Multiplication: On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. . Exemple: .

• Division: Multiplier par l'inverse de la deuxième fraction. . Exemple: .

III. Les Droites

1. Tracer une droite (Auto 8)

• À partir de l'équation réduite :

  • Le b est l'ordonnée à l'origine (point par où la droite coupe l'axe des ordonnées).

  • Le est le coefficient directeur (). Pour , on avance de unités horizontalement et de unités verticalement à partir d'un point connu.

• Une droite d'équation est horizontale.

• Une droite d'équation est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées).

2. Lire l'équation réduite d'une droite tracée (Auto 9)

• Identifier l'ordonnée à l'origine (point d'intersection avec l'axe des ).

• Calculer le coefficient directeur en choisissant deux points de la droite.

• Cas particuliers:

  • Droite horizontale: (où ).

  • Droite verticale: (le coefficient directeur n'est pas défini).

• Exemple: Pour une droite passant par et : et , donc .

3. Déterminer l'équation d'une droite à partir de deux points (Auto 10)

• Soient deux points et .

• 1^ère étape: Calculer le coefficient directeur .

• 2^ème étape: L'équation est de la forme . Substituer les coordonnées d'un des points (par exemple ) dans l'équation pour trouver .

• Exemple: Droite passant par et .

  • . L'équation est .

  • Avec point : .

  • L'équation est .

IV. Pourcentages et Proportions

1. Augmentation et diminution en pourcentage (Auto 11)

• Pour une diminution de , multiplier par .

• Pour une augmentation de , multiplier par .

• Exemple: Un chiffre d'affaires de 500 000€ diminue de 5% chaque année.

  • Après 1 an: €.

  • Si est le CA de l'année , alors et .

2. Passer d'une écriture à une autre (Auto 12)

• Convertir entre écriture fractionnaire, décimale, pourcentage et notation scientifique.

• Notation scientifique: , où .

• Exemple:

  Fractionnaire	Décimale	Pourcentage	Notation scientifique
  	0,4	40 %

3. Calculer un pourcentage d'une quantité (Auto 12)

• Multiplier la quantité par le pourcentage sous forme décimale ou fractionnaire.

• Exemple: 20% de 200 = .

• Dans un lycée de 1200 élèves, 75% ont les yeux marrons: élèves.

4. Estimer un ordre de grandeur (Auto 13)

• Arrondir les nombres aux puissances de 10 ou entiers les plus proches pour simplifier le calcul.

• Exemple: .

5. Calculer une proportion / appliquer une proportion (Auto 14)

• Proportion de A dans E: .

• Permet de trouver:

  • Effectif de A: .

  • Effectif de E: .

• Exemple 1: Lucie a perdu 2 matchs sur 20 joués: de défaites.

• Exemple 2: Arthur a gagné 60% de ses 25 matchs: matchs gagnés.

• Exemple 3: Paul a gagné 24 matchs, soit 4/5 des matchs joués: matchs joués.

6. Calculer la proportion d'une proportion (Auto 15)

• Si on connaît la proportion de A dans E () et la proportion de B dans A (), alors la proportion de B dans E est le produit des proportions: .

• Exemple: Dans une entreprise, 3/5 de femmes. Parmi elles, 1/5 à temps partiel.

  • Proportion de femmes à temps partiel: .

V. Algèbre

1. Développer et réduire (Auto 16)

• Simple distributivité: .

• Double distributivité: .

• Identités remarquables:

2. Résolution de l'équation (Auto 17)

• Si : Aucune solution ().

• Si : Une seule solution ().

• Si : Deux solutions et ().

3. Résolution de l'équation (Auto 17)

• L'équation admet toujours une seule solution , quelle que soit la valeur de .
  ().

4. Signe d'une fonction affine et résolution d'inéquations (Auto 18)

• Signe d'une fonction affine :

  • Le signe change en (où est la racine).

  • Avant , le signe de est celui de .

  • Après , le signe de est celui de .

  Signe de	Signe de	0	Signe de

• Signe d'un produit: Construire un tableau de signes en combinant les signes de chaque facteur.

• Résoudre des inéquations (, , etc.)

  • Utiliser le tableau de signes de l'expression .

  • Exemple: Résoudre

    		-6	4
    	-	-	0	+
    	-	0	+	+
    	+	0	-	0	+

    Solution: .